巧用代入法求代數式的值

李婷婷

求代數式的值是初中代數中的常見問題，一般借助代入法進行解答.但某些代數式如果采用常規的直接代入來求值，過程會比較復雜，耗時較長.這時我們就要根據代數式形式多樣的特點，靈活采用一些特殊的代入方法，巧妙簡便地求出代數式的值.

一、特殊值代入法

特殊值代入法，是指在求代數式的值時，選取符合題意要求的特殊值，將其代入已知條件或所求目標式中，從而得出代數式的值.當用常規方法直接代入求解比較困難時，可靈活選取方便計算的特殊值帶入求解，這樣就會使解題變得簡單.

例1

分析：

解：

例2

分析：本題已知等式涉及多個未知數，直 接求值難度較大.若巧取特殊值，令 k = 1 時， 由已知等式可以得到 4x + 2y + z = 1，而所求的目 標代數式 8x + 4y + 7z可化為2（4x + 2y + z）+5z， 因此只要再求出 z 的值即可.觀察已知等式不 難發現，當 k = - 1 時，3k2 + 2k - 4 = z，這樣問 題便迎刃而解了.

解：

評注：特殊值代入法，既快捷又方便，是 解答選擇題和填空題的有效工具.需要注意 的是，在選取特殊值時，要注意取值范圍.

二、設參代入法

設參代入法，是指在求代數式的值時，先 合理設置一個新的參數，然后以此為媒介，建立相關的等量關系，再將其代入已知等式或所求目標式中，求得問題的答案.若已知條件以比值的形式出現，就可以設比值為一個參數來求解.

例3

分析：

解：

例4

分析：本題涉及字母比例關系，直接代入求解顯然行不通.若能根據已知條件中的等量關系，引入新的參數，則可以使解題柳暗花明.

解：

評注：設參代入法，可以將問題中的未知量和已知量進行轉化，從而使復雜、繁難的問題變得簡單.

三、整體代入法

整體代入法，是指在求代數式的值時，依據題目特征，把某個含字母的式子視為一個整體，代入化簡后的式子中進行運算，通過整體代入，實現降次、歸零、約分的目的，以便快速求得其值.

例5已知m2+ m -1=0，則4m3+8m2+2005的值為? .

分析：本題由條件等式雖然能求出 m 的值，但涉及根式運算，較為復雜.仔細觀察4m3+8m2+2005，不難發現，它可以變形為：4m3+4m2+4m2+2005，即4m（m2+ m）+4m2+ 2005，或者是：4m3+4m2-4m +4m2+4m -4+ 2009，即4m（m2+ m -1） +4（m2+ m -1） +2009，這樣把“ m2+ m ”或“ m2+ m -1”看作一個整體，代入求值即可得解.

解法1：4m3+8m2+2005=4m3+4m2-4m +4m2+4m -4+2009=4m（m2+ m -1）+4（m2+ m -1）+2009]=0+0+2009=2009.

解法2：

評注：整體代入法，側重于從問題的整體形式、整體結構、整體特征上尋求問題的解法，繞開了求出未知數的過程，可以使解題過程更簡便.

總之，題目特征不同，所用方法亦有所不同.在平時的解題訓練中，同學們要注意從題目實際出發，靈活運用所學知識和解題妙法，提高解題速度和效率.