掃描教學實況，剖析失敗原因，提升業務水平

耿玲玲

［摘? 要］ 數學教學具有發展學生數學思維，培養學生數學核心素養的重要作用. 然而，數學教學實踐效果常與教師預期目標有偏差. 文章以“數列求和”（錯位相減法）為例，掃描錯位相減法教學片段，以執教者的心路歷程為主線，從教學簡錄、教學困惑、錯因分析以及教學反思等方面展開闡述.

［關鍵詞］ 錯位相減法；教學簡錄；教學困惑；錯因分析；教學反思

肖川教授在《教育的使命與責任》一書中提出：學生在被信任的狀態下學習時，會學得更好；學生在自主參與探索時，能學得更好；學生存在更高期許時，能學得更好. 由此可見，學生的學習狀態受教學內容、教師態度以及自我期許等綜合因素的影響. 筆者在“數列求和”（錯位相減法）的復習過程中，因學生有一定的基礎，高估了學生的認知水平，發生了一些“意外”，就此引發了一些思考.

教學背景

本節課的授課對象為普通高中文科班學生，學生的數學基礎與學習能力均一般，但班風好，學生學習態度端正，能積極參與課堂活動；授課內容主要是“錯位相減法求和”，并在此基礎上讓學生掌握幾種特殊的數列求和法. 對于教師而言，“錯位相減法求和”是特別簡單的內容，幾乎不用教師花費多少時間與精力去講解、引導與探索，就能順利完成教學任務.

案例掃描

師：大家說說哪類數列適合用錯位相減法求和呢？

生1：若一個數列的各項都是由一個等差數列和一個等比數列對應項乘積所組成的，這類數列適合用錯位相減法求和.

師：非常好！這是我們所知道的一種數列類型. 其實，可以用錯位相減法求和的數列不止這一類.

為了調動學生的探索欲，筆者在此處創設了一個與本節課教學內容相關，又貼近學生生活實際的情境.

情境：一天，教研員到某班聽課，課堂教學內容為“用錯位相減法求數列的前n項和”. 新課講授接近尾聲時，教師編擬出了一道練習題，并隨機抽取了三名學生到黑板上演示“用錯位相減法求數列的前n項和”，大家猜猜結果是怎樣的？

學生異口同聲回答：肯定都做對了.

師：非常遺憾，三名學生解題統統失敗.

學生感到不可思議，紛紛議論開來，筆者見這個情境成功地吸引住了學生的注意力，便趁熱打鐵，適時拋出新的問題.

師：大家來看，這邊有一個問題.

隨著問題的提出，學生很快進入了探索狀態. 不久，大部分學生表示已經完成，筆者看到學生自信滿滿的狀態，就采取了訪談的方式教學本題.

教學困惑：課堂教學流程并沒有大問題，在小結環節中，筆者針對一些題目還特別強調了“要注意的地方”. 為什么學生仍然沒有理解這個知識點（錯位相減法求和）的實際應用呢？

錯因分析

為了解開這個困惑，筆者特別找了幾個認知水平不錯卻沒有做對的學生，要求他們在辦公室解題. 解題后，筆者發現這幾位學生的解題過程都存在一些問題. 現將幾種常見的錯誤與原因羅列如下：

錯因 式①減式②并非錯位相減，而是對應相減，導致循環推理錯誤. 同時，這種解法將指數冪分母輕易變形，改變了數列原有的結構特征，影響了規律的尋找.

綜上所述，這些錯誤都屬于沒有含金量的低級錯誤，本不應該出現在高三學生身上，但事實勝于雄辯，出現這些錯誤的學生還不少. 其實，有些小錯誤只要稍微用點心，取特殊值驗證就能發現問題，但多數學生想不到.

細細剖析這些錯因，主要源于以下兩類情況：第一，由認知因素導致，如錯解1對解題方法不理解，錯解3對概念掌握不透徹，錯解4對公式應用不靈活；第二，由非智力因素導致，如錯解2、錯解5的運算粗心或書寫不規范等.

透過學生的錯誤類型不難發現，學生對錯位相減法的掌握并不牢固，從中也投射出教學方法存在不少問題. 基于此，筆者進行了深刻反思.

教學反思

1. 教學設計，應了解學情

新課標明確提出，學生才是課堂的主人，任何教學活動的開展應基于“以生為本”的理念實施. 本節課，筆者從自身認知水平出發，覺得講授錯位相減法是一項非常簡單的教學任務，理所當然地認為學生能快速理解并掌握——認為學生接觸本節課內容前復習過等比數列前n項和的公式推導過程，對錯位相減法有一定的知識基礎. 基于以上判斷，出現了問題缺乏針對性，預設不合理的教學情況.

