基于Logistic 回歸麻雀算法的圖像分割

陳剛，林東，*，陳飛，陳祥宇

(1.福州大學 物理與信息工程學院，福州 350108；2.福州大學 計算機與大數據學院/軟件學院，福州 350108)

近幾年，智能優化算法廣泛應用于機器學習、組合優化、圖像處理等領域，由于其良好的尋優能力，很多學者將其應用到圖像處理領域，并取得不錯的成效。Capor 等[1]以螢火蟲算法為基礎，對K-means聚類算法進行改進，能夠在醫學圖像上實現更好的分割平均誤差、峰值信噪比和結構相似性指標; Li等[2]提出了一種基于動態粒子群優化K-means 聚類算法, 在圖像分割中比傳統K-means 聚類算法具有更好的視覺效果，在提高圖像分割質量和效率方面也具有明顯的優勢；Kapoor 等[3]提出灰狼優化(grey wolf optimizer，GWO)算法在衛星圖像分割中的應用，對GWO 進行適當的修改，以用作自動聚類算法；Khrissi 等[4]利用正余弦算法(sine cosine algorithm, SCA)解決了傳統聚類算法存在的聚類中心初始化和局部最優收斂等缺點。文獻[1-4]證實了一些智能優化算法通過優化K-means 聚類算法的初始聚類中心，可以取得不錯的圖像分割效果。

麻雀搜索算法(sparrow search algorithm，SSA)是2020 年提出的一種新型智能優化算法，與GWO算法、粒子群優化(particle swarm optimization，PSO)算法、引力搜索算法(gravitational search algorithm,GSA)等傳統智能優化算法相比，該算法在搜索精度、收斂速度和穩定性等方面具有優越性[5]，但也像大多數智能優化算法一樣存在收斂早熟的現象。因此，學者們陸續提出一系列改進的算法來避免這個現象的發生，并提升SSA 的性能。呂鑫等[6-7]結合鳥群算法中飛行行為的思想來優化SSA，此外，還通過引入高斯變異和Tent 混沌擾動形成一種混沌麻雀搜索優化算法；Liu 等[8]引入混沌策略對算法的總體進行優化，并采用自適應慣性權重來平衡算法的收斂性、算法速率和探測能力；Yuan 等[9]利用重心反向學習機制初始化種群，并在發現者位置更新部分引入學習系數，以提高算法的全局搜索能力；Zhang 和Ding[10]主要利用Logistic映射、自適應超參數、變異算子來增強SSA 的全局尋優能力；Zhu 和Yousefi[11]提出了一種新的自適應SSA，并通過采用DE/best/1 變異策略和動態縮放因子來避免算法陷入局部最優; Liu等[12]提出平衡SSA，在Lévy 飛行機制中，使用隨機游走算法對局部搜索進行適當的調整；Wang 等[13]構造了一種基于伯努利混沌映射、動態自適應加權、Cauchy 變異和反向學習的混沌麻雀搜索算法，并將該算法用于優化微網簇系統的運行成本；Ouyang 等[14]在發現者階段引入基于透鏡原理的反向學習策略，提高麻雀個體的搜索范圍，然后提出可變螺旋搜索策略，使跟隨者的搜索更加仔細和靈活。還有一些學者將改進SSA 應用于儲能系統的成本最小化[15]、故障診斷[16]、機器人路徑規劃[17]等問題上，并取得不錯的成效。

