復變函數與積分變換課程的改革與設計實踐

岳紅云

（河南工業大學理學院 河南 鄭州 450001）

1 問題的提出

2018 年，習近平總書記在全國教育大會上強調[1]，堅持立德樹人，推進教育改革，教育現代化加速推進，教育引導學生培養綜合能力，培養創新思維。而培養學生創新思維、創新實踐能力，課程是重要的根基和載體，發揮融合課堂的主導作用和學生的主動性，著力打造一流課程，是提高學生綜合能力的重要方法。要堅持扎根中國大地辦教育，要求扎根中國、融通中外、立足時代、面向未來，發展具有中國特色、世界水平的現代教育。

復變函數與積分變換作為大學公共數學的重要課程之一，具有承上啟下的關鍵作用。它是電氣、自動化等工科相關專業的重要基礎課程，復變函數的研究方法和獨特性質，是解決信號處理問題和自動控制問題等的重要又方便的數學工具，亦是培養學生工程數學思維能力的重要手段。當前，新工科建設正在進入新階段，對公共數學課程解決復雜工程問題能力的支撐作用提出了新要求。

在傳統教學模式下，教師講授時間過長，教學內容、方法、評價方式單一，學生沒有參與感和獲得感，并且傳統教學只是利用課堂教學，無法幫助學生消化與吸收、提供個性化指導的單一、單向授課模式，無法引起學生持續的學習興趣，學生學習的自主性缺乏，更無法適應現代人才培養的需求。如何設計課程成了課程教學改革的當務之急。

2 問題的解決方法

堅持“以學生發展為中心”的理念，以學生認知和行為的改變為目標，通過研究性教學設計，讓學生在解決問題和實踐中學習，增強體驗感。在信息化教學環境下，開發、整合網絡在線學習資源，實施混合式教學模式，做好網絡教學與線下教學的合理銜接，將信息技術與課程深度融合。提高學生整合、運用數學知識的高階思維能力和工程數學思維方式，激發創新潛能。具體實施情況如下：

第一，對教學目標優化設計。對照學生專業人才培養目標和畢業要求，與先修和后續課程聯系起來，設計“三維目標”及達成度，并落實到教學全過程。打通學生所學、所用數學知識的聯系，數學知識與專業課程的聯系，比如復變函數[2]與實變函數的微積分的聯系，解析函數的積分、級數、留數理論之間的關系，兩類積分變換之間的關系，積分變換[3]與信號處理、自動控制之間的關系等低階與高階知識目標；由此培養學生邏輯思維、工程數學思維、創新思維等多維高階能力；并將和諧、完美、獨特等數學思想、數學文化、數學故事根植于課程之中，設置思政目標，培養學生良好學習習慣和科學探索精神，提升數學素養。增強愛國主義理想信念教育，切實提高人才培養質量，實現真正的教書育人。

第二，實施混合式教學模式。確定課程體系的線上線下教學資源與教學活動的優化配置與安排方式：制作短視頻、預習課件、課前測試題、討論思考題、測驗題等。課中依據線上預習效果，依據5E教學法，對每個教學單元的教學任務進行設計，完成知識的吸收內化，進而培養多種能力和數學素養。實現講練結合、互相協作的研究實踐型深度學習模式，實現學生個性化學習、深度學習、自主預習與復習的綜合輔導學習工具，提升學生思維能力、自主學習和應用創新能力。改變課程教學僅僅依靠課堂教學的不足，彌補課程教學時間的限制，并實現教學質量監控、深化協同育人效果、立德樹人。

第三，重組融合教學內容，融合多種教學方法[4]。根據課程特點和目標要求，對課程內容進行分類重組，運用啟發式、類比、討論、探究法，借助在線視頻、閱讀資料、翻轉課堂等手段，將知識遷移、重構教學，建構新知識與已有知識間的關聯性，實現課程為后續專業課程及學生發展服務的目的。在教學活動中，不僅注重每章知識的新課導入和習題課的復習鞏固，還要合理設計學生的學習活動和反饋，提高課堂教學質量和效率，抓好課堂主陣地的育人效果，并為網絡自學提供豐富且貼合教學目標達成的教學內容和方法。通過設置課程總結與應用的綜合作業，提高學生的工程思維能力，完成知識的吸收內化與升華。通過課程內容，體會合作學習、轉換思路看問題的重要性，并將課程內容的討論深入到德育方面，達到最佳的教學效果。

①在教學內容上，依據教學大綱和教學實踐，根據畢業要求和課程特點，按照高等數學的幾大內容和復變函數的特色內容進行劃分，將教學內容模塊化，進行不同方式的學習。分為三大模塊，復變函數的微積分、級數模塊，解析函數的獨特性質（積分公式、洛朗級數、留數）模塊，積分變換模塊。通過模塊化教學，在學習復變函數內容時，注意與高等數學類比，通過實與復的對比，既容易理解了復數域出現的相關問題和結論，又對實數域上的高等數學進行回味和補充。學生既對新知識的學習打下了堅實的基礎，為學習解析函數做好鋪墊，能更好地理解解析函數的特點，解析函數的獨特性質和應用，又能將解析函數的積分、級數、留數等不同于實函數的內容，理解得更深入。最后，在整體把握了解析函數性質的基礎上，學習復數域上的積分變換方法時，應充分調研相關專業要求，重點介紹工程中常用函數的積分變換，并可結合相關專業應用實例進行實驗教學[5]，比如通過傳遞函數的探討將積分變換方法與留數理論等復變函數的獨特性質結合起來。學習時要注意轉變學生的觀念和復變函數思維方式，培養學生解決實際問題的能力，提高復數域解決問題的能力，為專業課程的學習打好基礎。