本節課的講授對象為普通文科學生，雖然班風正，學習氛圍好，但學生的數學思維仍不夠深入，即使之前接觸過“錯位相減法求和”相關知識，但時間一久就遺忘了，尤其是細節方面幾乎遺忘殆盡. 又由于筆者課前沒有利用一定的手段（如學前問卷調查等）對學生的實際情況進行摸排，只是從自身的角度出發判斷學生處于怎樣的認知水平，導致所提出的問題顯然高于學生的實際認知水平.

因此筆者認為，在教學設計前，教師應從根本上了解學生的實際認知水平——有時教師認為非常簡單的知識，在學生那里有可能因為時隔已久而感到陌生. 在教學設計時，教師尤其要注意，隨著教齡的增加，與教材的距離越來越近，甚至爛熟于心，容易提出離學生實際認知水平越來越遠的問題.

陶行知先生認為，教什么？怎么教？需要考慮“人”的問題，針對不同的人，教的內容、方法、分量、次序都不同. 每節課的教學設計，應從學情出發，只有將“以人為本”“因材施教”“以學定教”等理念落到實處，才能設計出與學生認知與思維相匹配的教學活動.

2. 例題教學，應變式拓展

例題教學在數學課堂中的應用較為廣泛，它能激活學生思維，讓學生將所學習的內容靈活地應用到實踐中. 本節課中除了錯位相減法外，還涉及“分組求和”“倒序相加”等數列求和法，筆者對這幾種方法的復習用力均勻，并沒有突出重點，也沒有意識到錯位相減法是難點，更沒有在課堂上檢查學生的學習情況，只是帶領學生粗淺地探索了一般性問題，導致學生理解不透徹的現象出現了.

由此也可以看出，筆者對本節課的教學定位不準確，師生之間缺乏有效溝通，無法摸清課堂教學真正的成效. 數學教學切忌“就題論題”，這樣浮光掠影的教學方式，學生難以從根本上掌握知識本質，更難以建構完整的認知體系. 變式的應用，不僅能強化學生對知識的理解，還能激活學生思維，發展學生的創新意識，對推動學生核心素養的形成具有不可估量的作用.

本節課的例題教學環節，在原題的基礎上，教師可以設計如下變式：

以上變式可以在教師課前結合學情就預設好，也可以在課堂中結合實際教學情況動態生成，亦可從學生解題的過程中收集而來. 不論是哪種獲取方式，都能有效啟發學生思維，提高教學效果. 當然，例題教學還可以應用小組合作交流與匯報展示的方式進行.

3. 教學方法，應深析本質

課堂教學只有揭露出知識的本質與內涵，才能幫助學生建構完整的知識體系. 本節課，在學生的作業出現較多錯誤的情況下，筆者特別訪談了部分學生，發現他們對錯位相減法的本質并不理解，只是依葫蘆畫瓢，模仿課堂例題去解題，對于“為什么這么做”“這么解題究竟對不對”并沒有考慮過. 追根溯源，在于筆者的教學方法過于老套，沒有引導學生探究錯位相減法的本質.

數學教學不僅是知識教學，更是方法教學，教師不僅要教會學生解題，還要引導學生知道這么解題的原因是什么. 機械記憶與套用模式只能在大腦中留下短暫的印跡，難以長久保持，只有弄清問題的本質，才能以不變應萬變.

那么，錯位相減法求和的本質究竟是什么呢？所謂錯位相減法求和，即先在等式的等號兩邊同時乘公比（或公比的倒數），使新等式與原等式存在大量同類項，兩式相減后得到的式子有許多有規律的項，由此再利用等比數列求和公式求和. 值得注意的是，想要發現這些有規律的項，需要將兩個式子的同類項列在同一列上，便于相減時發現其中的特點，如“差是什么”“有多少項（常為n或n－1項）”.

如果將“求和”的本質理解為減少項數或化簡，那么轉化化歸就是錯位相減法求和，即將“非等比數列求和”轉化成“等比數列求和”來解決，也就是揭露等比數列與非等比數列的內在聯系. 學生一旦明確錯位相減法求和的本質與操作程序，解題的思維起點就高了，出錯誤的概率必然減少，教學成效也會顯著提高.

總之，數學課堂教學不能因為學生有一定基礎就加快節奏，想要提高教學成效，必須立足學情與教學內容的特征，放緩教學節奏、注重細節、學會寬容、等待學生，讓每個水平層次的學生都擁有暴露思維的機會，在充足的空間與時間內進行思考. 同時，作為一線數學教師應不斷審視自身的教學行為，與時俱進地更新教學理念，秉持教育公平，不斷提升自身的業務水平，讓每個學生都能在教學中獲得不同程度的發展.