基于對偶模型的企業最優擴張策略研究

桂有利　陳麗芳　任越

摘要：企業發展到一定階段，需要對外擴張，但近年研究企業擴張的模型很少。文章以企業最小破產概率為目標，研究基于對偶模型下企業最優擴張策略問題。得到了最優策略的表達式及最小破產概率所滿足的方程。通過數值分析，得到了符合實際的最優策略、最小破產概率和初始盈余、投入產出參數、收入次數初始強度的關系。

關鍵詞：對偶模型；擴張策略；破產概率

隨著經濟的不斷發展，企業為其需要進行企業擴張已然成為一種普遍現象。在經營中，若企業采取了不合理的發展速度，將影響企業的正常經營活動，降低企業的盈利能力，甚至導致企業破產，從而損害投資者甚至社會公眾的利益，以破產概率最小為目標，研究企業最優擴張策略，對企業進一步發展顯得尤為重要。

在過去人們為獲取企業最小的破產概率進行了大量的研究，RamsdenL等研究了離散時間對偶風險模型的破產概率；Frostig等研究了具有兩類收入來源的對偶風險模型的破產概率；鄒娓等人研究了廣義復合Poisson對偶風險模型的相關理論，華婷等人研究了最大化調節系數的最優比例再保險和破產概率，陳勛杰等人從最小破產概率視角研究企業最佳現金持有模型等，在最小破產概率方面，積累了大量的理論知識。

在企業經營方面，建立對偶模型，也有不少研究，傅立群等研究了帶擾動對偶模型中Erlang（2）分紅決策時間下的最優分紅，楊莉等研究了閾紅利策略下帶干擾對偶風險模型的Gerber-Shin 罰金函數，韓咪等研究了帶擴散擾動的二維對偶模型的最優分紅等，對偶風險模型作為企業的經營模型，有很好的理論依據和實際含義。

眾多文獻中，以最小破產概率為目標，建立對偶風險模型，研究企業經營活動的文獻很少，但企業風險管理極其重要，楊潔等探析了企業應收賬款管理的有效途徑，朱坤福等分析了企業投融資管理存在的問題，田彥等分析了企業投資風險管理的規范措施，徐智濤等分析了擴張型企業財務風險防范策略等，可見企業經營活動研究的重要性，因此，本文從企業擴張策略角度，以企業最小破產概率視角，對企業經營建立對偶模型，并進行研究。得到了最優策略的表達式及最小破產概率所滿足的方程。通過數值分析，得到了符合實際的最優策略、最小破產概率和初始盈余、投入產出參數、收入次數初始強度的關系。

一、模型

將所有的隨機過程和隨機變量都定義在完備的概率空間（Ω，F，P）上和一個滿足通常條件的域流{Ft，t≥0}，即Ft右連續且P完備。

首先，引用對偶風險模型：

其中，X0＝x為初始基本金，c>0為企業費用支出，{N（t）}是強度為λ的泊松過程，{Yi}與{N（t）}獨立同分布，有共同分布F（y），將{Yi}的一階矩記作μ，二階矩記作σ2，∑ Yi為復合泊松過程，表示到時刻t時企業的收入總和。Xt便表示企業在t時刻的盈余過程，所以{Xt}是一個連續時間的隨機過程。企業費用支出c通過期望原理計算，得到：

其中，θ表示企業的安全負載，且θ＞0。

建立微分方程：

其中X0＝x。

為簡化結果，將微分方程進行擴散逼近：

其中，X0＝x，Bt為標準布朗運動。

為滿足發展的需要，企業必須進行健康的擴張。當企業進行擴張時，最直接體現在管理費用的增加上，此時的管理費用設為ｃ＾（t）。當沒有新產品研發時，Yi的分布不受擴張的影響。收入次數N（t）分布的強度λ＾（t）隨管理費用變化而變化。得到新的微分方程：

假設企業為了擴張，將t時刻盈余Xt的比例π作為擴張時期的管理費用，此比例即擴張策略，將帶來t時刻收入次數強度λ＾（t）的變動，根據實際可行性，假設強度λ＾（t）與擴張策略π滿足對數關系，即

