關于指對同構思想的一點思考

晏廷鳳

（曲靖市教育科學研究所，云南 曲靖 655000）

1 對同構思想的思考

“同構式”指“結構相同的式子”[1]，是指除了變量不同，其余結構均相同的方程或不等式[2]。同構思想通過合理變形，得到兩個相同結構的式子，在利用不等式處理函數的求值或不等式恒成立問題中，有一部分試題是命題者利用函數單調性構造出來的，再利用單調性解方程或者比較大小[3]，同構的思想方法常常應用到高考壓軸題的導數綜合性問題中。如果能找到不等式兩邊對應的同一函數，無疑會大大簡化解題過程，如F（x）≥0能變形為f（g（x））≥f（h（x）），再利用f（x）的單調性，如果單調遞增，則g（x）≥h（x），這種方法稱為同構方法[4]。

2 針對題型及解決方案

主要針對指數和對數混合的導數問題，這類題型主要出現在解答題的壓軸位置，如果函數結構中同時包含對數式和指數式，通過適當的指對變形、配湊，調整不等式結構，轉化為積型、商型、和差型3 個同構基本型，同構為同一個函數，即得到兩個相同結構的式子，利用同構函數的單調性，再把復雜的不等式轉化為簡單的不等式，問題將會迎刃而解[5]。

3 常見的指對變形

常見的指對變形如式（1）所示。

以上這些變形近幾年十分流行，對解決指對混合不等式問題，例如，恒成立求參數取值范圍，或證明不等式，都帶來了極大的便利。當然，在具體使用中，往往要結合切線的放縮或換元法。可以說掌握了這些變形及常見切線型不等式，就大大降低了這類題的難度，能避免復雜的計算與推理，大大簡化解題過程。

4 指對同構的3 種模型（積型、商型、和差型）

（1）積型模型如式（2）所示。

（2）商型模型如式（3）所示。

（3）和差型如式（4）所示。

5 同構方法在經典例題中的應用

5.1 利用同構思想求參數的取值范圍

例1：（2020 全國新高考）已知函數f（x）=aex-1-lnx+lna。

（1）當a=e 時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積。

（2）若f（x）≥1，求a 的取值范圍。

解析：（1）當a=e 時，（fx）=ex-lnx+1，有f（′x）=ex-所以k=f′（1）=e-1。

因為f（1）=e+1，從而知道切點坐標為（1，e+1），所以函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（e+1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x+2。

（2）由f（x）≥1 可得式（5）。

構造g（x）=x+ex，顯然函數g（x）=x+ex在（0，+∞）上是單調遞增的函數。

由elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx 有g（lna+x-1）≥g（lnx），又函數g（x）=x+ex在（0，+∞）上單調遞增，所以lna+x-1≥lnx，故lna≥（lnx-x+1）max，令h（x）=lnx-x+1，則h′（x），所以當x∈（0，1）時，h（′x）＞0，函數h（x）=lnx-x+1 在（0，1）上是單調遞增的，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，函數h（x）=lnx-x+1 在（1，+∞）上是單調遞減的，所以h（x）max=h（1）=1，故a≥1。所以a 的取值范圍為[1，+∞）。

例2：對任意x∈（0，+∞），不等式a（eax+1）≥2（x+）lnx 恒成立，求實數a 的取值范圍。

（1）若a=2，求函數f（x）的單調區間。

（2）設g（x）=eax-ax2+ax，當x＞0 時，2f（x）-g′（x）≤0，求a 的取值范圍.

（2）設g′（x）=a（eax-2x+1），因為2f（x）-g′（x）≤0，則lnx-2ax-a（eax-2x+1）≤0，即2（x2+1）lnx≤ax（eax+1），即（x2+1）lnx2≤（eax+1）lneax；設h（x）=（x+1）lnx，則可得h（ea）x≥h（x2），因為，則設u（x）。

當0＜x＜1 時，u′（x）＜0，當x＞1 時，u′（x）＞0，所以函數u（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，所以u（x）≥u（1）=2，即h′（x）≥h′（1）=2，則函數h（x）=（x+1）lnx 在（0，+∞）上單調遞增，則由h（eax）≥h（x2），得eax≥x2在（0，+∞）上恒成立，即ax≥2lnx 在（0,+∞）上恒成立。

