怎樣利用軸對稱知識解答最短路徑問題

魏樂

最短路徑問題是生活中常見的實際問 題，如在修路、修管道、建水泵站等方面都有 著廣泛的應用.學習了軸對稱的相關知識后， 同學們就可以利用軸對稱的性質解決生活中 的最短路徑問題.下面列舉幾類最短路徑問 題，舉例予以說明.

一、兩點一軸型

兩點一軸型，即已知一條直線及在直線 同側或異側的兩個定點，在直線上求一點，使 個這點到所給兩個定點的距離的和最短.解 答這類問題，一般利用“三角形任意兩邊之和 大于第三邊”來確定最短路徑. 當兩個定點位 于直線異側時，連接兩點與直線的交點即為 所求路線最短的點；當兩點位于直線同側時， 可通過軸對稱變換，作一點關于直線的對稱 點，把同側兩點轉化為異側兩點來求解.

例1 某供電部門準備在輸電主干線l上 連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落 成的 A、B 兩個居民小區送電.已知居民小區 A、B 分別到主干線 l 的距離 AA1＝2km，BB1＝ 1km，且A1B1＝4km.

（1）如果居民小區 A、B 在主干線 l 的兩 旁，如圖1所示，那么分支點M在什么地方時 總線路最短？最短線路的長度是多少千米？

（2）如果居民小區 A、B 在主干線 l 的同 旁，如圖2所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？此時分支點M與A2的距離是多 少千米？

分析：（1）連接 AB，構造直角三角形，由 勾股定理求得 AB 的值；（2）作 B 點關于直線 l 的對稱點 B2，連接 AB2 交直線 l 于點 M，此 處即為分支點.

解：

二、一點兩軸型

一點兩軸型，即已知兩條直線及在這兩 條直線之間的一個定點，在每條直線上各求 一點，使所得三角形的周長最短.解答這一類 型問題，一般是分別作出這個定點關于兩條 直線的對稱點，然后連接所作的兩個對稱點， 所得線段與直線的交點即為所求的點.

例2

分析：（1）利用軸對稱變換得出 P 點關于 OA，OB 的對稱點，進而得出行走路線；（2）利 用等邊三角形的判定方法以及其性質得出此 人行走的最短路線長為 P′P ″ 進而得出答案.

解：

答：

三、兩點兩軸型

兩點兩軸型，即已知兩條直線及兩個定點，在每條直線上各求一點，使所得折線的長度最短.解答這類問題依然是利用“兩點之間，線段最短”來確定所要求的點及路線，通過軸對稱變換，把幾個線段和的最小值問題轉化為一條線段來求解.即分別作兩個點關于兩條線的對稱點，再連接兩個對稱點，所得線段與兩直線的交點為最短路徑的兩個點.

例3我區有很多美麗的自然風光，最著名的是青龍大峽谷（A）和文佛奇峰山（B），它們位于筆直的高速公路X 同側，AB＝50km，A、 B 到直線 x 的距離分別為10km 和40km，另一條省級公路 Y 與高速公路 X 垂直，B 到直線 Y 的距離為30km，請你在 X 旁和 Y 旁各修建一服務區 P、Q，使 P、A、B、Q 組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值.

分析：

解：

以上三種類型的最短路徑問題的解法， 都是作定點關于已知直線的對稱點，然后依 據“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”等結 論確定所要求的點或路線，只不過在作對稱 點的方法上有所區別.同學們只要準確識別 了問題模型，解題就會變得簡單易行.