構造函數法在高中數學解題中的應用

趙文慶 陸萬順

摘?? 要：基于2021-2022年8套高考數學全國卷，從考查知識、試題特點和命題導向三個方面對試卷中應用到構造函數法的試題進行統計分析.

基于高考在高中教學中的導向作用，提出在函數教學時應加強對函數概念本質的理解，注重構造思想的滲透.

關鍵詞：構造函數法；數學解題；高考數學

中圖分類號：G632???????? 文獻標識碼：A???????? 文章編號：1008-0333（2023）07-0041-04

1 問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）指出：“函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最基本的數學語言和工具，是貫穿高中數學課程的主線.”然而，函數具有的高度抽象性和形式化等特點，增加了學生對函數本質理解的困難，使得學生難以把握變量之間的關系以及建立適當的函數模型來解決現實世界中的實際問題.

在中學數學中，構造法因其獨特的思維方式而備受關注，是一種常用的解題方法.所謂構造法是指依據常規思維或解題方法解決某些問題存在困難時，能夠從題設條件以及結論的性質和特征等新角度出發，把握題設條件和結論之間的內在聯系，以頭腦中已有的數學知識為支架，構造出滿足題設條件或結論并且能夠展現出原問題隱含關系的新的數學對象，并借助其他數學工具快速解決問題的方法.構造法伴隨著數學的產生而產生，中國的《九章算術》和西方的《幾何原本》中含有大量構造思想，在數學發展的起始階段，存在著大量的直觀經驗，而這些經驗都是需要加以總結和提高的，也就是在此時，構造方法體現出了極強的應用價值，所以無論東方還是西方，構造法都有著極其深遠的影響.

2 試卷分析

主要采用文本分析的方法對2021-2022兩年的高考數學全國卷（包括2021年全國理科甲、乙卷和新高考Ⅰ、Ⅱ卷以及2022年全國理科甲、乙卷和新高考Ⅰ、Ⅱ卷共8套試卷，下文稱全國卷）進行定量統計和定性分析，明晰構造函數法在高考試卷中相關試題的分值及分值占比，呈現試題的特點以及命題導向，根據研究的實際呈現結果為構造函數法的教學提出合理可行的建議.

2.1 試卷總體分析

由表1和表2可知，與函數有關的試題在考查函數相關知識點的同時，更側重于構造思想方法的滲透.從考查總分來看，全國卷對構造函數法的考查總分穩定在10-20之間，選填題和解答題都有涉及考查，以中等及以上難度的題目為主.

從考查知識來看：試題考查的知識覆蓋必修和選修函數這一主題的各個章節，包括：函數的概念和性質（單調性、最值、奇偶性、周期性等）以及一元函數導數與單調性、極值、最值的關系等；此外，由于函數在高中數學解題中的工具性，在圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的幾何性質及最值問題、隨機變量的分布列及期望、錐體與球的綜合問題、等差數列的證明、不等式的范圍等相關問題的解決過程中，也可能需要構造相應的函數作為解決問題的工具.

從試題類型來看：對選填題的統計表明，8套試卷中共考查了10道選填題，大多位于選填題的中間或壓軸位置，著重考查函數的單調性、奇偶性等性質或是以構造出的函數作為工具解決圓錐曲線、錐體與球等相關問題，對于解答題的統計表明，8套試卷中共考查了8道解答題，一般出現在壓軸題或次壓軸題的位置，主要在導數相關知識的考查中體現構造法的思想解決方程根的問題、證明不等式、極值問題、函數零點問題、參數取值范圍問題. 此外，在新高考試卷中出現了通過構造合適的函數來證明隨機變量的期望、等差數列的證明.由此可以看出，高考試卷在選填題和解答題上都側重對函數性質的考察，解答題還注重導數與函數的單調性、最值的關系.考查知識明確，考查題型穩定，考查難度偏難，偶有難度減小現象，試題對函數內容的考查逐漸深入，注重學科知識的融合性.

