懸鏈線理論在大弦傾角滑索設計計算中的應用

趙九峰

(1．河南省特種設備安全檢測研究院,鄭州 450000;2．航空經濟發展河南省協同創新中心,鄭州 450046)

0 引言

滑索源于瑞士,用于高山峽谷地區運輸物品或者載人,現在很多景區都有滑索。滑索以安裝在兩個具有落差支點上的承載索(通常為鋼絲繩)為軌道,以懸掛于承載索上的滑行小車為運行載體,乘客穿戴柔性吊具懸掛于滑行小車上,在重力作用下沿承載索從高支點滑至低支點[1]。滑索通常跨越在山谷、河流、湖面之上,因此其設計安全性非常重要[2]。

滑索屬于安全監察的特種設備[3],國內有關人員對其做了大量研究。文獻[4]研究了基于拋物線理論承載索張緊力的計算方法。文獻[5]根據弦多邊理論對滑索鋼絲繩張力原理進行分析。以上研究都是基于拋物線理論,對于大弦傾角滑索,傳統拋物線理論計算的誤差較大[6],宜采用懸鏈線理論計算滑索的參數。

在小弦傾角滑索的設計中,可按拋物線理論分析計算,求解承載索的撓度、長度等參數,以解決滑索的安裝問題。對于大弦傾角滑索的設計和安裝,滑索的中央撓度、最低點的位置、索長等參數通常難以精確計算。為此,本文在滑索受力分析的基礎上,根據力的平衡原理,將懸鏈線標準方程轉化為滑索懸鏈線方程,并得出滑索安裝參數的計算公式。結合實際,以跨度為315 m的滑索為例,在不同水平拉力下求解滑索安裝參數并繪制線形圖,結果表明,該計算方法可為大弦傾角滑索工程設計提供參考。

1 滑索組成及工作原理

滑索結構簡圖如圖1所示。

圖1 滑索結構示意圖

滑索主要由滑索承載索、滑車(含滑行小車、滑行吊具)、上站支架、下站支架四部分組成[5]。其中承載索為滑索的主要受力部件,主要由連接上下支點的1根或者2根鋼絲繩組成。承載索作為滑車滑行的軌道,滑車和乘客依靠自身的重力從上站滑行至下站,因此承載索連接的上下支點存在一定的落差[3]。

滑索設計需先進行安裝參數的計算,因此,承載索作為滑索的重要組成部分之一,其選擇是在滑索的弦傾角、水平跨度、無荷索長、中撓系數等安裝參數確定后進行。

2 滑索安裝參數

2.1 弦傾角

滑索兩端固定點的連線為弦線,弦線與水平面之間的夾角為滑索弦線傾角,由下式確定

α=arctan(h/L)

(1)

式中:h為滑索上、下站點的落差;L為滑索上、下站點的水平跨度。

滑索的弦傾角一般在3°～10°之間,超過10°為大弦傾角滑索[7]。安裝位置確定后,滑索弦傾角基本確定,只能通過上、下站點站臺的高度進行微調。

2.2 無荷索長

無荷是指滑索安裝時,承載索除了受到自身重力外,不受滑車和乘客的作用,此時滑索承載索在兩個安裝支點之間的曲線長度為無荷索長[8],用符號S表示。S是滑索設計和安裝的重要參數。承載索是易損件,通常每6年更換一次。在設計時:S過短,承載索無法滿足安裝要求而報廢;S過長,會造成浪費,增加建設成本。可見,S需準確計算。

2.3 中撓系數

滑索在空載狀態下,承載索到弦線間的鉛錘距離為撓度,跨中的撓度為中央撓度(l0),中央撓度與跨度的比值為中撓系數(f0)[9]。滑索安裝過程中,通常用中撓系數來衡量滑索張緊程度[8]。

f0過大,承載索彎曲大,滑車運行過程中晃動較大,運行不平穩,且承載索磨損加快;f0過小,承載索的預緊張力大,承載能力降低。承載索的f0推薦值為0.03～0.05。對于大弦傾角滑索,可通過增大f0來降低滑車進站速度,但一般不大于0.10[10]。

3 承載索的數學模型

滑索理論主要有拋物線理論和懸鏈線理論,對于大弦傾角滑索,懸鏈線理論具有更高的計算精度[11]。為采用懸鏈線理論分析承載索的安裝參數,需求解其對應的懸鏈線。

3.1 理論假設

懸鏈線是一條兩端固定依靠自身重量自由下垂所形成的曲線[12]。為便于滑索懸鏈線方程的建立,對安裝中的滑索做出如下假設[13]

(1)承載索是理想柔性體,其抗彎剛度在計算中忽略不計;

