高中數學函數內容單元復習課教學建議

2023-04-27 02:12:56梁慧敏孫天嬌張濤李春蘭

中小學課堂教學研究 2023年4期

梁慧敏　孫天嬌　張濤　李春蘭

【摘要】數學單元復習課在高中數學教學中發揮著至關重要的作用，它是繼新知識學習后，對知識的進一步升華與凝練，是對新知識熟能生巧的過程。“題海戰術”式的數學單元復習課不符合當前“雙減”背景下的教學要求。張奠宙先生曾多次在其文章中強調上好數學復習課的必要性，本文結合張奠宙先生關于數學單元復習課的教育思想，以人教版高中數學（A版）必修第一冊第三章“函數的概念與性質”的單元復習課為例，給出數學單元復習課的六條教學建議。

【關鍵詞】張奠宙；單元復習課；函數；數學教育思想

一、引言

2021年7月國家正式頒布了《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》，其中提出“大力提升教育教學質量，確保學生在校內學足學好”，那么減輕學生負擔的根本在于提高學校教育教學的質量。在高中數學課堂中，單元復習課一直以來都對提升教育教學質量起著至關重要的作用。追溯歷史的腳步，我國偉大的教育家孔子早在幾千年前就強調了復習的重要性——“溫故而知新，可以為師矣”。在實際教學中，許多一線教師往往把數學單元復習課看作是簡單的習題課來講授，以高強度、大容量的解題訓練為主。顯然，“題海戰術”式的復習課已經不能適應當前“雙減”背景下的教學要求。數學單元復習課不是簡單地回顧前面所學的知識，而是通過復習達到融會貫通、舉一反三、溫故知新的效果，并促進學生數學核心素養的培養，以適應當前“雙減”背景的教學要求。

早在2010年，張奠宙先生等就指出當時復習課中存在的許多弊端，如“公開課中難見好的復習課，大多是大容量、快節奏、高密度的解題訓練課”。［1］葉立軍等指出復習課不是簡單的炒冷飯，而是對學生認識的繼續、深化和提高。［2］楊漢鑫也指出了現在高中數學復習課中存在的一些問題，如教師缺乏“科學方法”，在復習課上只是簡單分析知識點，然后以大量習題訓練為主等。［3］單元復習課不能單純地變成高強度的解題訓練課，不能只是簡單的分析而缺乏對知識的整體梳理，更不能忽視學生的自主思考及思維能力的培養。要想更好地改進單元復習課，就要找到根源問題，對癥下藥。

二、數學單元復習課及其作用

（一）數學單元復習課

單元復習課與新授課、習題課等課型在教學目標、教學方式等方面均有較大的不同。數學單元復習課是指根據學生的認知特點和規律，在一個單元教學之后，對所學知識進行系統復習整理的課型。單元復習課的目的是鞏固、梳理已學知識、技能，通過對知識的復習整理，幫助學生對所學知識形成結構化認知，提煉數學知識的思想方法，達到對知識的融會貫通。

張奠宙先生等指出，數學知識的認識過程包含“前半段”和“后半段”。［4］單元復習課即“后半段”的學習，應重視反思、辨析、欣賞、提煉數學思想方法等。故教師在進行數學單元復習課教學時要做到：塑造學生的系統知識結構；促進學生形成理性批判、反思等思維；培養學生的探索發現精神；用數學美的內在力量影響學生，體現數學科學的教育性。

依據信息加工心理學，學生的學習是信息加工的過程，主要包括注意過程、短時記憶、編碼、長時記憶及信息的提取等五個部分。其中，信息提取的過程是記憶內容梳理、重建的過程，而不是簡單的復述。針對學生在學習的過程中不可避免的遺忘現象，信息加工“激活理論”認為，信息要先被激活，才能提取。而信息不能被激活的情況有三種［5］：第一，學生對知識間的聯系掌握得不緊密；第二，對信息加工的深度不夠；第三，缺乏對知識的聯想而不能提取信息。