2.2 試題特點分析

2.2.1 重視基礎知識的考查

全國卷作為使用范圍最廣的高考試卷，重點考查基礎知識、基本經驗、基本技能和基本方法.試題在教材的基礎上推陳出新，對教材進行了激活，體現了命題源于教材又高于教材的特點.通過對基礎知識的重新變式或拓展，賦予時代特色，體現全國卷的設計理念，例如2022年新高考Ⅰ卷22題第（2）問對等差數列的證明，體現了數列的本質是一種特殊的函數，側重對學生基本知識的考查.

2.2.2 重視創新能力的考查

《深化新時代教育評價改革總體方案》提出：構建引導學生德智體美勞全面發展的考試內容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題的開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現象. 例如2021年新高考Ⅱ卷第14題，根據函數性質構造符合題目要求的函數解析式，著重考查學生的思維靈活性，試題形式為開放性試題，有利于數學學科核心素養和關鍵能力的考查，發揮了高考數學試卷的選拔功能.

2.3 命題導向分析

以試題的統計數據為基礎，聯系試題特點，繼續對命題導向進行分析探討，具體如下.

2.3.1 考查知識綜合化

結合表1和表2可以看出，對構造函數這一方法考查總分占比穩定.全國卷中對單一知識點進行考查的試題明顯減少，重視知識綜合.隨著文理不分科的實行，試題考查有著綜合化的趨勢，重視函數與不等式、函數與方程、函數的性質與導數的關系等知識在試題中的融合考查；強調基礎內容和主干知識，關注知識間的聯系；素養考查上，側重以題目中已知元素作為原件進行構造，側重創新思維能力的培養以及邏輯思維能力的發散.

2.3.2 考查題型多樣化

《中國高考評價體系》明確指出“四層”為高考的考查內容，即“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”，“四翼”為高考的考查要求，即從基礎性、綜合性、應用性、創新性的角度對素質教育的目標進行評價. 試題的答案不再是唯一的，開放性試題和結構不良試題登上高考試卷舞臺，要求學生具備靈活運用知識的能力.如2021年新高考Ⅱ卷14題，開放性試題為學生提供了更多展示空間、發散思維、綜合解答問題和探究創新的可能.開放性試題是考查學生核心素養和數學能力的重要方式，也是綜合性和創新性的集中體現.

3 構造函數法的應用評析

函數在高考試卷中占有重要地位，運用一些傳統方法解決問題遇到困難時，可以轉變解題思路，通過構造適當形式的函數模型達到解決問題的目標.

3.1 構造函數比較大小

例1?? （2022年新高考Ⅰ卷7）設a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則（????? ）.A.a

C.c

比較大小問題經常用到冪函數、指數函數、對數函數等幾類常見的基本初等函數，綜合應用指數運算、冪運算、對數運算，通過構造相關函數，利用對應函數的圖象和性質，形象直觀地處理相關的比較大小問題，可以很好地考查函數與方程思想、抽象概括、推理論證、運算求解能力，以及數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.本題主要考查函數的單調性、比較大小等知識，破解此類問題的關鍵：一是細審題，如本題，題眼“a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9”，能發現它們的共性；二是巧構造，即會構造函數，并判斷其單調性，注意活用導數法或初等函數的單調性進行判斷；三是會放縮，即會利用放縮法比較大小.

3.2 構造函數證明不等式

例2?? （2021年新高考Ⅰ卷22）已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b

用構造函數法證明不等式，如何構造函數以及構造什么形式的函數是一個難點，并且滿足所構造的函數必須是單調函數.本題作為2021年新高考Ⅰ卷壓軸大題，以對數函數為載體，綜合考查利用導數研究函數的單調性及構造函數證明不等式.以函數作為工具解決不等式問題時，需要深刻地認識各類初等函數的具體特征，即一般的基本初等函數y=f（x）及其反函數的性質（單調性、奇偶性、周期性、最值、圖象變換等），第（2）問中的不等式證明，對學生的邏輯思維能力和運算求解能力和創新能力進行了深層次的考查，需要注意培養學生理性思維和數學探索等素養.

