如何列方程解答應用題

巫慧文

在學習初中數學知識的過程中，我們從 一元一次方程，學習到二元一次方程，又學習 了一元二次方程……方程的內容逐步擴展， 但列方程解應用題始終是整個學習過程中的 一個重點，其目的是考查同學們分析問題和 解決問題的能力.那么，如何正確列出方程解 應用題呢？本文提出了列方程解應用題應注 意的三個要點.

一、合理設置未知元

列方程解應用題的類型千變萬化，但只 要設置一個合理的未知數，就能使解題過程 既簡潔又易于計算.一般來說，設未知數 x 有 兩種方法：一是直接法，就是題目中問什么就 設什么；二是間接法，對于一些復雜的問題， 要先將題目中變量之間隱含的關系找出來， 把與所求問題有關聯的中間量設為 x ，待求 出中間量之后，再根據題意算出最后的答案.

例1 商店對某種商品進行調價，按原價 的8折出售，此時商品的利潤率是10%，此商 品的進價為1600元.商品的原價是多少？

分析：商品利潤≠商品的利潤率.本題中 商品進價和商品的利潤率都已知，而商品利 潤=商品售價-商品進價=商品原價 ×800 0 -商 品進價，由此設未知數列出方程.

解：

說明：本題較為簡單，直接將要求的量設 為未知量，準確找出其中的等量關系即可正 確解題.

例2 國家規定存款利息的納稅辦法是： 利息稅=利息 × 20%，儲戶取款時由銀行代扣代收.若銀行一年定期儲蓄的年利率為 2.25%，儲戶取出一年到期的本金及利息時，扣除了利息稅36元，則銀行向該儲戶支付的現金是多少元？

分析：要求銀行向該儲戶支付的現金，需由利息稅36元求出該儲戶的本金.

解：

說明：本題數量關系較為復雜，直接設未知數不易表示相等關系，較難列出方程，此時可將不是直接求解的某個量設為未知數，從而使問題容易得解.

二、準確構建等量關系

列方程解應用題的關鍵是尋找并建立等量關系.建立等量關系的途徑有很多，首先可從我們學過的數學公式或熟悉的數量關系入手，比如面積公式、體積公式以及周長公式等，以及路程=速度×時間、總價=單價×數量、利息=本金×利率等數量關系；其次，還可以根據題中的關鍵句和關鍵詞，確定等量關系并列方程，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩余、增加、減少”等；另外，還可通過不變量、總量等于分量之和等途徑建立等量關系.當一些數量關系比較復雜隱蔽時，還可采用數形結合的方法，畫出線段圖來分析數量關系.

例3如圖1，小明家在 A 處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路 l，AB 是A 到 l 的小路.現新修一條路 AC 到公路 l.小明測量出∠ACD＝31° ， ∠ABD＝45° ， BC＝50m.請你幫小明計算他家到公路 l 的距離AD 的長度？（精確到0.1m；參考數據 tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）.

分析：

解：

答：AD 的長度為75.0m.

說明：解答本題的關鍵是構造直角三角形，應用三角函數的數量關系來建立等量關系求解.

例4甲、乙兩列火車從 A、B 兩地相向而行，乙車比甲車早發車1h，甲車比乙車速度每小時快30 km，甲車發車兩小時恰好與乙車相遇，相遇后為了錯車，甲車放慢了速度，以它原來的速度行駛；而乙車加快了速度，以它原來的倍飛速行駛，結果2 h后，兩車距離又等于 A、B 兩地之間的距離，求兩車相遇前的速度及A、B 兩地之間的距離.

分析：設乙的速度是 x 千米，那么甲的速度就是 x+30千米，依據相遇前和相遇后行駛的路程相等列出方程，求出兩車的速度，再根據路程=速度×時間即可解答.

解：

答：兩車相遇前甲的速度為速度90km/h， 乙的速度為 60km/h；A、B 兩地之間的距離為 360km.

說明：有些應用題中的等量關系比較復 雜抽象，要想列出等量關系較困難，我們就可 以用線段來表示相關的數量，再用線段的和 或差來直觀地表示等量關系，從線段的和差 關系中列出等式求解.

三、正確解方程并驗算

雖然準確列方程是解題中很重要的步 驟，但是也不能忽略方程的運算環節.同學們 要按照解方程的步驟正確求出方程的解，并 要養成代入驗算的習慣.一是要將所求得的 未知數的值代入原方程，看等式兩端是否相 等，檢驗方程的解是否正確；二是檢查所求得 的未知數的值是否符合題意，不符合題意的 要舍去，僅保留符合題意的解.只有完成驗算 的步驟，整個解題過程才算完結.

例 5 某種服裝，平均每天銷售 20 件，每 件盈利44元，在每件降價幅度不超過10元的 情況下，如果每一件降價1元，則每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，則每件應降價多少元？

分析：每件服裝的盈利×（原來的銷售量+ 增加的銷售量）=1600，為了減少庫存，計算得 到降價多的數量即可.

解：

說明：列方程解應用題時，在求解后，首 先檢驗所得解是否正確，還要檢驗所求解是 否符合題意，本題限定了 x ≤ 10 ，所以要舍去 不合題意的解.

例6 某市體育局要組織一次籃球賽，賽 制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），計劃 安排28場比賽，應邀請多少支球隊參加比賽？

分析：

解：

說明：解一元二次方程時可能會出現兩 個解，有的解不符合題意可能存在兩種情況： （1）不符合題目要求的取值范圍；（2）不符合 實際要求.比如有的解為負數，但時間、工期、 金錢等都不可能是負數.

列方程解答應用題是運用正向思維解決 問題，它比列算式解應用題這種逆向思維的 推理更簡單直接.但在列方程求解的過程中 要注意合理設置未知數，準確找到等量關系， 最后還要注意養成驗算的習慣.只要做好以 上三點，就能輕松靈活應對各類實際問題.