聚焦課堂生長點　強化思維巧進階

陳緩

本節課是蘇科版數學教材七年級上冊第6章復習課的第一課時。數學復習課的目的在于幫助學生進行知識梳理，自主建構知識體系，并使不同層次的學生得到不同程度的發展。因此，一節好的復習課往往是數學教學的“點睛”之筆。本節課以“線段、角”的復習為落腳點，實踐生長數學的教學追求。

一、教學目標

1.研究方法的遷移生長

幾何學的研究對象是圖形，對于圖形而言，主要研究它的形狀、大小和位置關系。在研究圖形的形狀時，有一個基本的研究思路，即“實物模型—基本圖形—文字語言—符號語言”。線段和角作為基本圖形，為我們打開了幾何世界的大門。因此，在復習“線段、角”時，我們也要彰顯基本思路，強化“類比源”，實現知識節的生長。在本次活動中，筆者先帶領學生復習線段的相關知識，感受和體會幾何學習的基本思路和方法。接下來，類比我們對線段的研究，架構起角的藍圖，實現研究方法的遷移生長。

2.學習經驗的自然生長

在教學活動的開展過程中，要充分調動學生已有的學習經驗。對于線段的研究，主要從概念、表示方法、度量以及線段上的特殊點等方面展開。對于角的研究，我們依然可以借鑒此經驗，由線段的概念、表示方法到角的概念、表示方法，由度量法和疊合法比較線段的長短到用這兩種方法比較角的大小，由利用尺規作一條線段等于已知線段到作一個角等于已知角，由線段的中點到角的平分線，由線段的三等分點到角的三等分線……一系列的類比性研究，無不體現學習經驗的自然生長。

遵循《義務教育數學課程標準（2022年版）》的要求，從生長數學的理念出發，筆者將本節課的教學目標定為以下三點：一是回顧、思考本章所學線、角的相關知識，使知識系統化、結構化；二是通過類比的方法，進一步加深對線、角的數量關系和位置關系的認識；三是進一步豐富對平面圖形的認識，體會所蘊含的數學思想方法，會用規范的幾何語言進行表達。教學重點是把握線、角之間的區別和聯系，滲透類比、分類等基本數學思想。

二、活動設計

1.建立知識網絡

問題一：看到圖1這條線段，你能想到什么？

關于問題一，學生一般能夠想到：（1）兩個基本事實：兩點之間線段最短與兩點確定一條直線；（2）線段與射線、直線的區別和聯系；（3）線段的表示方法；（4）線段的可度量性；（5）數線段的方法；（6）三角形……教師鼓勵學生盡情地表達自己的想法，并做好相應的理答及板書。一條線段，其實就是本節課的生長點。筆者通過設置開放性問題，營造思維場域，引導學生自主建構關于線段的知識網絡，同時讓學生感受到答案的任意性和廣泛性。

2.繪制線段的藍圖

問題二：這條線段上有沒有特殊的點呢？

生：中點。

師：我們把這個中點找到，記作點C（圖2），你能不能用符號語言描述一下中點的性質？

追問1：接下來這個點C動一動，它不是中點了，我讓它停留在線段AB上任意一個位置。然后，分別取AC、BC的中點D、E，你知道DE與AB有什么樣的數量關系嗎（圖3）？

追問2：如果點D和E不是中點，又會怎樣呢？我們不妨讓AD=[13]AC，BE=[13]BC，這時候的DE和AB又會有什么樣的數量關系呢？（請同學們在學習單上寫出猜想和理由。）

追問3：如果讓你繼續提問，你會提出什么問題呢？

問題二主要是想考查中點及其性質，學生很容易說出；教師要進行相應的板書，并且拋出追問1，對點C不是中點的情況進行討論。如果學生說出DE=[1/2]AB，這時教師要引導學生進行數學說理，用幾何語言來表達觀點，并在學習單上寫出說理過程，將格式規范化。接下來，教師拋出追問2，鼓勵學生先獨立完成，然后采用小組合作交流的方式進行。在實際教學中，有的學生會想到利用“線段和”的方法，這時，教師可啟發學生思考不同的方法，鼓勵其他小組說出利用“線段差”的方法，并將兩種方法進行對比分析。還要讓學生感受數量上從特殊到一般的過程，如果學生想到的是點C在線段AB外，其他條件不變，結論是否成立？也要給予充分的肯定，并指出這是位置上的一種特殊。

在剛才的探索中，通過解決層次性的問題，學生能夠拾級而上，逐漸生長。從線段上的一個特殊點出發，引發了一系列的思考。在最初的一條線段上，不斷增加條件元素，體現了圖形的生長。通過條件升級，在經歷從特殊到一般再到更一般的過程中，培養學生“識圖、讀圖、畫圖、想圖”的能力，感受并體會幾何問題的研究規律。

3.“打通”知識通道，讓“角”自然生長

師：如果這條線段繞著一個端點旋轉到一定度數，會形成什么呢？

生：一個角。

問題三：如果我們從研究線段的角度來思考，角怎么研究？

問題三是一個開放性的問題，如果線段部分研究得足夠充分，那么類比以上研究思路，學生自然能夠想到角平分線的性質，角的三等分線、N等分線，角內的動線問題，以及角外的動線問題等。對于學生發散的思維，教師要給予表揚，也可適時追問：“其實我們研究的只是線段的其中一個三等分點、N等分點，角的其中一個三等分線、N等分線，其他情況又會怎樣？”設置矛盾沖突，留下懸念和思考的空間。

因此，通過線段的研究，學生可提煉“基本圖形—文字語言—符號語言”的基本思路，并將相應的學習經驗應用于角的研究之中，感受“線角同性”的魅力。

4.小結與提升

問題四：通過本節課的學習，你對線段和角有了哪些新的認識呢？

對于問題四，如果學生能夠說出線段和角有著緊密的聯系，可讓其進一步總結，并繼續追問：“通過今天的學習，你還想研究哪些問題？怎么研究？”教師引導學生梳理本節課的研究過程并對后面的學習進行展望，體會幾何圖形的基本思路，提煉學習經驗。