(2)承載索質量沿長度方向均勻分布;

(3)承載索只能承受軸向拉伸,不承受壓力和彎曲作用。

3.2 懸鏈線方程的推導

以懸鏈的最低點為原點建立直角坐標系,垂直方向為y軸,則懸鏈線可用方程y=f(x)表示,圖2所示為懸鏈坐標系和受力示意圖。由圖2可見,A點水平方向上承受向左的拉力H0。此外,圖2中右側C點為懸鏈懸掛點,在弧AC上任取一點B,則B點承受沿切線方向的拉力T,T和水平方向夾角為θ。

圖2 懸鏈坐標系和受力示意圖

設弧AB的弧長為s(x),懸鏈單位長度的重力為q,則豎直方向由于重力作用懸鏈線張力的垂直分力從最低處起逐漸增加,而水平方向上張力的水平分力處處相等[14]。

根據靜力平衡原理有

豎直方向:

Tsinθ=qs(x)

(2)

水平方向:

Tcosθ=H0

(3)

由式(2)和(3)可得

(4)

由于tanθ為B點切線的斜率,即

y′=tanθ

(5)

有

(6)

對于弧AB,由弧長公式可得[15]

(7)

將式(6)代入式(7)有

(8)

對式(8)兩邊同時求導可得

(9)

整理得

(10)

對式(10)兩邊積分

(11)

可得

(12)

則

(13)

由雙曲正弦函數和雙曲余弦函數之間的求導積分關系,可得懸鏈線的方程為

(14)

則,懸鏈線方程為

(15)

可見,承載索的懸鏈線方程為雙曲余弦函數。

3.3 懸鏈線方程

圖3 滑索無荷線形示意圖

懸鏈線方程為

(16)

式中,x0為懸鏈線最低點的橫坐標。

3.4 懸鏈線最低點橫坐標

如圖3所示,可設A、B兩點的坐標分別為(0,yA)、(L,yB),A、B兩點為滑索的兩個端點,則

(17a)

(17b)

由圖示的幾何關系有

yB-yA=Ltanα

(18)

將式(17a)和(17b)代入式(18)得

(19)

利用函數變換關系可得

(20)

求解得

(21)

3.5 無荷中撓系數

滑索懸鏈兩端A、B直線中點的縱坐標

(22)

無荷中央撓度

(23)

無荷中撓系數

(24)

3.6 無荷索長

根據前述分析可得無荷索長為

(25)

4 實例計算

以水平跨度L=315 m的單線滑索為對象,滑索落差h為66 m,主承載索選用18 ZZA 6×19W+IWS線接觸、交互捻鋼芯鍍鋅鋼絲繩,承載索單位長度重力q為12.25 N。根據工程經驗,承載索安裝設定的初始水平拉力H0=5 000、7 000和9 000 N。

由式(1)可得弦傾角

該滑索為大弦傾角滑索,采用懸鏈線理論計算滑索的安裝參數。

由式(21)計算滑索最低點橫坐標

74.88

由式(16)計算滑索的懸鏈線方程

408.16cosh(0.002 45x-0.183)

(0≤x≤315)

由式(17)計算滑索兩端的縱坐標

則滑索的落差為65.80 m,與滑索的實際安裝落差66.0 m吻合良好。

由式(22)計算滑索兩端連直線中點的縱坐標

由式(23)計算滑索的無荷中央撓度

由式(24)計算滑索的無荷中撓系數

由式(25)計算滑索的無荷索長

329.50 m

同理,計算水平拉力H0為7 000 N和9 000 N時的安裝參數。3種水平拉力下滑索的安裝參數示于表1。

表1 滑索安裝參數匯總表

由式(16)得

H0=7 000 N時,懸鏈線方程

y=571.43cosh(0.001 75x-0.070) (0≤x≤315)

H0=9 000 N時,懸鏈線方程

y=734.70cosh(0.001 36x-0.085) (0≤x≤315)

三種水平拉力下滑索的線形,如圖4所示。

圖4 三種水平拉力下滑索的線形

5 結論

針對大弦傾角的滑索設計,采用懸鏈線理論基于懸鏈線受力分析,得出滑索懸鏈線方程。以懸鏈線的標準線形為基礎,建立滑索無荷線形的函數方程,進而得到滑索最低點橫坐標、中央撓度、中撓系數和索長的計算公式。結合工程實例,分別計算分析得到三種不同水平拉力工況下大弦傾角滑索的安裝參數,計算結果與實際吻合良好。該計算方法可為大弦傾角滑索的設計、制造、現場安裝、調試提供參考和借鑒。