“歸納推理”在數學教學實踐中的應用研究

［摘? 要］ 歸納推理作為邏輯推理的重要組成部分，在小學數學的教學設計、教學活動實施以及解題活動中都有重要意義。文章從歸納推理的理論基礎出發，著重梳理了歸納推理在小學數學教學中的實施目標，并提出在教學中的具體實施措施。

［關鍵詞］ 歸納推理；推理；目標

數學邏輯推理能力被新課標作為六大核心素養之一，不論在教學設計、教學活動實施還是解題中都有重要意義。歸納推理能力對小學生解決數學問題有著重要的作用。筆者著眼于小學數學課堂教學，基于大量的教學實踐來探討歸納推理能力的內涵與實際應用價值。

一、理論基礎

邏輯推理從結構出發，可以分為演繹推理、歸納推理和溯因推理三種。其中，演繹推理是指從已知的定理、定義或確定的規則出發，從邏輯推理的程序進行計算與證明的過程，包括從一般到特殊與從特殊到一般兩類，又被稱為唯一能獲得確定結論的推理方式。歸納推理主要是指在實踐中尋找問題間存在的規律，并通過猜想獲得一般模式，從而提出一般性結論的過程［１］。

為了讓人們能區分出這三類推理方法，皮爾遜借助法則、實例與結論三個要素，對每種類型的推理分別進行了描述。法則是指一種情況發生，另一種情況必然會出現的命題；實例指在一定條件下，觀察事物的特點與聯系；結論與實例類似，但又包含法則。

不同類型的推理，其著重點有著一定的區別。法則為演繹推理的核心，而實例為歸納推理的基礎，溯因推理則借助相應的法則與結論來解釋實例?？导{爾（Conner）等人又進一步將該理論與圖爾明的一般論證結合在一起，更加明晰了各種類型推理的關系，充分展示了法則、實例與結論在各個推理類型中的角色。

二、實施措施

（一）過程要素分析

歸納推理的過程要素主要有：①研究數學對象的性質特征與對象之間的關系；②認識數學對象之間的異同點；③建立概念、運算法則，發現研究對象的性質與規律等；④用精準的文字、語言符號清晰地表達歸納過程。

（二）實施目標梳理

任何能力的培養都需遵循由淺入深、循序漸進的過程，想要培養學生的歸納推理能力，必須從學生的實際出發，符合學生的認知發展規律。實踐證明，歸納推理的實施一般遵循以下四個階段：

1. 前歸納階段

此階段主要是培養學生的觀察習慣，讓學生在觀察與分析中積累一定的數學經驗，適用于一年級學生的教學。其過程為：學生經歷數學活動，從中積累一定的經驗，對研究對象產生直觀或感性認識；當學生再次遇到類似的問題情境時，就會激活認知，形成自己的判斷。

案例1? “加法交換律”的教學

學生從自己的認知經驗出發，能計算類似于“7+5=12、5+7=12”之類的題。雖然學生還不了解“加法交換律”，但在反復的練習訓練中，仍然能形成“兩個加數的位置發生交換，所獲得的結論還是一樣”的隱性認知經驗。這個簡單的模式識別式的推理，就屬于潛意識中的歸納推理前歸納階段。

前歸納階段應結合學生的認知特征，以具體的生活實物、數量與圖形為載體，讓學生在直觀感知中獲得相應的認知，從而達成以下幾個目標：①初步學會觀察方法，形成良好的觀察習慣；②學會簡單的比較與分析，發現所觀察對象的異同點，學會簡單的分類，切身感知規律的含義；③積累相應的比較、分析、分類的經驗。

2. 初級階段

該階段主要培養學生分類與探尋規律的能力，主要適用于二三年級學生的教學。學生在前歸納階段的基礎上，進行簡單、系統的歸納推理。然后結合數的認識、幾何圖形的學習，在操作、觀察中對研究對象進行比較、分析，從而發現事物之間的異同點。從內容上來看，主要側重于圖形與數量性質等方面的探究，利用枚舉法推理出相應的結論，并能用恰當的語言符號來表達。

案例2? “有余數的除法”的教學

教學時，教師要引導學生在分發物品的活動中，發現“有余數”的現象，從而建立“余數”與“有余數除法”的概念。教學活動中，教師可鼓勵學生擺一擺，學會對除法算式分類：有余數和沒有余數兩大類，通過歸納發現4根小棒可以擺出一個正方形，而無法擺成正方形的小棒分別有1、2、3根，據此發現“余數＜除數”的規律。

