蜘蛛網里的奇妙數學

鄧晶

蜜蜂六邊形的蜂巢是“最省勞動力、也最省材料的選擇”，它可以用最少的材料，形成最大的面積，從而貯藏更多的蜂蜜；壁虎在捕食時，總是沿著一條螺旋形曲線爬行，這條曲線被數學家稱為“螺旋線”，沿“螺旋線”爬行最利于壁虎捕食……原來，不是只有人類才懂數學，動物王國里也有各種“數學家”.今天，我們就來看看蜘蛛——這位自然界的數學家隱藏著怎樣的數學秘密.

蜘蛛結的“八卦”網既復雜又美麗，即使工匠用直尺和圓規也難畫得如此勻稱.出現在蜘蛛網上的數學概念更是驚人——弦、平行線段、三角形、相似三角形、對數螺線，等等.

蜘蛛網里的坐標系

傳說法國數學家笛卡爾就是從蜘蛛結網中獲得靈感，發明了坐標系.笛卡爾希望用幾何圖形來表示代數方程，但幾何圖形是直觀的，代數方程是抽象的，要如何將二者聯系起來呢？當他看到蜘蛛在墻角結網時，豁然開朗：可以用兩面墻和天花板之間的交線，來確定蜘蛛的位置.由墻角的那三條直線，笛卡兒很快在頭腦中勾勒出三根數軸，彼此相互垂直，如此一來，空間中任何一點的位置就可以在這三根數軸上找到相對應的三個數值，反之亦然.于是空間直角坐標系應運而生.

雖然這則故事的真實性有待考證，但是我們確實可以用蜘蛛結網來理解坐標系.

蜘蛛網里的對數螺線

如果我們仔細觀察蜘蛛結網的過程不難發現，在構建完蜘蛛網的基礎框架后，蜘蛛會從最外圈盤旋著向中心結網，構成一條螺線，而這種螺線被數學家稱為對數螺線.

對數螺線有兩個明顯的特點：一是，對數螺線曲線上任意一點和中心的連線與該點的切線所形成的角是一個定角，所以對數螺線又叫等角螺線；二是，對數螺線具有相似性，無論你把它放大或縮小都不會改變它的形狀.

對數螺線永遠向著中心繞，而且越繞越靠近中心，但似乎又永遠不能到達中心，而且距離呈有規律的分布.即使用最精密的儀器，我們也看不到一根完全的對數螺線.這種圖形只存在科學家的假想中，可令人驚訝的是小小的蜘蛛也知道這條線，它織出的網就是對數螺線.