區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型下的歐式期權(quán)定價

摘 要 文章采用隱式差分法研究了區(qū)域轉(zhuǎn)換下的歐式股票期權(quán)定價問題. 假設兩個狀態(tài)分別服從常彈性方差模型，運用隱式差分法解出偏微分方程的數(shù)值解，理論證明了數(shù)值格式的穩(wěn)定性，數(shù)值結(jié)果證明了該方法的有效性和收斂性.

關(guān)鍵詞 區(qū)域轉(zhuǎn)換；CEV；偏微分方程；歐式期權(quán)

中圖分類號 O29；F224.9 文獻標識碼 A

0 引 言

常彈性方差（CEV）模型最初由Cox和Ross[1]提出的一種標的資產(chǎn)價值的隨機波動率模型. 在CEV模型提出之后，國內(nèi)學者根據(jù)CEV模型在期權(quán)定價方面進行了研究，例如：障礙期權(quán)[2]、亞式期權(quán)[3]、脆弱期權(quán)[4]. 王愛銀和于文明[5]在亞式期權(quán)中引入CEV模型和跳擴散模型，為了提高期權(quán)定價的精度，應用方差縮減技術(shù)后的蒙特卡洛模擬進行定價. 近年來，區(qū)域轉(zhuǎn)換下的期權(quán)定價模型越來越受關(guān)注，文獻[6-8]均考慮了在區(qū)域轉(zhuǎn)換下，股票價格服從幾何布朗運動的情況. 其中王寶平[7]將無風險利率和波動率都做出了帶有轉(zhuǎn)換機制的假設，且給出了兩狀態(tài)和多狀態(tài)的數(shù)值結(jié)果. IdinNoorani等[9]研究了具有兩狀態(tài)馬爾科夫鏈的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型，并對亞式期權(quán)的定價，提出了一種基于K標準正態(tài)隨機向量的對偶變量方法. 結(jié)果表明，隨著K的增加，K-對偶變量估計可以較好的降低亞式期權(quán)定價的誤差. Elliott等[10]討論了區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型的歐式期權(quán)和美式期權(quán)的估值. 區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型是對CEV模型的推廣，采用連續(xù)時間內(nèi)有限狀態(tài)的馬爾科夫鏈調(diào)制的相應市場參數(shù)代替恒定的市場參數(shù).

本文擬在已有研究的基礎上，進一步討論當標的資產(chǎn)價格的動態(tài)受區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型控制時，歐式期權(quán)的定價問題. 對期權(quán)定價的偏微分方程組，采用隱式差分法進行離散，并證明了該數(shù)值格式是穩(wěn)定的.

3 數(shù)值實驗

考慮一個歐式期權(quán)，股票的初始價格為S0＝55美元，執(zhí)行價格K＝58美元，期權(quán)的有效期為T＝1年，區(qū)域1的無風險利率為r1＝0.07，波動率為σ1＝1.65，區(qū)域2的無風險利率為r2＝0.02，波動率為σ2＝2.40，q12＝0.2，q21＝0.6. 單個CEV模型的無風險利率為r3＝0.045，波動率為σ3＝1.65. 假設股票的最高價格為美元Smax＝100. 圖1和圖2為彈性因子α分別取0.5，0.75時看跌期權(quán)和看漲期權(quán)的模擬結(jié)果.

從圖1和圖2中觀察到，隨著彈性因子α的增加，區(qū)域1和區(qū)域2的股票期權(quán)價格間的差距增加了. 看跌期權(quán)中區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價格隨著股票價格的增加而降低. 彈性因子α＝0.75時，區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價格比彈性因子α＝0.5時的價格高，看漲期權(quán)中區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價格隨著股票價格的增加而增加，彈性因子α＝0.75時，區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價格比彈性因子α＝0.5時的價格高. 不管是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，彈性因子α＝0.5時，單個CEV模型的期權(quán)價格近似區(qū)域1和區(qū)域2的期權(quán)價格的平均值，隨著彈性因子的增大，單個CEV模型的期權(quán)價格更接近于區(qū)域1中的期權(quán)價格.

圖3給出了區(qū)域轉(zhuǎn)換下歐式看跌期權(quán)價格的三維圖，從中觀察到看跌期權(quán)價格隨著股票價格的升高而降低，隨著時間的增加而增加，且兩區(qū)域之間的期權(quán)價格相差較小.

下面測試每個區(qū)域的收斂性，收斂比率Rk（k＝1，2）定義為

其中Uz，Uz＋1，Uz＋2是期權(quán)價格.

以區(qū)域轉(zhuǎn)換下CEV模型的看跌期權(quán)為例，收斂結(jié)果和時間步長大小如表1所示，從表1的結(jié)果中可以看出每個區(qū)域都是收斂的.

下面計算每個區(qū)域的期權(quán)價格誤差，表達式如下：

其中Uh為在網(wǎng)格點M*N處的期權(quán)價格，h＝1，2，3，4，5.

以區(qū)域轉(zhuǎn)換CEV模型下的看跌期權(quán)為例，圖4顯示了區(qū)域1和區(qū)域2中的期權(quán)價格誤差值隨著網(wǎng)格的細化而減小，因此也證明了每個區(qū)域是收斂的.

4 結(jié) 論

本文主要討論了區(qū)域轉(zhuǎn)換下CEV模型的期權(quán)定價問題，采用隱式差分法求解區(qū)域轉(zhuǎn)換下的偏微分方程，得到了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格，并證明了該格式的穩(wěn)定性、有效性和收斂性. 在未來的研究中可以討論多種市場狀態(tài)的情形.

參考文獻

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European Option Pricing withRegime-Switching CEV Models

WANG Funing， LI Peng

（School of Mathematics and Statistics， North China University of Water Resources andElectric Power， Zhengzhou 450046， Henan， China）

Abstract" In this paper， an implicit difference scheme is developed to price European stock options with Constant Elasticity of Variance （CEV） models under regime-switching settings. Assuming that stock price follows the CEV model with two states， the implicit finite difference method is utilized to solve the corresponding partial differential equations. The stability of the numerical scheme is proved theoretically， and the effectiveness and convergence of the method are verified by numerical results.

Keywords" regime-switching; CEV; partial differential equation; European options

收稿日期：2022 － 05 － 11

作者簡介：王福寧（1994—），女，漢族，河南周口人，碩士研究生，研究方向：金融數(shù)學.

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