文獻[6-17]是學者們關于SSA 的一些改進麻雀搜索算法，雖然在一定程度下能減少算法收斂早熟現象的產生，但依然存在以下2 個問題：①大多數文獻直接替換了原SSA 中發現者的位置更新機制，缺乏一定的學習能力與擇優能力；②僅注重全局搜索能力的提升，忽略了局部開發能力與全局搜索能力之間的平衡性。為此，本文提出一種新的改進麻雀搜索算法(modified sparrow search algorithm，MSSA)。一方面，文獻[14]采用基于透鏡原理的反向學習策略優化發現者的位置，受此思路，選擇同樣由相似三角形原理得到的基于小孔成像的反向學習策略進行優化。本文與文獻[14]最大的不同是，MSSA保留了SSA 中發現者原有的位置更新機制并進行比較，選擇更優的位置參與種群迭代，因此，在發現者位置更新階段利用小孔成像反向學習的策略，豐富了麻雀種群尋優位置的多樣性，提高了算法全局搜索能力；另一方面，本文與文獻[10]中利用Logistic映射的性質初始化種群不同的是，Logistic 回歸是圍繞一個Logistic 曲線展開的，Logistic 曲線是一條嚴格單調遞增的S 型曲線，可進行伸縮平移，因此，受Logistic 回歸的啟發，本文提出一種新的自適應因子對安全閾值進行動態控制，進一步平衡所提算法的全局搜索能力與局部開發能力。相比于4 種經典算法和文獻[6]中的改進麻雀搜索算法(improved sparrow search algorithm, ISSA)，MSSA 在6 個 標 準測試函數上表現出良好的尋優性能。在實際應用中，利用MSSA 優化K-means 聚類算法的初始聚類中心進行圖像分割實驗，并與傳統K-means 聚類算法、PSO、SSA 及ISSA 進行對比。此外，選取峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)、結構相似性(structural similarity, SSIM)和特征相似性(feature similarity, FSIM) 這3 種圖像分割的度量指標來評估算法的分割性能，實驗結果表明MSSA 的分割性能更好，具有較強的魯棒性。

本文介紹了基于小孔成像的反向學習策略來豐富發現者的尋優位置，一種基于Logistic 回歸的自適應因子來平衡算法的全局搜索與局部開發能力，提出一種MSSA 優化K-means 聚類算法進行圖像分割的算法，并用PSNR、SSIM 和FSIM 這3 種度量指標驗證其良好的分割性能。

1 改進麻雀搜索算法

1.1 麻雀搜索算法

SSA 主要是根據麻雀的覓食行為與反捕食行為而提出的新型群智能優化算法。麻雀的覓食行為對應著SSA 中發現者與跟隨者，即每次迭代中選取位置較好的幾只麻雀作為發現者，負責全局搜索食物并為所有跟隨者提供覓食的區域和方向，剩下的麻雀作為跟隨者，跟隨發現者爭奪食物；而麻雀的反捕食行為對應著SSA 中偵察預警機制，即部分種群的麻雀進行偵察預警，如果發現危險則放棄食物飛向新的位置。在d 維解空間中，麻雀個體的位置代表搜索空間的一組有效解，麻雀個體的能量儲備代表著適應度值。

SSA 中發現者的位置更新為

1.2 基于Logistic 回歸麻雀算法

1.2.1 逐維小孔成像反向學習優化發現者位置

在式(1)發現者更新位置階段，當 R2＜ST 時麻雀個體的位置隨著迭代次數的增加而整體呈遞減的趨勢，意味著迭代后期種群的多樣性逐漸減少，增大了算法陷入局部最優解的概率。

由式(6)可以看出，當k=1 時的小孔成像反向學習就是常見的反向學習策略，而常見的反向學習策略得到的候選解一般是固定的，但小孔成像反向學習可通過改變接收屏與小孔屏之間的距離來調整比例系數k，從而得到更廣的反向位置（解）。

利用逐維小孔成像反向學習策略對發現者位置進行更新，將SSA 中 R2＜ST時發現者的位置通過式(5)映射到空間中得到反向位置（解），然后將發現者位置的適應度值與反向學習后的適應度值進行比較篩選，若反向學習后的適應度值優于原適應度值，則反向位置（解）取代原發現者的位置；反之，則保留原發現者位置至下一代。因此，引入小孔成像反向學習策略不僅豐富了發現者的尋優位置，使麻雀個體每一維可大可小，也在一定程度上增加種群的多樣性，減少收斂早熟現象的產生。