初級階段應達到的目標為：①根據標準進行合理分類；②對規律形成基本認識，能提出簡單的猜想，并能用語言符號進行表示；③積累互動經驗，為完善推理奠定基礎。

3. 完善階段

歸納推理的完善階段即檢驗評估與反例驗證階段，與四五年級學生的認知相匹配。此階段的學生已經有了一定的推理經驗，教師利用數形結合思維，能進一步強化學生對數學現象的觀察、分類、分析與比較等能力，讓學生對自身所猜想的結論進行客觀的評估，且能用反例法來論證錯誤結論。

學生在此階段既關注研究對象的數量或圖形的性質等，又對數量或圖形之間的關系有了進一步的探索。而教師應引導學生在感知數學對象的表面特征上，通過思維加工其本質、內在特征等，并能用枚舉法獲得相應的結論，用精準的語言或符號進行表達。

案例3? “三角形三邊關系”的教學

教學時，教師提供一些長短不一的小棒，讓學生任選3根擺成三角形的形狀，并對擺放過程進行思考與分析，在比較中形成初步猜想。在此基礎上，鼓勵學生任意畫三角形，讓學生在“量、算”的過程中驗證自己的猜想，并自主獲得以下結論：任意三角形的任意兩邊長度之和，必須大于第三條邊。

教師可帶領學生一起探究：三角形的兩邊之和為什么不能等于或小于第三條邊呢？鼓勵學生應用反例進行驗證，以完善自己的認知。

歸納推理的完善階段需要達到以下目標：①加強學生應用枚舉歸納法獲得猜想，尤其要學會應用這種方法促進運算法則與各種規律的建構；②錯誤猜想的應用，讓學生感知枚舉歸納法所獲得的猜想或結論具有或然性，驗證猜想是必不可少的環節，并學會運用反例法來推翻錯誤的猜想。

4. 前演繹階段

此階段是學生明白“是什么”“為什么”的環節，適用于六年級學生的教學。在該階段，教師應引導學生應用數形結合思想，深入觀察、比較、分類、分析活動過程，形成相應的猜想或結論，并確定猜想的合理性與相應的數學意義，也就是做到知其然且知其所以然。

案例4? “長方體的體積”的計算公式

活動1：教師組織學生進行小組合作學習，每個小組用若干個1cm3的正方體自主擺出各種各樣的長方體，并繪制表格，記錄相應的數據。

活動2：要求學生用小正方體擺放出指定尺寸的長方體。

根據兩次探究活動所形成的數據進行歸納推理，鼓勵學生自主分析出長方體體積計算公式。分析過程中，學生應用了枚舉歸納法，自主獲得了該公式“是什么”。對于小學高年級的學生而言，知道“是什么”還遠遠不夠，只有發現長方體長、寬、高之間的內在聯系與計算公式的“為什么”才算完成教學任務。

鑒于此，教師可適當地增加演繹推理的教學，引導學生用科學歸納法理解1cm3為單位體積，將一個大長方體分割成一個個1cm3的小正方體，則為該長方體的體積。如此可強化學生對長方體體積的認識，讓學生從真正意義上理解該公式的內涵。

歸納推理的前演繹階段應達到的目標為：能用枚舉歸納法，促進運算規律與發展的形成，適當增加演繹成分；引入科學歸納法，讓學生通過個例的分析，發現問題的因果聯系，自主解釋結論或猜想的過程，達到科學歸納的層次。枚舉歸納法要獲得“是什么”，科學歸納推理要達到“為什么”的層次。

縱觀以上四個階段，它們遵循由淺入深、循序漸進、逐漸深入的過程，而且四者是相輔相成、不可分割的，它們是互相推進的關系。結合學生智力與認知發展規律，在此階段實施歸納推理目標，應有明顯的層次性與階梯性，為學生形成完整的歸納推理能力奠定基礎。

三、實施策略

（一）明確推理目標，獲得猜想方向

數學學科具有一定的復雜性與抽象性，對學生的想象力與邏輯推理能力要求較高。教學時，教師應引導學生明確推理目標，讓學生能從自己的直覺出發，結合自身的認知經驗，進行大膽猜想、推測與歸納。因此，目標是教學活動的“燈塔”，學生在目標的指引下，會邁出敢想、會想的第一步；同時，教師還要根據學生思維的實際情況，引導學生從問題的各個維度去猜想，獲得更多、更完善的結論。

