工業機器人齒輪傳動系統非線性振動研究

鞏嘉貝，邢 倩，劉宏達

（石家莊郵電職業技術學院，石家莊 050000）

近年來，隨著工業自動化的不斷推進，越來越多的自動化設備在各行各業開始涌現，其中工業機器人的使用越來越廣泛。而直齒輪傳動相較于其他傳動形式，有著運動平穩性好，傳動精度高，有精確的傳動比且傳動承載能力強的特點，在工業機器人領域中被廣泛使用，具有極大的應用價值。直齒輪在傳動過程中，齒面相互接觸傳遞動力，兩齒的嚙合頻率是傳動過程中的振動及噪聲產生的關鍵因素，直接影響著傳動的效率及質量。因此，深入研究嚙合頻率對工業機器人直齒輪傳動系統的非線性動力學影響十分重要。

目前國內外學者針對齒輪系統的動力學特性等多個領域都進行了相關研究。石照耀等[1]研究了考慮多種非線性因素的不同誤差對齒輪振動特性的影響；鄒玉靜等[2]探究了直齒輪的摩擦潤滑對動力學特性的影響；Shen 等[3]基于諧波平衡法分析了圓柱齒輪的包含間隙和時變誤差的非線性振動。Atanasovska[4]基于映射法研究了直齒輪傳動系統的動力學特性。盛兆華等[5]研究了不同誤差對直齒面齒輪傳動特性的影響。楊振等[6]建立了直齒面齒輪的多參數非線性振動模型。宋歡等[7]建立單級齒輪動力學模型，對比分析不同方法求解方程的精度，并開發一種改進的Fourier 級數計算方法；張慧博等[8]提出了一種考慮多間隙的齒輪軸系動力學模型，并通過實驗進行驗證；王奇斌等[9]研究了修形對直齒輪傳動系統的動力學影響，并用有限元方法進行對比分析。杜文輝[10]研究了多個自由度的齒輪傳動系統的動力學特性，針對事變嚙合剛度的變化規律對動力學特性的影響作了詳細研究。張婕[11]構建了機車傳動系統的多自由度的動力學模型，通過龍格庫塔法求解了其多因素對動態特性的影響，并分析了其李雅普諾夫穩定性。向玲等[12]通過集中參數建立風電齒輪傳動系統平移-扭轉動力學模型，研究了不同支撐剛度對于風電齒輪箱傳動系統的非線性動力學特性的影響。

從目前的研究成果來看，在圓柱齒輪及其他齒形齒輪的制造及動態模型等領域研究較多，而針對直齒輪傳動中嚙合頻率對于非線性振動的影響較少涉及。因此，本文基于牛頓第二定律建立了直齒輪傳動系統的動力學模型，通過數值方法求解了非線性動力學微分方程組，研究了兩齒輪嚙合系統頻率對整個傳動系統的非線性振動規律的影響，為進一步研究工業機器人用不同類型齒輪振動特性提供參考，對提高齒輪傳動效率及質量，進一步推進工業機器人的發展，有著極其重要的應用意義。

1 直齒輪傳動系統動力學模型

直齒輪傳動是由2 個直齒輪嚙合傳遞動力，軸線平行的傳動方式，通過集中參數法建立齒輪傳動系統的動力學模型如圖1 所示。為簡化模型，將2 個齒輪分別視為集中質量慣量塊，支撐軸視為無質量剛體，軸承為彈性支撐，使用彈簧和阻尼器模擬。

圖1 齒輪傳動系統的動力學模型

2 直齒輪傳動系統動力學模型

在傳動過程中，傳動系統因誤差振動等因素的存在，會在嚙合處法線方向產生相對位移λn，表示如下

式中：r1和r2分別為2 個齒輪嚙合點到其中心軸線的距離；α 為法面壓力角；e（t）為傳動誤差。在齒輪制造及安裝過程中，誤差是不可避免的，這些誤差激勵對齒輪嚙合傳動影響較大，為了方便研究，通過簡諧函數對傳遞誤差進行擬合，表示如下

式中：e0為誤差常量，通常取e0=0；er為幅值；ω0為角嚙合頻率；? 為相位角，一般取?=0。兩齒輪間的動態嚙合力表示如下

式中：km為平均嚙合剛度；cm為振動模型嚙合阻尼；f（λn）為間隙函數，可定義為

根據牛頓第二定律，分別對面齒輪傳動系統各振動方向列出運動微分方程，則可以得到傳動系統的振動方程組為

式中：J1、J2分別2 個圓柱齒輪的轉動慣量；cm與km分別為齒輪副的阻尼與支撐剛度；T1為輸入扭矩，作用在主動圓柱齒輪；T2為載荷轉矩作用在從動齒輪上

3 嚙合頻率對系統周期和混沌的影響

采用四階變步長自適應Runge-Kutta 數值積分方法求解面齒輪傳動系統運動微分方程，主要參數見表1，依次得到隨著系統誤差變化的系統響應圖。

表1 主要參數表

系統響應隨著系統頻率的增大依次呈現出單周期簡諧響應，倍周期次諧響應，混沌響應。當系統響應頻率ω=0.1 時，系統呈現單周期簡諧振動響應，此時相圖為一條閉合曲線，頻譜圖有一個明顯波峰，如圖2 所示。

當系統響應頻率ω=1.5 時，系統呈現出倍周期次諧振動響應，此時相圖為多條閉合曲線，頻譜圖有3 個明顯的波峰，如圖3 所示。

當系統響應頻率ω=2.7 時，系統開始呈現出混沌周期振動響應，此時相圖為多條閉合曲線，相互交叉纏繞，頻譜圖出現明顯不規律波動，時間歷程圖的波形不穩定，如圖4 所示。

由圖2、圖3 和圖4 可得，隨著系統頻率這一內在激勵增大，相圖從單周期響應到倍周期次諧周期響應，再進入混沌響應周期。系統的運動軌跡逐漸復雜無規律，平面相圖由單條曲線逐漸變成多條曲線相關交叉雜糅，且系統振幅發生變化，在混沌周期頻譜圖會有不規則振動。在傳動過程中，整個系統的振動在一定程度上標志著傳動性能的質量，結合系統周期響應圖，系統頻率處于0～2.6，系統處于簡諧周期、倍周期響應，傳動性能較好。

圖2 系統頻率ω=0.1 時系統單周期響應

圖3 系統頻率ω=1.5 時系統倍周期響應

圖4 系統頻率ω=2.7 時系統混沌周期響應

4 結論

1）本文基于牛頓第二定律，通過集中參數法建立了包含多參數的直齒輪傳動系統動力學模型，分析了受力情況，并使用自適應步長龍格庫塔法求解微分方程組。

2）研究了隨系統頻率變化的系統周期響應，以及通過相平面圖、頻譜圖和時間歷程圖來分析系統的非線性現象。結果表明，系統頻率處于0～2.6，系統處于簡諧周期、倍周期響應，傳動性能較好。

3）工業機器人在推進工業自動化領域扮演著不可缺少的重要角色，其傳動的性能與質量關乎這一產業的發展路徑，研究非線性振動特性，對提升工業機器人傳動質量十分重要。