剖析圓錐曲線中的探索性問題

■南通大學附屬中學 張 敏

圓錐曲線中的探索性問題,一直是歷年高考數學試卷考查的重點與難點之一。此類問題可以很好地考查圓錐曲線中的基礎知識、基本技能等,同時還能重點考查考生的數學運算與邏輯推理素養,難度為中高檔,具有很好的選拔性與區分度,備受命題者的青睞,常考常新,創新新穎。

一、定值或定點的探索性問題

圓錐曲線中的定值或定點的探索性問題,主要是涉及定值或定點的存在性問題,一般采用假設法,首先根據所解決的問題設出參數,然后假設定值成立或定點存在,再根據定值或定點問題的解決方法,列出參數所滿足的等式關系,則可轉化為方程或方程組的解的存在性問題。

例1已知橢圓=1(a>b>0)的左頂點和右頂點分別為A,B,O為坐標原點。以OB為對角線的正方形OPBQ的頂點P,Q在橢圓C上。

(1)求橢圓C的離心率。

(2)當a=2時,過點(1,0)作與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M,N兩點(M在x軸上方),直線AM,BN的斜率分別為k1,k2。試判斷是否為定值? 若是,求出定值;若不是,請說明理由。

分析:(1)通過正方形的構建來確定參數之間的關系,進而利用離心率的變形公式加以分析與求解;(2)結合過定點的直線與橢圓相交于兩點,進而研究這兩點與對應的橢圓頂點的連線所對應的直線的斜率的比值為定值。

點評:研究參數或代數式的定值問題,關鍵是設置對應的動直線或動曲線,結合直線與圓錐曲線的位置關系,借助函數與方程思想的轉化,通過參數關系式的整體代換與變形,巧妙轉化所求參數或代數式的定值問題,實現定值的探索性問題,這是解決此類問題最常用的技巧方法。需要特別注意的是:在利用整體代換法處理解析幾何中的相關代數式時,由于變量比較多,運算量比較大,所以需要注意合理的整體化思維及變量代換。

二、位置關系的探索性問題

圓錐曲線中的位置關系的探索性問題,主要是涉及直線與圓錐曲線的位置關系的探索與開放問題,關鍵是利用代數法或幾何法將直線和圓錐曲線的位置關系,轉化為相關數量之間的關系,進而轉化為數量關系的探究問題來分析與解決。

例2在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,F(0,1),N(t,-1)(t∈R),已知△MFN是以FN為底邊,且邊MN平行于y軸的等腰三角形。

(1)求動點M的軌跡C的方程。

(2)已知直線l交x軸于點P,且與曲線C相切于點A,點B在曲線C上,且直線PB∥y軸,點P關于點B的對稱點為Q,試判斷A,Q,O三點是否共線? 并說明理由。

分析:(1)根據題目條件,設出動點M的坐標,結合等腰三角形的性質確定MN=MF,由兩點間的距離公式構建關系,加以變形轉化來確定軌跡方程;(2)設出直線l的方程,與拋物線方程聯立,利用直線與拋物線相切的條件結合判別式為零加以轉化,確定參數之間的關系,得以確定點P的坐標,利用條件及中點坐標公式分別確定點B,Q的坐標,結合切線的幾何意義得到點A的坐標,進而結合kAO=kOQ來判斷三點共線問題。

解:(1)設動點M(x,y),因為MN∥y軸,所以MN與直線y=-1垂直,則MN=|y+1|。

因為△MFN是以FN為底邊的等腰三角形,所以MN=MF,即|y+1|=,即x2+(y-1)2=(y+1)2,化簡得x2=4y。

因為當M為坐標原點時,M,F,N三點共線,無法構成三角形,所以動點M的軌跡C的方程為x2=4y(y≠0)。

(2)A,Q,O三點共線,理由如下:

因為直線l與曲線C相切,所以直線l的斜率必存在且不為零。

所以A,Q,O三點共線。

點評:解決圓錐曲線中的位置關系的探索性問題,關鍵是回歸問題本質,抓住所探究的位置關系中的特殊結構問題,根據題目條件分別確定相應點的坐標、直線或曲線的方程等,由幾何直觀特征轉化為代數性質形式,結合代數與幾何之間的關系,實現此類特殊結構問題的化歸與轉化,進而得以解決圓錐曲線中的位置關系的探索性問題。

圓錐曲線中的探索性問題,由于沒有明確的結論,需要通過探究后才能明確得到對應的結論,看似方向不明,自由度大,但具體的研究方向也有一定目的性,要有針對性地加以探索與研究。借助圓錐曲線中的探索性問題的分析與解決,在考查基本知識的同時,又能夠很好地培養同學們的創新意識和應用能力。