探究空氣阻力對球體斜拋運動的影響

王振鑫 蘇文斌 時彥朋

1.山東省實驗中學 山東濟南 250000；2.山東大學 山東濟南 250000

在日常生活中，斜拋運動是非常常見的，人們常會提出自己的猜想，如何投出最遠的距離。本文反復研究了斜拋角度與水平距離的關系、初速度與水平距離的關系，以及在一定情況下不同材料與水平距離的關系。在理論計算中，45度角的投擲距離最遠，但在考慮空氣阻力的實際實驗中，40度角左右的投擲距離最遠，相同體積的鋼、塑料和泡沫球中，塑料球的水平投擲距離最遠。在物理(必修二)教材“平拋運動”一節中，探討了平拋運動規律，指出了一般拋物運動的研究方法。如果忽略空氣阻力，則當物體平拋或斜拋時，其運動軌跡為拋物線。在本節末尾的“說一說”欄目中提出以下問題：“……但是物體在空氣中運動時速度越大，阻力也就越大，所以，研究炮彈運動時，就不能忽略空氣的阻力。”

1 實驗原理

小球從微型發射器出口出發，通過光電門測小球的初速度，然后讓小球落在一個特定的板子上停止計時，由此測出小球飛行時間。接下來通過測量小球初始位置到板子的位置，可以測出小球實際飛行長度，然后我們又可以利用初速度去測小球的理論飛行距離，由此我們可以通過比較二者的差異去得到空氣阻力對小球的影響。

2 實驗裝置

表1 實驗裝置目錄

實驗步驟：

(1)固定實驗裝置的角度、發射高度以及發射器的檔位。

(2)發射小球至計時板。

(3)當小球離開發射器口時開始計時，小球砸到計時板時停止計時。

(4)測量小球落板位置與發射器口的距離。

(5)多次測量取平均值減小誤差。

(6)更改角度或檔位或小球質量繼續測量。

3 實驗數據表格

在本實驗中，我們以5度角為一組，每一組測量三次，并在每一組中，測量實際飛行距離和實際飛行時間，與理論飛行距離和理論飛行時間進行比較。在實驗的過程中存在實驗錯誤，如表2所示，灰色底紋的數據則為實驗錯誤數據，有不同因素導致的如儀器問題、計算問題等。當實驗完成之后我們將計算數據平均值、測量平均值和理論平均值進行比較，并得出結論。

表2 實驗數據結論

4 實驗示意圖、實驗受力圖及實驗結論

根據實驗示意圖和實驗受力圖(如圖1)我們可以發現，當發射器的發射檔位相同時，小球發射時的受力是一定的，在重力和空氣阻力的作用下，所得結論如下：

結論(1)：同一角度，不同質量的小球飛行時間和飛行距離是不同的，根據理論分析和實際測量我們發現，塑料小球的射程是最遠的3.613m，小鐵球+泡沫球的射程是最近的2.45m；塑料小球的飛行時間是最大的，平均值為0.692s，泡沫球+鐵球的飛行時間是最短的，平均值為0.581s。

結論(2)：在空氣阻力下，同一小球，同一發射高度(所有計算高度都為42.6cm)，不同角度。根據角度的不同，小球的射程和速度(如圖2)也有所不同，速度會隨著角度的增大逐漸減小，但射程不是。根據理論計算，在不計空氣阻力的作用下，45度角的速度和飛行路程是最大的(如圖4)，但由于空氣阻力的作用下，即45度角不是最遠射程，而是要小于45度角。在實際測量中，在20度角時，飛行距離為188.95cm(如圖3)，飛行速度為4.213m/s；在25度角時，飛行距離為199.43cm，飛行速度為4.19m/s；在30度角時，飛行距離為207.4cm，飛行速度為4.17m/s；在35度角時，飛行距離為209.18cm，飛行速度為4.14m/s，在40度角時，飛行距離為211.32cm，飛行速度為4.12m/s；在42度角時，飛行距離為212.03cm，飛行速度為4.12m/s，在45度角時，飛行距離為208.03cm，飛行速度為4.10m/s，在50度角時，飛行距離為199.10cm，速度為4.09m/s。我們可以總結出，小球質量與小球運動距離的關系是一個二次關系，呈拋物線，小球的速度則為一個一次函數，阻力系數k<0，根據理論分析和實際測量，理論可以證明實驗。

結論(3)：在空氣阻力下，同一小球，同一角度，不同初速度。根據初速度的不同，空氣阻力對實驗的影響也不同，根據理論計算，計算每組實驗的平均空氣阻力的值我們可以發現，速度越大的空氣阻力越大，當阻力系數k決定為定值時(平均值)，可以根據f=-kv得出，速度v越大空氣阻力越大。在實驗中，我們可以發現，當球的速度為5.44m/s時(最大速度，如圖6)，飛行距離的測量值和理論值(如圖5)差為0.32m；當球速在4.20m/s(如圖6)時，飛行距離的測量值和理論計算值(圖5)的差為0.16m；當球速在3.21m/s時(如圖6)，飛行距離的測量值和理論計算值(如圖5)差為0.06m。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

根據實驗，我們可以得出結論，當球初速越大時，空氣阻力對小球射程的影響就越大，空氣阻力會隨著速度的增大而增大。因此，實驗與理論相符。

圖7

如圖所示，圖7為研究在不同角度下，飛行距離的真實值和理論值之間的差距。

圖8

圖8為在研究不同初速度下，飛行距離的真實值與理論值的差距。

在實驗中，空氣阻力計算方法如下，首先由基本公式得ft=mv，所以可以將距離s進行微積分，得到速度v，然后通過已知的質量m和作用力的持續時間t求出空氣阻力。

5 結論

(1)在空氣阻力作用下，同角度、同高度、同初速度、同體積不同質量的小球質量越大，空氣阻力越強。

(2)在空氣阻力的作用下，同發射高度，同一小球，不同角度會對小球的初速度和射程有影響，初速度隨著角度的增加而逐漸減小；在40～45度角之間會有最遠射程。

(3)在空氣阻力的作用下，同發射角度，同一小球，同一高度，不同初速度，初速度越大，對球的空氣阻力越強，初速度越小，對球的空氣阻力越小。