圖1 小孔成像反向學習原理Fig.1 Principle of reverse learning for small hole imaging

1.2.2 基于Logistic 模型的自適應因子

在麻雀自身的覓食過程中，一旦發現捕食者，它們通過唧唧喳喳的叫聲作為警報信號。當 R2(警報信號)＜ST(安全閾值)，發現者在覓食區域內未發現捕食者的存在，可繼續向其他區域開展大范圍搜索，代表算法的全局搜索能力；當 R2( 警報信號)≥ST(安全閾值)，發現者意識到危險的存在，向其他麻雀發出逃離信號，所有麻雀迅速飛往其他安全區域覓食，代表算法的局部開發能力。而安全閾值在SSA 中往往是固定參數，雖然能發揮算法的全局搜索能力，但忽略了算法的局部開發能力，可能會導致算法收斂早熟現象的發生。

為了平衡算法的全局搜索能力與局部開發能力，提出一種基于Logistic 模型的自適應因子。Sigmoid 函數是生物學中一種常見的Logistic 曲線，也常應用于神經網絡中，其可將變量映射到區間[0,1]之間，表達式為

式中：Ag 為幅值增益；a 和b 分別為伸縮與平移因子；ω為一個很小的正數，可動態設定函數的上下界。圖2 為不同參數下對應的函數曲線，其中ω=0.05，可根據實際應用設定。在算法迭代前期的發現者階段，可保證安全閾值長時間處于較大值的范圍內，發現者對安全區域進行大范圍的搜索，指引種群往最優位置附近收斂；隨著迭代次數的增加，安全閾值開始非線性減小；當到迭代后期時，安全閾值往往處于較小值的范圍內，發現者在最優位置的附近進行局部開發，逼近理論最優解，提高算法的收斂精度。

圖2 不同參數下對應的函數曲線Fig.2 Curves of functions corresponding to different parameters

1.2.3 算法偽代碼

輸入：最大迭代次數G，種群大小P，發現者的數量PD，偵察者的數量SD，安全閾值ST，警報值R2。初始化麻雀種群并定義其相關參數。

傳統K-means 算法通常是隨機選擇K 個聚類中心，但若選取的聚類中心不恰當，可能會得到次優解或者陷入局部最優解，因此，需要選擇合適的初始聚類中心。文獻[19-22]通過相關算法優化K-means算法以解決初始聚類中心敏感等問題，借鑒此思路，利用MSSA 對K-means 算法的初始聚類中心進行優化，其關鍵在于結合K-means 算法建立MSSA的目標函數，如式(9)，即可理解為單目標優化問題，利用MSSA 求得最佳初始聚類中心點使得目標函數適應度值最小。

2 基于MSSA 的K-means 圖像分割算法

基于MSSA 的K-means 圖像分割算法主要包含2 部分：①利用MSSA 的全局搜索能力在圖像點集里找到最佳初始聚類中心；②將MSSA 輸出的最佳初始聚類中心用在K-means 算法上進行圖像分割，有效地避免易陷入局部最優解的問題，并且得到更好的分割效果。基于MSSA 的K-means 圖像分割算法的流程如圖3 所示。

圖3 基于MSSA 的K-means 圖像分割Fig.3 K-means image segmentation based on MSSA

3 實驗結果與分析

3.1 仿真實驗環境與測試函數

為了驗證MSSA 在求解實際問題中的性能，選取6 個標準測試函數進行仿真實驗，如表1 所示。同時，將MSSA 與PSO、SCA、人工蜂群[23](artificial bee colony，ABC)算法、SSA 及ISSA 進行性能對比。

表1 測試函數Table 1 Test functions

所有的仿真實驗均在CPU 為AMD 銳龍 5 4600 H、16 GB 內存、Windows10 64 位的操作系統的計算機下實現，并采用MATLAB2018A 軟件進行編譯運行。算法的通用參數設置為：種群大小P =100，最大迭代次數G=200，其他參數設置如表2 所示，并記錄各個算法運行30 次的平均值與標準差，算法的運行結果如表3 所示。

表2 算法參數設置Table 2 Parameter settings for algorithms

從表3 中的數據可以分析出，MSSA 與傳統算法PSO、SCA、ABC 相比，MSSA 有更強的全局尋優能力和更好的穩定性。另一方面，與傳統算法SSA，以及其他學者改進的算法相比，在F1～F3高維單峰問題中，MSSA 的收斂精度比SSA、ISSA 更高，算法穩定性更好；在函數F4～F6多峰問題中SSA、MSSA 均能找到理論最優值，方差也為0，而其他學者改進的算法ISSA 在F4上未能找到理論最優值。

