以知識為始，以思維為終，落地深度學習
——對特級教師劉德武教學“知識與思維”的賞析

江蘇徐州市大馬路小學（221000） 胡姜華

聯合國教科文組織提出面向21 世紀教育的四大支柱是學會求知、學會做事、學會共處、學會生存。而學會求知的關鍵在于思考的方式。如果教師只關注學生對數學知識的掌握程度，而忽視了數學思維的形成過程，就會導致學生只知道怎么解題，但是不知道為什么這樣解題。筆者在一次教研活動中聆聽了特級教師劉德武的一節特別的數學錄像課“知識與思維”，他以專題知識的形式讓學生經歷數學思考的過程，提出了概括、設數、分析、形感、排除和假設等數學思維方法。

【片段一：從“兩個數相加”中學會概括】

師（出示“知識與思維”）：同學們，我們為什么要上這節數學課？

生1：為了獲得更多數學知識。

師：很多同學上課的時候特別注重這節課學什么知識，這個習慣很好，但是任何一個數學知識背后都有相應的數學思維，這也是特別重要的。這節數學課我們就來研究數學思維。

師（出示題目：□□□+□□□=1000）：兩個三位數相加等于1000，你能解答嗎？

生2：500+500=1000，800+200=1000……

師：滿足條件的三位數有很多。現在要求方框里不能填0。我說第一個加數，你來說第二個加數，好嗎？第一個加數是111，第二個加數是多少？

生（齊）：889。

師：第一個加數是257，第二個加數是多少？

生（齊）：743。

師：這樣的例子還有很多。下面我們做一件事情——概括，你知道是什么意思嗎？

生3：就是把一段很長的文字概括成簡短的一句話。

師：能不能簡單地說一說怎樣的兩個數加起來的和是1000？

生4：這兩個數百位上的數相加的和是9，十位上的數相加的和是9，個位上的數相加的和是10。

師：掌聲送給你。同學們，一起來看看這道題目“0.□□□+0.□□□=1”，想一想這道題中的兩個加數有什么特點？

生5：十分位上的數相加的和是9，百分位上的數相加的和是9，千分位上的數相加的和是10。

師（出示題目：0.□□□□□□□□□□□□+0.□□□□□□□□□□□□=1）：這一題呢？

生6：兩個加數中的數除了最后一位數加起來等于10，前面數位上的數加起來都等于9。

師：這就是高度概括。

【賞析】劉老師開門見山地出示了課題，告訴學生數學思維的必要性和重要性，并以“兩個數相加”為例，帶領學生經歷了三個層次的概括：第一層次是探索“兩個三位數相加等于1000”中兩個三位數的規律，在舉例的過程中發現這樣的例子是無窮無盡的，體會到概括的必要性；第二層次是探索并學會用數學語言描述“兩個三位小數相加等于1”中兩個三位小數的特點，體會到概括是數學思維的高級形式；第三層次是探索并用數學語言描述“兩個多位小數相加等于1”中兩個多位小數的特點，體會到高度概括的抽象性。

【片段二：從“乘積最大”中學會設數和分析】

師（出示題目：a＞b＞c，□□×□=）：將a、b、c三個字母填到方框中，就是兩位數乘一位數的算式了。怎么填可以使乘積最大？

生1：讓兩位數和一位數的差最小，它們的乘積就大了。

生2：bc×a的乘積最大，因為a和b是比較大的。

生3：我是把a放在十位上，我認為ac×b的乘積最大。

師：現在有了兩種答案——bc×a和ac×b，到底哪個乘積最大呢？

生4：我認為bc×a的乘積大。假設a、b、c分別是3、2、1，bc×a=21×3=63，ac×b=31×2=62。bc×a的乘積大。

師：這個方法叫設數，就是給抽象的字母分別設一個合理的數，這樣就把問題變簡單了。還有其他方法嗎？

生5：bc×a和ac×b的十位上的數相乘都是a×b，那么可以只比較個位數相乘的積。bc×a個位上的數相乘是c×a，ac×b個位上的數相乘是c×b，c×a肯定比c×b大，因此bc×a的乘積大。

師：這位同學看到了算式的本質，把一個整體分成了十位數相乘和個位數相乘這兩個部分，這種方法叫分析。（出示：分析或設數都是解決抽象性問題的途徑）

【賞析】劉老師以兩位數乘一位數為切入口，融合了比較大小等知識，引發學生有意識地把較大數放在十位數相乘部分，得出了兩種結果。于是，劉老師進一步引導學生探究到底哪個乘法算式的乘積最大。學生根據自己的經驗，利用設數和分析兩種方法，得知bc×a的乘積更大。對于這兩種數學思維方法，劉老師不是讓學生喜歡哪種就選擇哪種，而是鼓勵學生深入思考，突破思維極限，這樣才會讓數學思維變得更加完整。