3.3 構造函數求值或參數范圍

例3?? （2021年全國甲卷21）已知a>0且a≠1，函數f（x）=xaax（x>0）.

（1）當a=2時，求f（x）的單調區間；

（2）若曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

本題作為壓軸大題，主要考查導數在研究函數單調性以及方程根的問題中的應用，第（2）問中首先將曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點轉化為方程lnxx=lnaa有兩個不同的解，然后構造函數g（x）=lnxx，通過求導得到g（x）的單調性，進而有g（x）max=1e.又g（1）=0，從而得到0

3.4 根據題設條件構造具體函數

例4?? （2021年新高考Ⅱ卷14）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數fx=.

（1）f（x1x2）=f（x1）f（x2）；

（2）當x∈0，+∞時，f ′（x）>0；

（3）f ′（x）是奇函數.

本題要求學生從已有條件出發，列舉出一個滿足條件的函數.看似是一個“舉例問題”，但其本質上仍是一個構造問題，構造出一個函數f（x）符合題目中的要求、性質等信息.由于答案開放，所以在邏輯思維的靈活性方面起到了很好地考查作用，同時也為不同層次、不同水平的學生提供充分發揮自己數學能力的空間.

通過以上對構造函數法例題的分析可以看到，構造法確實是一種解決函數問題的好途徑，當使用常規思維方法無法解決問題時，合理構造函數模型，利用函數的圖象，通過數形結合，以形輔數，直觀簡單明了地解決問題，啟迪學生數學思維，開拓學生解題思路，同時也提高了學生分析問題、解決問題的能力，起到事半功倍、出奇制勝的效果.

4 研究啟示

4.1 加強對函數概念本質的理解

學生學習數學概念的過程，就是學生掌握數學本質的過程.張奠宙先生認為數學本質是“數學知識的內在聯系，數學規律的形成過程，數學思想方法的提煉，數學理性精神的體驗.”從概念上看，函數是一類特殊的映射，其本質是兩個非空實數集之間的對應關系，那么學生除了要理解“對應”的思想，還要準確地認識集合、定義域、值域等， “函數思想”就是以此為基礎建立的，通過解決相關的問題，學生在原有的認知基礎上，提出質疑，認真反思，逐步加強對函數概念的理解，學生清晰地認識了對應思想后，才能更好地理解函數的本質特征，在解題過程中把握函數思想，提高學生的數學學科核心素養.

4.2 注重構造思想的滲透

構造法的應用很多，針對不同的數學問題可以采用不同的構造方法，但并不是所有的問題都能夠通過構造適當的數學模型得以有效解決.在平常的數學教學活動中，教師應注意循序漸進地對學生進行構造思想的滲透，在潛移默化中增加對學生構造思想的體驗.運用構造法解決問題有助于學生構建數學知識結構，在建構過程中，通過對已有的數學知識經驗進行整合重組，構造一個新的數學對象，形成新的數學認知結構.運用構造思想解決問題是一個綜合了抽象思維、形象思維、邏輯思維等多種思維成分的復雜思維過程，這一過程同時也是培養創造性思維的過程.

參考文獻：

［1］ 蘇洪雨，章建躍，郭慧清.數學學科核心素養視野下的高中函數概念教學“再創造”［J］.數學通報，2020，59（08）：25-31+35.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 陳旗.構造法在高中數學中的應用探究［D］.西安：西北大學，2016.

［責任編輯：李?? 璟］

收稿日期：2022-12-05

作者簡介：趙文慶（1998-），女，內蒙古赤峰人，從事數學教學研究；

陸萬順（1981-），男，寧夏彭陽人，碩士，副教授，從事數學教學研究.

基金項目：寧夏自然科學基金項目（項目編號：2022AAC03329）;寧夏高等學校科學研究項目（項目編號：NXG2022098）