②在教學方法和手段上，根據課程特點，對課程內容的兩大部分：復變函數部分與積分變換部分，運用不同的教學方法。利用類比、對比的教學方法學習復變函數部分，采用關聯遷移的方法，學習積分變換，將復變函數的性質遷移應用到研究積分變換中去，達到利用數學解決問題的畢業要求。當出現和高等數學內容平行的時候，用類比的學習方法，把內容進行整合打包，作為一個整體學習：從復數域類比到實數域，再回到復數域的方法。對于高等數學中沒有的內容，用對比的學習方法區分，以此凸顯復變函數的特色，并通過這部分內容的學習，會利用這些特性解決實變函數問題，讓學生更能理解學習復變函數的重要意義。在學習時通過討論與教師引導法，體會復變函數的和諧理論和完美性，從而對數學之美有更深入的認識，增加課程吸引力和學習興趣。在完成一個階段的學習后，利用總結歸納法、思考討論法，引導學生對復變函數的內容進行小結和回顧，比如總結復數域的微積分學習了哪些內容？總結微積分公式。通過歸納練習，引導學生思考、討論復數域上的微積分有哪些應用、解析函數的獨特性及其應用等，可讓學生查閱資料，教師拓展延伸，體會解析函數的特性及應用。同時，深刻理解洛朗級數、留數理論在自動控制中的應用，完成知識的重現與吸收內化，進而升華對課程內涵的理解與把握，讓學生更深刻地認識復變函數理論的巨大貢獻。并且通過總結與討論，利用關聯法將復變函數理論中的解析函數的積分理論、留數與積分變換思想方法聯系起來，利用留數等復變函數方法研究函數的變換和變換后的函數。進而利用復變函數的理論方法研究解決自動控制、電路系統的穩定性等問題。通過尋找事物之間存在的普遍聯系性，完成內容的過渡，為積分變換的學習鋪平道路。

③在課堂教學中，通過“問題串”的形式、方法，營造課堂熱烈氛圍，引導啟發學生從沉默課堂向對話課堂轉變。根據課程目標和畢業要求，將教學內容化分成有連接與遞進關系的教學單元。根據每部分內容的特點，精心設計教學導入案例，并將所學內容與已有知識基礎、最近學習內容進行有機融合，將線上與線下課堂有機融合。開展以問題為導向的探究式、研究型學習，通過師生問答、課堂（分組）討論等方式，借助5E 教學法，進行答問解惑的融合式教學方法。將教學過程從課前到課中，并延伸到課后，形成有機的閉環效應，提高課堂利用效率和教學質量，提高學生培養邏輯推理和分析解決問題的高階思維能力，進而達到創新創造的目的。

第四，不斷優化的混合式多元化考核評價體系。對照三維教學目標，將過程性評價貫穿到教學全過程，體現各個目標的達成。對學生的課堂學習行為與課下學習活動，開展自評與互評、自評與師評相結合的混合式評價方式，并進行反饋與改進。根據教學目標，合理分配平時成績的組成成分及權重，通過課堂提問、課堂練習、主題討論的質量評價，檢驗與改進教學效果；通過必做與選做作業、課程綜合作業的多方評價與反饋，檢驗與改進學習效果；通過課堂出勤率、課堂活躍度、回答問題的積極性等，評價反饋學生的學習習慣和責任、學習態度和道德修養；并將平時成績和期末成績相混合，給予學生全面合理、有理有據的綜合評價，注重學生的成長發展，達成教學目標。

第五，注重課程的思想引領作用。通過數學定義定理、思想方法、歷史故事等挖掘思政切入點，將課程內容的討論，深入到學生德育方面，將學習習慣、學習興趣和責任納入考核評價體系。通過課程中復變函數與實變函數、復變函數與解析函數、復變函數理論與積分變換方法的類比和對比，體會它們之間相輔相成的依賴關系，理解合作學習、交互學習的重要性；通過積分變換的數學思想與方法、一題多解的討論，啟發引導學生轉換思路、角度看問題的重要性等，突出課程數學思想方法的挖掘、講解, 形成應用數學知識的意識和創新的思想，提升數學素養，增強課程信心。

第六，融合多種方法。利用賽教融合提高教學研究能力。通過創新的意識和能力，將教學過程、資源、能力進行有機融合，提高教學效果和學習質量。向學生拓展某些知識點的發展前沿，激發學生的學習興趣，增強學生的理解、應用能力。此外，課外作業多布置綜合性問題，讓學生通過探索問題，引導自主學習習慣。再者，轉變教師職能，將教學重心放在對學生進行指導、發現問題、及時反饋上，使每一個學生都能得到合適的發展，為以后的職業發展和持續學習奠定重要的基礎。最后，課堂不是教學活動的結束，課外教師應關心關愛學生，熱心幫助學生不斷進步，使學生獲得有意義的學習經歷。

3 總結與展望

總之，為了讓復變函數與積分變換課程更好地服務于后續專業課與終身學習，教學需要創新，尤其要重視創新思維的培養。激發學習興趣、培養學習能力。只有教師擁有激情與魅力，學生才會參與并積極探索，才能在教育過程中，相互交流、相互啟發，共同成長。