例4：已知函數f（x）=aexlnx（a＞0），g（x）=x2+xlna。

（1）討論函數f（x）的單調性。

（2）設函數h（x）=g（x）-f（x），若h（x）＞0 對任意的x∈（0，1）恒成立，求實數a 的取值范圍。

解析：（1）函數當f（x）=aexlnx 的定義域為（0，+∞）時，，令，則m（′x），當x∈（0，1）時，m′（x）＜0，m（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，m′（x）＞0，m（x）單調遞增；所以m（x）≥m（1）=1＞0，又因為a＞0，ex＞0，所以f′（x）=aex（lnx+）＞0，故（fx）在（0，+∞）上單調遞增。

（2）由題意可知：aexlnx=ex+lnalnx＜x2+xlna=x（x+lna）。

5.2 利用同構思想判斷單調性及求參數的值

例5：已知函數f（x）=xe-ax-lnx+ax-1（a∈R），其中e為自然對數的底數。

（1）當a=0 時，求函數f（x）的最值。

（2）若當x＞0 時，函數y=xe-ax的圖像與y=1 的圖像有交點，求a 的最大值。

（3）若f（x）的最小值為0，求a 的最大值。

解析：（1）當a=0 時，f（x）=x-lnx-1，f（′x）=，所以x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，所以f（x）min=f（1）=0。

（2）由題得方程xe-ax=1 有正實數解，兩邊取對數，得lnx-ax=0，所以，令，當x∈（e，∞）時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減；x∈（0，e）時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增，所以F（x）max=F（e）=，則F′（x）=，所以a 的最大值為。

（3）由題意得f（x）≥0，且能取等號，即xe-ax-lnx+ax-1≥0 且能取等號，令t=xe-ax（t＞0），兩邊取對數，得ln（xe-ax）=-ax+lnx=lnt，所以f（x）=xe-ax-lnx+ax-1=t-lnt-1≥0 恒成立，且等號成立，由（1）可知f（x）=g（t）=t-lnt-1≥g（1）=0，且t=1 時等號成立，即t=xe-ax=1 時，xe-ax-lnx+ax-1=0≥0，且等號成立，即xe-ax=1 有正實數解，兩邊取對數，得lnx-ax=0，所以，令，則F（′x）=，當x∈（e，+∞）時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減；x∈（0，e）時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增，所以F（x）max=F（e）=，所以a 的最大值為。

5.3 利用同構思想處理導數問題中的零點問題

（1）若f（x）≥0，求a 的取值范圍。

（2）證明：若f（x）有兩個零點x1，x2，則x1x2＜1。

（2）因為f（x）有兩個零點x1，x2，則等價于t=x-lnx有2 個不同的解x1，x2，故，所以x1-lnx1=x2-lnx2，則，由對數平均不等式可得，故x1x2＜1。

6 結語

同構法構造函數是高中數學解題的一種常見方法，在解題實踐過程中，若能通過觀察、分析、整理等變形手段，看清題中函數結構的共性或等式（或不等式）兩側同構，則可輕松構造函數，巧妙利用函數單調性解題。指數和對數混合的導數題，許多情況下，需要湊出同構的形式來，因為指數和對數之間可以互相轉換，盡量轉換為常見的積型、商型、和差型3 種同構形式。利用同構思想方法構造函數的基本策略與流程是：“不等式同解變形，左右形式相當；一邊一個變量，取左或取右，構造合適的函數”。新高考形勢下試題重視數學本質，突出理性思維、數學應用、數學探究、數學文化的引領作用，突出學生對關鍵能力的考查，要求學生理解準，速度快，思維強，才能拿高分。因此平常要培養學生善于總結方法，不斷提高學生的創新能力、轉化化歸的能力，突出邏輯推理、數學抽象、數學運算等核心素養。以上幾個經典例題充分體現了“同構”思想在解決導數綜合題中發揮著不可估量的作用。同構思想是解答數學題的一種常用方法與技巧，特別是在解決壓軸選擇題、填空題、壓軸解答題時發揮著奇特功效。在教學中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，可以拓寬學生的思維，把抽象問題直觀化，用直觀函數的特征、性質，建立問題中的不等關系，以提高解題的能力和速度。