其中，λ＾（0）＝λ、πXt≥1。稱β為投入產出參數。

此時盈余滿足微分方程：

企業要保證在破產概率最小的情況下進行擴張，因此我們的目標是使企業破產概率最小，即：

二、Hamilton-Jacobi-Bellman方程

定理1：假設Ψ（x）在（0，+∞）上二次連續可微，則Ψ（x）滿足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：

根據定理2，當給定參數λ，μ，β，g（x）＝β（1+ σ2 ）為常數，即給定各參數，根據邊界條件，算出最小破產概率。根據定理2，最優擴張策略，即盈余用于管理費用的比例跟成反比。

三、數值分析

例題1：假設μ＝1，σ＝1，λ＝0.5；1.0；1.5，x=5，β∈[3，7]計算最優擴張策略π*，及最小破產概率Ψ（x），并畫出相應圖表，如圖1及圖2。

由圖1可知，最優擴張策略跟π*跟強度λ＾（t）函數（1.6）里面的投入產出β及初始強度λ有關，最優擴張策略π*隨投入產出參數β增大而增大，隨初始強度λ的增大而增大。擴張費用增加能帶來較多收入次數強度的話，這時可以適當增加用于擴張的管理費用比例，反之則要控制管理費用投入。初始強度較大時也可以適當增加擴張的管理費用比例。

由圖2可知，最小破產概率隨強度λ＾（t）函數（1.6）里面的投入產出參數β的增大而減少，且當有較大的初始強度λ時，也有較小的破產概率，符合實際。

例題2：假設μ＝1，σ＝1，λ＝0.5，x=5；6；7，β∈[3，7]，計算最優擴張策略π*，及最小破產概率Ψ（5），并畫出相應圖表，圖3及圖4如下。

由圖3可知，最優擴張策略與初始盈余有關，隨初始盈余的增大而減少，當初始盈余較大時，只能用相對小的盈余比例用于擴張的管理費用，這符合風險控制原則。由圖4可知，最小破產概率隨初始盈余的增大而降低，符合實際。

四、結論及對策

理論結論，本文以企業最小破產概率為目標，研究基于對偶模型下企業最優擴張策略問題。得到了最優策略的表達式及最小破產概率所滿足的方程。通過數值分析，得到了符合實際的最優策略、最小破產概率和初始盈余、投入產出參數、收入次數初始強度的關系。

實踐結論，企業發展到一定階段，需要對外擴張。擴張策略需要考慮風險，為了公眾利益，最常見的是考慮最小破產概率。本文的最優擴張策略正是在最小破產概率的目標下得到的。經研究發現，最優擴張策略受初始盈余、投入產出參數、初始強度等因素的影響，所以企業在實施擴張時，必須綜合考慮各因素，尤其是資金盈余、產出初始強度及投入增加能帶來多少產出強度的增加等因素。

基于以上結論，當企業經營到某個階段，需要擴張時，本文提出相應對策。

（一）根據初始盈余，制定合理擴張速度

根據本文研究結論，最優擴張速度受初始盈余影響，當初始盈余較高時，抵御風險的能力也較強，這時可以制定大一點的擴張速度，如果初始盈余不高，為保險起見，以保守速度進行擴張。

（二）根據企業所處行業，制定合理擴張速度

根據本文研究結論，最優擴張速度受收入次數初始強度影響，收入次數初始強度代表行業情況，當行業景氣，收入次數初始強度較高，此時適合采取高速度擴張，如果行業不景氣，收入次數初始強度較低，應采取保守擴張速度。

（三）根據企業銷售團隊的能力制定合理擴張策略

根據本文研究結論，最優擴張速度受投入產出參數影響，投入產出參數反映企業銷售團隊的能力，當銷售團隊能力較強，投入產出參數則較大，此時應采取高速度擴張，反之，銷售團隊能力不強，投入產出參數較小，應采取保守擴張速度。

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＊基金項目：大學生創新訓練湖南省項目（S202111528045）。

（作者單位：桂有利、陳麗芳，湖南工學院；任越，深圳房訊通信息技術有限公司）