由信息加工理論出發，可以總結出，在新知識的學習過程中，知識的習得與記憶主要在新授課中進行，而知識的信息提取亦不可或缺，此時就需要單元復習課充分發揮其功能與價值。首先，在單元復習課中應構建整體知識結構體系，以加強知識間的聯系。其次，通過融入數學思想方法，加深學生對知識的理解深度，促進信息加工。最后，采用多種數學表征形式，以多種表征的方式提升學生對知識的聯想能力，促進學生的信息加工。復習課不是簡單的炒冷飯，不能生硬地把數學知識直接傳授給學生，而應在其中添加數學美、數學思想方法等數學的“調味劑”。

（二）數學單元復習課的作用

隨著新課改的不斷推進與完善，形成了以核心素養為導向的教學目標，反映了新時期對人才培養的要求。對教師而言，上好一節數學單元復習課需要重視數學知識的整體性、系統性以及知識之間的關聯性，并合理地規劃和安排數學單元復習課。例如，在高中函數概念的復習課中，再次強調函數概念是由初中“變量說”到現在的“集合—對應說”，幫助學生建立關于函數概念的整體知識體系。建立這樣的整體知識體系不僅有利于提高課堂效率，培養教師的教學技能，提升教師的專業素養，而且通過不斷優化數學單元復習課教學還可以達到促進教師自我發展的目的。此外，在數學單元復習課教學中，教師可以及時發現學生的知識盲點與困惑，掌握學生的學習情況，針對學生掌握不到位的知識進行著重講解。

對學生而言，數學單元復習課可以幫助學生更加全面地掌握數學單元知識點，建立知識間的聯系，由點及面，橫向、縱向地深入拓展，從而對知識有更加深入的了解。此外，在單元復習課上采用總結單元典型例題的方法，而不是采用“題海戰術”的方式，能夠更加有效地提高課堂教學質量，減輕學生的學習負擔，并且通過學習相應的數學思想方法，還可以提升學生的數學核心素養。

三、數學單元復習課教學建議

張奠宙先生針對復習課存在的問題，提出了好的數學單元復習課應涉及以下六個方面：一是整體知識框架；二是使用數學思想方法；三是數學本質；四是各種數學表征；五是美學欣賞；六是人文背景。［6］基于此，本文以“函數的概念與性質”這一單元復習課為例，給出數學單元復習課的教學建議。通過對高中函數的概念與性質的復習，學生能經歷完整的函數概念抽象過程，掌握其中蘊含的數學思想和方法，形成良好的問題解決能力、思考問題的習慣等。

（一）構建整體知識框架

復習課的重點是幫助學生總結知識并做進一步的鞏固提升，所以構建數學單元整體知識框架是數學單元復習課中必不可少的環節。通過構建整體知識框架可以呈現單元知識間的內在聯系，加強學生對本單元內容的整體認識，形成清晰的思維脈絡。

例如，在高中“函數的概念與性質”這一單元復習課上，課堂伊始，教師展示一部分本章內容知識框架（如圖1），讓學生獨立思考將框架填充完整。在補充框架的過程中，若學生遇到困難，教師帶領學生一起補充完整（如圖2）。

通過思維導圖的方式構建函數單元教學的整體知識結構框架，并讓學生先自己思考知識點，再由教師引導給出，有助于學生從整體上把握本單元知識體系，加深學生對知識點的理解。

（二）使用數學思想方法

單元知識結構體系如“骨架”，而其中蘊含的數學思想方法如填充其間的“血肉”。因此僅掌握了知識結構體系是不夠的，還應掌握其中的數學思想方法。張奠宙先生等提出：“復習課的首要目的是提煉數學思想方法，啟示如何熟能生巧，上升到新的境界。”［1］章建躍也指出，通常將數學思想方法從數學思想和數學方法兩個角度分別去闡釋。［7］其中，數學思想是對數學對象的本質認識，對數學活動具有指導意義；數學方法是指進行數學活動的具體操作方法。數學思想方法是發現和提出數學問題的源泉，是分析和解決數學問題的根本。

