由一道2022年高考壓軸題引發的研究

摘?? 要：關于ex、lnx、x的組合函數問題，按常規方法解答難度較大.如果能抓住組合函數的結構特征，合理構造新函數，可以將問題轉化為常見的超越函數問題.2022年高考甲卷第22題至少可以用兩種不同的構造法來解答.

關鍵詞：構造；導數；研究

中圖分類號：G632???????? 文獻標識碼：A???????? 文章編號：1008-0333（2023）07-0056-03

1 題目再現

題目?? （2022年全國高考甲卷第22題）已知函數fx=exx-lnx+x-a．

（1）若fx≥0，求a的取值范圍；

（2）證明：若fx有兩個零點x1，x2，則x1x2<1．

2 總體把握

本題題設簡潔，問題常規.第一問模式近十年來經常考查，本質是求函數的最小值，進而得出參數范圍.可以直接求最小值，也可以分離參數構造函數求最值，還可以指數與對數相互轉化構造函數求最值.第二問屬于典型的極值點偏移問題，有很多辦法可以處理它，由于問題有高數背景，并不容易解答.緊緊扣住已知函數的結構，指數與對數相互轉化構造函數相對容易一些.

3 解法探究

3.1 常規解法

分析1?? 對于（1），利用教材知識：用導數研究函數的單調性、極值、最值，按部就班可以解答，在求導過程中，注意因式分解，將超越式轉換為整式或分式，基本功扎實的學生還是可以完成的.

對于（2），直接作答，思路不暢，方向不明，我們利用分析法，將問題等價轉化為exx-xe1x-2lnx-12x-1x>0，這個過程還是比較漫長的，對學生的能力要求較高.最后結合導數的功能可以完成證明.

構造法解題顯得很便捷，使用也非常廣泛，在三角、數列、函數、導數、解析幾何、立體幾何、解不等式中均有應用.在平常學習中應注意積累，在結構上下功夫，提高應用意識，主動探究構造路徑，一些問題構造方法較多，如本題.通過本題的對比解答，不難看出構造法的妙處，通過長期主動訓練，一定能提高我們的創新水準.

參考文獻：

［1］ 胡貴平.指對同構法處理導數題［J］.數理化解題研究，2021（01）：30-32.

［2］ 符強如.著眼基礎 回歸教材——2019年全國Ⅱ卷第22題解析與思考［J］.理科考試研究，2020，27（03）：15-17.

［責任編輯：李?? 璟］

收稿日期：2022-12-05

作者簡介：丁成榮（1983.7-），男，江蘇省鹽城人，本科，中學一級教師，從事高中數學課堂教學研究.