一元二次方程公共根問題的解法點撥

夏鳴

一元二次方程的公共根，是指同時滿足兩個或兩個以上的一元二次方程的根.它是聯系兩個或多個方程的重要紐帶，也是中考考查的熱點之一.求解這類問題的一般方法是運用方程的根的定義，并借助方程組的相關知識.本文通過一些不同形式的例題，介紹解答一元二次方程公共根問題的幾種方法.

一、設公共根法

設公共根法，是指先設出兩個或兩個以上方程的公共根，然后把所設公共根分別代入各個一元二次方程中，得到關于公共根的一元二次方程組，接著通過恰當的恒等變形，進而求出公共根及相關參數的值.

例1已知一元二次方程（a+2）x2-2x-1=0與（a+2）x2+ax+a+1=0有公共根，則 a 的值為??? .

分析：本題要求根據兩個方程有公共根求出參數 a 的值.解答時，不妨設出公共根，再利用根的定義解題.

解：

評注：設公共根法是解答一元二次方程的公共根問題最為常用的一種方法.它的基本思路是先設出公共根，再利用根的定義列出有關公共根的方程組，解方程組求得公共根即可解題.

二、求根代入法

如果題目中的某一個方程通過化簡變形可以直接求解，則先求出這個方程的兩個根，再把這兩個根作為公共根，逐一代入到另一個方程中進行討論驗證，最后綜合歸納得出問題的最終答案.這就是求根代入法.

例2當 k 為何值時，關于 x 的一元二次方程 x2-（k +2）x +2k =0與方程 kx2-（3k -4）x -12=0有一個相同的實數根？

分析：通過審題，我們不難看出本題中的 x2-（k +2）x +2k =0可以化為（x -2）（x -k）=0，這樣此方程就可以得到兩個根，即 x =2或 x =k，再把它們作為公共根，分別代入到 kx2-（3k -4）x -12=0（k ≠0）中，即可使問題 迎刃而解.

解：

評注：求根代入法實際上就是先求一個一元二次方程的根，再把所得的根代入另一個方程中求解驗證.

三、加減消項法

加減消項法，是指先把已知條件中的兩 個方程通過相加或相減，消去二次項，得到一 個一元一次方程，然后通過解一次方程探討 未知系數的取值問題，最后求出方程的公共 根及相關參數的值，從而達到解題的目的.

例 3 當 m 為何值時，方程 x 2 + mx - 1 = 0 與方程 x 2 + x +（m - 2）= 0 有公共根？并求出 此公共根.

分析：觀察兩個方程，兩式相減后可以得 到 （m - 1）（x - 1）=0，這樣求解時直接利用作差 消項求根法即可快速解題.

解：

評注：加減消項法的實質，就是將兩個方 程通過求和或作差消去二次項，把一元二次 方程問題轉化為一元一次方程問題.

總之，解答一元二次方程公共根問題的 方法多樣，可設出公共根，聯立方程組求解， 也可先求得一個方程的解，再代入另一個方 程中進行求解，還可以把兩個方程相減（或相 加），消去二次項，將問題轉化為一元一次方 程后求解.