函數奇偶性在積分計算中的應用初探

◇樂山師范學院數理學院 劉艷芳

函數的奇偶性是一個非常特殊的性質，并在很多實際問題中有著非常廣泛的應用.本文主要通過具體例子介紹函數奇偶的這一特性在函數的定積分、曲線積分、重積分計算當中的應用.

在高等院校中，高等數學作為各理工科本科生必修的基礎課程，在各個領域都有著廣泛的應用.而積分計算作為高等數學中的重難點，其重要性是不言而喻的.而函數是高等數學中尤其是微積分的主要研究對象，在學習高等數學的過程中我們不難發現函數具有很多特性，比如單調性、奇偶性、有界性、周期性等，這些特性充分體現了函數的幾何美.其中函數奇偶性將數學美體現的淋漓盡致，如心形函數不失為數學專業學子委婉表達自己內心愛慕之情的方法.并且利用函數的特性可以解決和簡化很多計算和應用中的問題，其中將函數奇偶性運用在積分求解的方法中就是一個非常有代表性的舉措，也是非常重要且便利的工具.因此，探究函數奇偶性在積分計算中的運用就相當有必要.在某些較為麻煩的積分計算和證明的問題中，使用常規的方法去處理可能會力不從心，且其中有些積分計算方法靈活，不易直觀求解，甚至會經過比較巧思的方法才能解決，這也就暴露出常規解決問題方法的弊端，令積分計算很是頭疼.因此我們就可以采用針對性的解法，嘗試去尋找這個問題的特殊之處，比如積分區間的對稱性、被積函數奇偶性等，使積分計算的難度可能會得到大幅度的降低.再利用奇偶性的相關定理、結論來求解，更能達到簡化計算過程的目的，使計算過程得到相應的簡化，從另一個角度來說也就提升了求解問題的速度，更加靠近解決問題的最佳方案.

1 函數的奇偶性

2 函數奇偶性在積分計算中的應用

2.1 函數奇偶性在定積分中的應用

這種計算方法必須要滿足被積函數在對稱區間上可積，然后再利用函數的奇偶性求解積分問題.甚至在有些定積分的計算中看似復雜或無從下手，此時卻可以通過考慮被積函數的奇偶性或把被積函數分解出具有奇偶性的函數來達到簡化積分計算的目的.

通過以上例題，一些看似無從下手的題，通過利用被積函數奇偶這一特性，很簡單的就能算出結果，且減小了繁瑣計算量.

2.2 函數奇偶性在曲線積分中的應用

3 結束語

通過上面具體的實例闡述，我們看到了函數的奇偶性可以很巧妙的簡化積分中的計算.不僅如此，函數的奇偶性在重積分、曲線積分、曲面積分以及其他的很多問題中都有著不容小覷的作用.由此我們由函數的奇偶性聯想到對稱性，發現了數學中的很多美好，從而激起了我們學好高等數學的興趣和熱情.也更能把數學中抽象難懂的知識生動形象地闡述出來，帶來很多的直觀感受.在解決問題的時候，盡量避免復雜的推導，觀察問題本身，可能會比一味硬算節約更多的時間，這在生活中也會是一門深究的學問.