例談菱形的判定方法

趙志川

菱形不僅是特殊的四邊形，還是特殊的 平行四邊形.判定菱形的方法多種多樣，既可 以借助基本定義進行判定，也可以利用其重 要性質進行判定.對此，筆者就菱形的判定方 法進行了梳理，以期同學們能夠熟練掌握和 靈活運用.

一、利用“一組鄰邊相等+平行四邊形”判定

在同一平面內，有一組鄰邊相等的平行 四邊形被稱為菱形.根據這一定義，在判定一 個四邊形是否為菱形時，同學們可以“一組鄰 邊相等+平行四邊形”為判定依據，即考慮：這 個四邊形的一組鄰邊是否相等；這個四邊形 是否為平行四邊形.若有一組鄰邊相等，且為 平行四邊形，那么該四邊形為菱形.

例1

分析：由已知條件中的△GNP 為等邊三 角形，易知 NP = PG，因此只需要再證明四邊形 MNPG 為平行四邊形，即可得出它為菱形.根據△EFG 也為等邊三角形，可知∠1=∠2=∠3=∠4=60° ， 進而易推出 MN ∥ GP，NP ∥ MG，這樣四邊形 MNPG 為平行四邊形也就得證了.

證明：∵△EFG 與△GNP均為等邊三角形，∴ NG =PG，∠1=∠2=∠3=∠4=60°.

∴ EF ∥ GP， NP ∥ MG.

又 MN ∥ EF，∴ MN ∥ GP，

∴四邊形 MNPG 為平行四邊形.∴四邊形 MNPG 為菱形.

評注：菱形的定義，既是菱形的一個性質定理，也是菱形的判定定理之一.

二、利用“對角線互相垂直+平行四邊形”判定

對角線互相垂直的平行四邊形為菱形.因此，在判定一個四邊形是否為菱形時，同學們要注意思考如下情況：一是它的對角線是否互相垂直；二是該四邊形是否為平行四邊形.若它的對角線互相垂直，且為平行四邊形，則該四邊形為菱形.

例2如圖2，在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，MP ⊥ NQ 于 O.求證：四邊形 MNPQ 為菱形.

分 析 ：本 題 已 知 條 件 中 明 確 給 出 了 MP ⊥ NQ，因此要證明四邊形 MNPQ 為菱形， 只要證明該四邊形為平行四邊形即可.結合 題意，易知 AO = CO，BO = DO， 再借助∠1= ∠2，∠3=∠4，很 容 易 證 得 △AOM ≌ △COP， MO = PO. 同理，就不難得出 QO = NO，這樣證 明四邊形 MNPQ 為平行四邊形也就完成了.

證明：

評注：在判定一個四邊形為菱形時，若題 目中涉及對角線，同學們要注意考慮“對角線 互相垂直+平行四邊形”這一方法.

三、利用“四條邊相等+四邊形”判定

菱形的四條邊都是相等的.根據這一重 要性質，在判定一個四邊形為菱形時，同學們 要注意從該四邊形的四條邊入手.若題目中 蘊含了幾組邊相等，同學們就要注意通過證 明四邊形的四條邊都相等，從而得出該四邊 形為菱形.

例3 如圖3，已知四邊形 ABCD 為平行四 邊形，對角線 BD 的垂直平分線與 AD、BC、BD分別相交于E、F、G，求證：四邊形 BEDF 為菱形.

分析：本題由題意可知 EF 是 BD 的垂直 平分線，這樣可知 BE = DE，BF = DF，這樣要 證明四邊形 BEDF 為菱形，只需再證明 DE = DF 即可.欲證明 DE = DF，只需要利用等角對 等邊性質，證明 ∠DEF = ∠EFD.

證明：

評注：利用“四條邊相等+四邊形”這一方 法判定菱形時，可以不必再證這個四邊形為 平行四邊形.

總之，在判定一個四邊形為菱形時，同學 們要注意判定的起點，若是判定某個平行四 邊形為菱形，只需考慮一組鄰邊相等或對角 線互相垂直即可；若是判定某個四邊形為菱 形，則需要考慮從四條邊都相等或對角線垂 直平分兩方面去判定.在具體解題過程中，同 學們應根據題目的已知條件選擇相應的判定 方法.