在高中“函數的概念與性質”這一單元復習課上，需要向學生滲透的數學思想方法有：函數與方程、數形結合、特殊與一般、分類與整合等。在復習課上學生通過探究典型問題逐步體會數學的思想方法，有助于培養學生用數學的思維思考問題的意識（見表1）。

在單元復習課中，解題訓練是必不可少的，但是不能將單元復習課變成大容量、高強度的解題訓練課，而應提煉題中蘊含的數學思想方法，幫助學生進行總結歸納，培養學生的解題思維能力及解決問題的能力，有助于學生在后面的學習中學會一題多解、舉一反三。

（三）挖掘數學本質

德國數學家克萊因曾將函數稱為數學的“靈魂”，并認為函數應該成為中學數學的“基石”。［8］清代數學家李善蘭對函數的解釋為“凡此變數函彼變數，則此為彼之函數”［9］，確切地反映了函數的本質。隨著數學的發展，函數的定義經歷了變量說、對應說、關系說［10］的逐步抽象過程。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對函數概念的教學提倡在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念。［11］19這說明課程標準對初高中函數內容的銜接以及函數本質的教學關注度越來越高。

基于函數教學內容主線，函數單元復習課教學既要“瞻前”，又要“顧后”。回顧小學、立足初中、呼應高中，尋根究底、深入分析，挖掘函數概念的本質。通過展示不同學習階段函數的概念、內容、應用等方面的內容（如表2），可以讓學生在縱向上了解并掌握函數，建立新舊知識之間的聯系，尋找知識的固著點，從而更好地理解和掌握函數概念。

“賢者以其昭昭，使人昭昭。”（《孟子》）在教學方面強調教師要想讓學生明白所學內容，首先自己要弄明白這些內容。教師應熟練掌握所教內容的本質，才能更好地讓學生掌握所學內容的本質，正所謂“要給學生一杯水，教師要有一桶水”。教學的目的不僅是要教會學生如何解題，更重要的是要引導學生去挖掘數學知識的本質及內涵，從根本上理解并掌握數學知識。因此，在數學復習課上就需要教師追本溯源、深入剖析，以高觀點的視角進行教學，引導學生思考所學知識的本源。

（四）使用各種數學表征

數學表征是指用某種外顯的形式來表達抽象數學知識的過程。［12］著名的認知心理學家西蒙曾指出，表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦中是如何表現出來的。［13］在數學學習以及問題解決的過程中采用多種數學表征方式，有助于拓展學生思維，達到一題多解、融會貫通的效果。此外，對于同一知識，幫助學生在不同的年齡階段構造不同數學表征方式，將更適合學生學習。

例如，對于函數y=3x+5的教學，美國著名心理學家布魯納針對不同學段的學生采用不同的數學表征方式進行教學，對于低學段的學生可以采用□=3△+5這樣的圖形表征方式，而對于高學段的學生可以使用更為抽象的表征方式y=f （x）。［14］

再如，在高中“函數的概念與性質”單元復習課上，對于函數單調性的描述，可以采用圖象語言、文字語言和符號語言等三種表征方式，以達到更好地回顧與掌握函數的單調性概念的目的。通過在復習課上引導學生采用不同的表征方式表達函數單調性，可以有效開拓學生的思維，使其在解決數學問題時不局限于某種表征方式，避免思維定式；同時發展學生的抽象能力與直觀想象能力，借助圖象探究函數的基本性質，選擇合適的數學模型表述變化規律和解決問題。

（五）美學欣賞

羅素曾說：“數學不僅擁有真理，而且還擁有至高的美。”張文俊指出，數學美本質上是自然美的抽象化，既有結論之美，也有方法之美，還有結構之美。［15］在數學單元復習課中向學生展現數學美，有助于學生感受數學的美學價值，使已有知識的基礎得到進一步的升華，活躍復習課課堂的氛圍。