【片段三：從“拼成正方形”中發展形感】

出示題目：用兩個完全一樣的長方形（ ）拼成一個正方形。（在括號里填“可能”“不可能”或“一定”）

生1：可能。

師：既然可能，那么這兩個長方形應具備什么條件呢？

生2：長方形的長是寬的2倍。

出示題目：兩個不完全一樣的長方形（ ）拼成一個正方形。（在括號里填“可能”“不可能”或“一定”）

師：你們覺得括號里該填什么？

（有的學生說“可能”，有的學生說“不可能”）

師：怎樣的兩個長方形可以拼成正方形，還得不完全一樣？

生3：這兩個長方形的長是相等的，而且兩個長方形的寬加起來等于長方形的長。

【賞析】劉老師結合可能性和圖形拼合等數學知識，引導學生先用“可能”“不可能”“一定”等詞語描述某種事件的可能性，再想象怎樣的兩個長方形可以拼成一個正方形，最后用數學語言和圖示來描述兩個長方形與一個正方形之間的轉化過程。在“拼正方形”的過程中，學生的空間想象力和概括能力得到進一步提升。

【片段四：從“小數乘法”中學會排除法】

師：對于題目“（ ）×（ ）=15.08”，有四個人給出了答案，但只有一個人答對了。不用筆算，請判斷他們的答案是否正確。第一個人在括號里分別填4.2、4.7，對嗎？

生1：不對。因為15.08 的小數部分是08，而0.2×0.7=0.14。

師：我們看了小數部分的末尾就能判斷對錯，這樣的方法叫“看尾數”。那么，第二個人在括號里分別填3.8、5.16，對嗎？

生2：我認為他的答案也是錯誤的。3.8×5.16的小數部分一定是三位小數，而15.08 只有兩位小數。

師：這種方法叫“看位數”。第三個人在括號里分別填2.6、5.8，對嗎？

生3：整數部分2 乘5 等于10，而15.08 的整數部分是15，差得太多了。

生4：我覺得有可能是對的，2.6×5.8 的積的末尾是8，整數部分相乘雖然得10，加上進位上來的數后也有可能等于15。

師：第四個人在括號里分別填4.2、4.4，如果第四個人的答案是對的，那第三個人的答案就是錯的。這種方法叫排除法。

生5：第四個人答錯了。整數部分4 乘4 等于16，已經大于15了。

【賞析】劉老師結合小數乘法的知識，逐步呈現了不同算式，引導學生學會看尾數、看位數、看大數等方法。面對第三個人的答案時，很多學生都無法判斷是否正確，劉老師告訴學生先放下，看看第四個人的答案后再做判斷。在這個學習過程中，學生能從多個角度看問題，從而學會方法。

【片段五：從“正方體體積”中學會假設和推理】

師：你還記得正方體的體積與棱長的關系嗎？要是知道一個正方體的體積，能不能簡單地除以3得到棱長？我將利用3 道題來檢測大家的掌握情況。

出示：棱長是（ ）厘米的正方體，體積是1 立方厘米。

生1：1×1×1=1，棱長是1厘米。

出示：棱長是（ ）厘米的正方體，體積是8 立方厘米。

生2：2×2×2=8，棱長是2厘米。

出示：棱長是（ ）厘米的正方體，體積是1.728立方厘米。

生3：應該是零點幾厘米。

生4：不對，零點幾乘零點幾的結果是零點幾，不可能是一點多。我認為應該是一點幾厘米。

師：我們可以先想這個正方體的棱長是1 厘米，顯然太小了；如果這個正方體的棱長是2 厘米，又太大了。那么棱長在1 厘米和2 厘米之間，也就是一點幾。具體是一點幾呢？

生5：我認為可能是1.2，因為“1.728”的最后一位數是8。

師：棱長就是1.2厘米。在這里我們用了假設、推理的思維方法，先用到假設法確定了棱長的范圍，再用推理的方法確定到底是一點幾。

【賞析】劉老師圍繞正方體棱長與體積的知識，由易到難設計了三道題，學生輕松解答了前面兩道題，到第三題時，學生充分利用前面兩題的結論縮小了棱長的范圍，再根據第二題的結論推理出棱長到底是多少。劉老師用這樣一個題組向學生傳遞了假設和推理的數學思維方法。

綜上所述，對學生而言，掌握數學知識固然重要，但是只能用在一時，而掌握數學思維方法可以解決不同的場景里出現的問題，比如這節課中的假設法不僅用來解決“乘積最大”的問題，還用來解決“正方體體積”的問題。雖然數學課以學習數學知識為主，不可能天天上思維訓練課，但是這樣的數學課能串聯起不同單元的數學知識，在設計時注重練習的深度和寬度，一切以學生的思維發展為準繩，真正體現以學生為主的教學理念。學生在這樣的學習過程中，自己努力挖掘和提煉數學知識背后的數學思維、數學思想、數學方法、數學策略等，不僅能實現深度學習，還能讓數學學習變得輕松。