數形結合思想在2020-2022年高考全國理科卷中的應用

王若璇 周春梅

摘?? 要：本文以數形結合的理論基礎為切入點，著重探索數形結合思想在2020-2022年高考全國理科卷中函數及立體幾何的具體應用，以幫助學生解決復雜問題，切實提升數學解題能力.

關鍵詞：數形結合思想；高考；數學解題

中圖分類號：G632?? ??????文獻標識碼：A?? ??????文章編號：1008-0333（2023）07-0035-03

1 數形結合思想

數形結合思想是高中數學中學生必須要掌握的思想方法，它體現在高中數學內容的各個方面，如集合、不等式、向量、三角函數、解析幾何、立體幾何等.通過閱讀大量文獻發現，許多學者對“數形結合”都有自己的理解.

徐文龍把“數”理解為數學文字表征，即數字、數學概念、數學定理、數學結構等，把“形”可以理解為圖形表征，即實物、圖象、圖表、圖形等.

蔡小雄認為“形”因“數”得到抽象的概括，“數”因“形”得到直觀的體現，將數學語言與圖形語言巧妙結合，利用圖形的直觀刻畫和代數的嚴謹論證，使數學問題得以研究和解決.

華羅庚在描述數形結合時說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.數形結合百般好，割裂分家萬事休.”

2 數形結合思想在2020-2022年高考全國理科卷中的應用

經過對近幾年高考試題的研究，在解決一些復雜的問題時運用數形結合的思想方法，可以小費力獲得大收獲，特別是在求解選擇題、填空題中更能表現出它的優越性.在這里主要以“函數”“立體幾何”這兩類較難的問題進行探索.

2.1 在函數問題上的應用

函數是高中數學學習中的重點與難點，是高中數學課程內容的四條主線之一，在高中數學中占據非常重要的地位.在解決函數問題時，可以應用數形結合思想，將題目中的問題與圖形有效結合起來，通過圖形將題目中的問題具體化，抓住題目中的解題要點.

例1?? （2022年全國乙卷）已知x=x1和x=x2分別是函數fx=2ax-ex2a>0且a≠1的極小值點和極大值點.若x1

解析?? 由題意，得f ′x=2axlna-2ex（a>0且a≠1），因為x=x1和x=x2分別是函數fx的極小值點和極大值點，即f ′x=0有兩個不同的實數根x1，x2，且x1

當f ′x=0時，ax=elnax，令gx=ax，hx=elnax，則gx與hx的函數圖象有兩個不同的交點.

當0

即x0lna=1，即x0=1lna=logae.

所以切線斜率k=ax0lna=alogaelna=elna，要使gx與hx的函數圖象有兩個不同的交點，則elna

又0

當a>1時，若函數gx與hx的圖象有兩個不同的交點，則函數圖象如圖2所示，則當x∈0，x1時，f ′x>0，可得函數fx是單調遞增的；當x∈x1，x2時，f ′x<0，可知函數fx是單調遞減的；當x∈x2，+∞時，f ′x>0，fx單調遞增.則x1為極大值點，x2為極小值點，與題意不符.

綜上所述，a可取的范圍是1e，1.

通過這兩個例題，可以發現：在近幾年的高考題中，對于立體幾何大題的考查主要集中在證明線線的關系及求線面所成角上.考查了學生的空間想象能力、運算求解能力，體現了直觀想象的核心素養.

通過對2020-2022年高考全國理科卷中個別題目的詳細解答可以發現：現在的高考數學不僅僅是對知識點的考查，考查更多的是學生的邏輯推理、直觀想象等能力.所以，在教學過程中，首先增強學生的學習興趣，其次在進行思想方法滲透時要有支撐， 最終提高學生運用數形結合方法解決問題的能力.

參考文獻：

［1］蔡小雄.更高更妙的高中數學思想與方法［M］.杭州：浙江大學出版社，2012.

［2］ 陶政國.論數形結合思想在高中數學解題中的優勢與應用［J］.數理化解題研究，2022（16）：78-80.

［責任編輯：李?? 璟］

收稿日期：2022-12-05

作者簡介：周春梅，女，寧夏固原人，碩士，副教授，從事復分析及其在力學中的應用研究；

王若璇（1998.8-），女，山西省臨汾人，碩士，從事數學教學研究.

基金項目：2020寧夏高等學校科學研究項目（項目編號：NGY2020079）；寧夏自然科學基金資助項目（項目編號：2022AAC03332）；寧夏卓越教師發展研究人才小高地項目經費資助.