例如“函數的概念與性質”這一單元中就蘊含著許多數學美。首先，函數的性質之一——函數的奇偶性，圖象中就包含著對稱美，即奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱。其次，高中函數概念是在初中基礎上的進一步抽象，用y=f （x）來表示函數，體現了數學中的簡潔美。

在數學單元復習課上展現數學美，有助于學生體會數學是富有生命的、美麗的、實用的學科，促使學生喜歡它、熱愛它，主動學習數學。

（六）融入人文背景

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出，要將數學文化融入課程內容。數學文化包括數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。［11］10

數學單元復習課不僅僅是簡單地總結本單元所學知識以及進行大量的習題練習，還應該在數學課本知識的基礎上進行進一步的升華。適當地融入相關人文背景，有助于學生更好地理解和掌握單元內容，提高學生學習的興趣和積極性，并且為學生未來的進一步學習打下堅實的人文背景基礎。高中數學單元復習課大致可以從數學游戲、生活實例、數學的發展歷程等方面融入相關人文背景。

在“函數的概念與性質”數學單元復習課中，可以從生活實例和數學的發展歷程兩個方面來融入人文背景。首先，如文中表1內的問題1和問題4是貼近學生生活的函數問題，在復習課中設置這樣的問題十分貼切、自然，讓學生感受到函數在實際生活中的應用，加深學生對函數的理解，讓學生不僅學會函數還學會用函數。其次，“函數的概念與性質”這一章中增設了“函數概念的發展歷程”的閱讀材料模塊，強調在進行了函數內容新授課之后，要在復習課中讓學生了解函數概念的人文背景及發展歷程。此外，該章的章末還設置了“函數的形成與發展”的文獻閱讀與數學寫作的選學內容。在復習課中布置文獻閱讀與寫作任務，讓學生自己查找并補充函數概念發展歷程的相關資料，進而完成論文的寫作任務，不僅能夠擴展學生的知識面，不拘泥于課堂上的內容，而且還有利于因材施教，培養部分學有余力的學生的科研與創新能力，貫徹張奠宙先生等人強調的“數學英才教育”的教學理念。

四、結語

單元復習課是引導學生對單元知識進行梳理、探究、欣賞、升華與凝練的重要課型。要想上好復習課，解題訓練不可或缺，但是不能將之作為唯一的教學模式而自我封閉起來，應在回顧本單元知識的基礎上，將內容進一步升華。此外，還應了解學生的訴求，發揮學生的主體性，讓學生自己梳理知識結構體系，在單元復習課中注意挖掘數學本質，感受知識發生、發展及應用的全過程，融入數學美及相應的數學文化背景，注重數學思想方法的滲透等。構建合理的認知結構，輔之一定的解題訓練，定能更加高效地進行高中單元復習課教學，適應當前“雙減”背景的教學要求。

參考文獻：

［1］張奠宙，趙小平.難見好的復習課［J］.數學教學，2010（4）：封四.

［2］葉立軍，陳莉.初中數學復習課教學存在的偏差及其應對策略［J］.教學與管理，2013（15）：91-93.

［3］楊漢鑫.高中數學有效復習課教學策略［J］.數學教學通訊，2021（18）：28-31.

［4］張奠宙，趙小平.教學中多多關注“后半段”：怎樣上好復習課？［J］.數學教學，2011（4）：封四.

［5］曹才翰，章建躍.數學教育心理學［M］. 3版.北京：北京師范大學出版社，2018：138-149.

［6］張奠宙.復習課的設計需要理論建設［J］.數學教學，2015（2）：封四，36.

［7］章建躍.章建躍數學教育隨想錄：下卷［M］.杭州：浙江教育出版社，2017：771.

［8］克萊因.高觀點下的初等數學：第一卷：算術代數分析［M］.舒湘芹，陳義章，楊欽樑，等譯.上海：復旦大學出版社，2008：內容提要.

［9］羅聲雄.數學的魅力：初等數學概念演繹［M］.武漢：武漢出版社，1999：215.

［10］張奠宙，鄒一心.現代數學與中學數學［M］.上海：上海教育出版社，1990：32-36.

［11］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.