巧構輔助圓，妙解最值問題

齊偉

很多幾何問題看似與圓沒有任何關系， 但是借助已知條件恰當地構建輔助圓，常常 可以實現問題的轉化，讓解題思路豁然開朗. 利用輔助圓解答最值問題的關鍵是根據題 設、結論和圖形，巧妙地構造圓，然后再利用 圓的有關性質、結論求解最值問題.

一、由動點定角構造輔助圓求線段最值

最值問題一般體現在動態圖形中，至少 存在一個動點，對于動點問題中的定直角條 件，即動點運動過程中，始終有一個角為直 角，我們可以考慮以直角三角形的斜邊為直 徑構造圓，則直角頂點在圓上，構造出圓后則 可借助圓的性質求最值.把不容易確定的線 段的最小值問題轉化為點與圓的位置關系問 題來考慮.

例1

解：

點撥：當題中給出直角時不能單單只想 到勾股定理，也要聯想到圓.根據題干條件畫 出輔助圓，借助圓的性質：圓心與切線上各點 之間的連線中，圓心與切點之間的線段最短 即可解題.

二、由動點定弦構造輔助圓求角度最值

根據圓周角定理可知：同弧或等弧所對 的圓周角大于該弧所對的圓外角，小于該弧 所對的圓內角.求動點對定線段所張的角的 最大值時，可以添加輔助圓，使定線段為弦， 所張的角為唯一（此時輔助圓與動點所在的 直線或圓相切）的一個圓周角，由同弧所對的 圓周角大于圓外角知，動點運動至切點處時 所張角最大.

例2

解：

點撥：本題考查了垂徑定理、圓周角定理 等知識.構造輔助圓，把所張角轉化為圓心角 或圓周角，利用圓心角或圓周角確定出動點的運動軌跡，化動為靜，對滿足條件的動點準 確定位，再解答.

三、由定角定弦構造輔助圓求面積最值

當題目中出現了固定度數的角對著固 定長度的線段時，一般隱含著一個固定大 小的圓，我們以定線段為輔助圓的一條弦， 定角為弦所對的一個圓周角，借助輔助圓 來分析.求面積最值問題首先要從面積公式 入手，將面積問題轉化為求三角形高（底） 的問題，再從三角形的高（底）與所隱含的 動圓之間的關系，去發現高（底）取最值時的 狀態.

例3

解：

點撥：此題根據定角和定弦的對應關系， 通過添加輔助圓確定最值.決定三角形面積 大小的量是高和底的長，題目中已知底長是 定值，所以要讓 △BCD 面積最大，只需讓高 EF 最長.利用圓中的垂徑定理以及直徑是圓 中最長線段即可實現轉化.

總之，利用輔助圓的幾何特性可以求解 最值問題.解題時要關注其中的幾何關系，充 分利用條件提取或構造輔助圓，再結合圓的 性質確定最值情形.同學們在學習過程中，要 關注構建輔助圓的性質定理，深入理解圓中 的幾何模型.