一題多解探究三重積分的計算方法

摘?要：三重積分是多變量微積分學的重要內容之一，主要用于計算空間物體的質量、物體對坐標軸的轉動慣量、物體間的引力等實際問題。一直以來，三重積分的計算都是高等數學的難點，主要問題在于求解方法的選擇和積分區間的確定。本文以一道高等數學課后習題為例，探究三重積分的不同計算方法，總結不同方法的適用條件。

關鍵詞：三重積分；柱面坐標；球面坐標；高斯公式；輪換對稱性

小結

本文從一道課后習題出發，探究了計算三重積分的四種方法。從四種方法的計算過程可以看出，雖然此題目四種方法都可使用求解，但是部分方法使用起來計算量較大，并不是求解此問題的最佳方法。因此有些方法只有在特定情形下使用，計算起來才比較方便。并且對稱性和輪換對稱性的使用經常可以簡化三重積分的計算。本節主要總結四種三重積分計算方法的特點，并給出各種方法適用的問題類型。

第一是投影法。投影法只對積分區域有要求，即積分區域滿足平行于坐標軸且穿過積分區域Ω內部的直線與積分區域Ω的邊界曲面S最多只有兩個交點都可以使用。由于投影法對被積函數沒有限制，對積分區域要求較少，因此：（1）大部分題目都可以采用投影法；（2）當被積函數沒有特殊性，積分區域除了滿足投影法要求以外并不滿足其他方法條件時，應使用投影法。但是更少的限制意味著更復雜的計算量，故投影法使用的難點主要在計算。

第二是截面法。截面法是將積分區域看成是若干用與坐標面平行的平面切成的片狀區域的累加，但一般情況下直接使用截面法計算量較大。因此主要使用簡化的截面法求解問題，以下情況考慮使用截面法：（1）當被積函數是單變量函數，并且截面區域面積容易計算，即積分區域是由柱面、球面、橢球面、橢圓錐面、橢圓拋物面所圍成的閉區域，或者其中幾種曲面圍成的閉區域；（2）積分區域具有對稱性或輪換對稱性，即為旋轉橢球面、柱面或球面所圍成的閉區域，被積函數可以通過積分區域的對稱性或輪換對稱性化解成單變量函數。

第四是球面坐標法。球面坐標法需要將積分區域放在球面坐標下考慮，根據球面坐標的特點，以下情況考慮使用球面坐標法：被積函數是f（x2+y2+z2）的形式，積分區域是球域或者球域的一部分。

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作者簡介：江婧（1995—?），女，漢族，四川眉山人，碩士，助教，中國民用航空飛行學院教師，研究方向：最優化理論與算法、凸分析。