案例5? “積的變化規律”的教學

計算下列各式，并分析比較各式積的變化規律。

20×3=60；

20×（3×2）=（? ）；

20×（3×10）=（? ）；

（20×4）×3=（? ）。

教師如果直接提出：“通過以上計算，你發現了什么？”學生一般都會通過觀察，提出結論：乘數×2，積也×2；乘數×10，積也×10等。這個結論沒什么問題，但拘泥在具體數值上，學生就達不到對一般積的變化規律的認識。

因此，教師在學生觀察之前，應提出一個明確的歸納推理方向。比如：“大家觀察以上算式，說說兩個乘數分別發生了怎樣的變化？當一個乘數不變時，另一個乘數與幾相乘積會發生怎樣的改變？”

這樣，學生自然而然地朝教師所提供的方向去猜想，所獲得的結論就帶有明確的目標性。當然，教師在預設目標時，并沒有硬性的規定，而是一種引導，讓學生感知規律的存在。值得注意的是，教師不能將自己的思路強加給學生，而要從啟發的角度，引導學生進行全方位的思考。

（二）引導自主歸納，感知推理過程

史寧中教授認為歸納推理是一種智慧，這種智慧并非表現在經驗結果上，它體現在思考與經驗過程中［２］。歸納其實是學習者的直覺與邏輯思維交織互動的一個過程，因此有著一定的規律性。學生只有掌握了歸納推理的一般思維步驟，才能明晰自己接下來應該思考什么。

歸納推理的思維過程，主要遵循以下幾個步驟：①綜合分析素材；②明確歸納方向，總結出被研究素材的共性特征；③猜想共性因素與規律；④證明猜想。

案例6? “釘子板上的多邊形”的教學

教師可引導學生先探究多邊形中間有1顆釘子的情況，發現“面積都是多邊形邊上釘子數量的一半”的結論。如果離開這個前提，那么這個規律就不復存在。在此基礎上，再引導學生探索多邊形中間有2顆釘子的情況。

如圖1，數一數多邊形的釘子數量，計算面積，并對數據進行綜合分析。隨著問題的逐個突破，再引導學生探索、猜想多邊形內部存在3、4、5……顆釘子的多邊形面積與圍成該多邊形所需釘子數量的關系，讓學生通過畫一畫、算一算，驗證自己的猜想。

學生的思維隨著問題的逐漸深入而發散，最后一段猜想關系的內容已經上升到演繹推理的范疇，對學生的思維要求更高。該活動過程不僅凸顯了數學的本質，還讓學生親歷了歸納推理的全過程。

（三）增強反思意識，積累推理經驗

弗賴登塔爾認為：反思是學生思維活動的動力與核心。于學生而言，每個知識的學習都是一種經歷，只有將這一個個經歷上升為自己的經驗時，才彰顯出學習的價值與意義［３］。反思就是從一次次經歷中總結經驗的過程。問題的解決并不代表思維活動就此終止，很多時候是深入認識的起點。從感性認識上升到理性認知過程，反思充當了橋梁的作用，而缺乏反思的學習是不完整的學習過程。

培養學生的反思意識，促進反思習慣的形成，不僅能豐富教學活動過程，還能讓學生在反思中積累推理經驗和獲得相應的思想方法。但反思習慣的形成離不開教師長期的引導與滲透，只有不斷地給學生提供反思機會，才能讓學生沉淀出相應的經驗與方法。

總之，歸納推理貫穿于整個小學階段，教師應明確每個階段學生所適用的歸納推理目標，讓學生在循序漸進中獲得良好的學習方法與技巧，形成可持續性發展的學習能力，為學生數學核心素養的形成奠定基礎。

參考文獻：

［１］ 吳維維，邵光華. 邏輯推理核心素養在小學數學課堂如何落地［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１９，３９（０３）：８８－９５.

［２］ 史寧中. 試論數學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［Ｊ］. 數學教育學報，２０１６，２５（０４）：１－１６＋４６.

［３］ 弗賴登塔爾. 作為教育任務的數學［Ｍ］. 陳昌平等譯. 上海：上海教育出版社，１９９５.

作者簡介：馬秋琦（1996—），本科學歷，中小學二級教師，從事小學數學教學工作。