表3 算法性能對比Table 3 Performance comparison of algorithms

為了更加直觀地反映算法的收斂特性，圖4 為6 種算法在F1～F6測試函數上的收斂曲線。從圖4(a)～圖4(c)中可以更加明顯地看出MSSA 的收斂精度均優于其他算法；在圖4(d)中，MSSA 在與SSA 都能找到理論最優值的同等情況下，收斂速度最快；在圖4(e)和圖4(f)中，除PSO和ABC 外，其他算法均接近甚至達到理論最優值，MSSA 的收斂速度均優于其他算法。從圖4 的實驗結果可以得出，MSSA 的尋優能力較強，性能穩定，能夠有效地跳出局部最優解。

圖4 算法的收斂曲線對比Fig.4 Comparison of convergence curves of algorithms

3.2 時間復雜度分析

從3.1 節的實驗結果可以看出，使用不同的算法得到的結果可能一樣，但未考慮算法的運行效率問題，并不能說明兩者性能相同。一個算法的運行效率可以用算法的時間復雜度與空間復雜度來衡量，而在大多數情況下是用算法的時間復雜度來比較。為了充分驗證MSSA 的突出性能，計算它與SSA、ISSA 的時間復雜度，如表4 所示，其中，O(·)為時間復雜度。根據1.1 節SSA 的原理介紹可知，算法可分為5 個階段組成：初始化種群階段、發現者位置更新階段、跟隨者位置更新階段、偵察預警機制階段、全局最優位置更新階段。參數設置與3.1 節保持一致，其中d 為維度，求解適應度函數的時間為f(d)。

由表4 的對比結果可知，改進算法ISSA、MSSA與SSA 在5 個階段的時間復雜度相同，即意味著提出的改進算法MSSA 并不是以犧牲運行效率為代價來換取性能的提升。

表4 時間復雜度對比Table 4 Comparison of time complexity

3.3 基于MSSA 的K-means 圖像分割實驗

為了驗證基于MSSA 的K-means 圖像分割算法性能的顯著性，選擇8 組測試圖像進行實驗，并選取PSO、SSA、ISSA 及MSSA 這4 種算法優化Kmeans 聚類算法和傳統K-means 聚類算法進行圖像分割效果的對比。由于K-means 聚類算法對K 值的依賴性比較強，K 值選擇不當會對結果產生很大的影響，因此K 值設為5，避免無關因素的干擾。算法通用參數：種群大小P =30，最大迭代次數G=200，各算法的其他參數與3.1 節保持一致，其中PD=9，SD=21。

從主觀視覺效果上看，K-means 的分割效果過于粗糙，PSO、SSA 與ISSA 的分割效果比K-means略好，但一些重要細節沒有分割出來，而MSSA 的分割效果顯然要比前4 種算法好。例如，如圖5 所示：第1 行（實驗1）和第 7 行（實驗7）分割效果中MSSA 能夠將部分細微的特征信息分割出來，雖然分割效果與ISSA 一樣，但分割性能仍然是最優的；第2 行（實驗2）分割效果圖中MSSA 分割完整性較好，顏色顯著；第3 行（實驗3）分割效果圖中傳統K-means 聚類算法能分割出圖像的大致輪廓，但無法分割出原始圖像中的細節信息，而MSSA 表現出更加清晰的紋理信息和顯著特征；第4～6 行（實驗4～6）分割效果圖中MSSA 比其他算法保留了更多的細節信息，輪廓更加清晰，表現出算法更強的魯棒性與適應性；第8 行（實驗8）分割效果圖中MSSA很大程度上接近于原圖。綜合分析可知，MSSA 的分割效果比傳統K-means 聚類算法、PSO、SSA 及ISSA 好，圖像細節信息保留得更加完整，魯棒性更強。

圖5 分割結果對比Fig.5 Comparison of segmentation results

為了能夠進一步定量評估各優化算法的分割性能，選取了3 種常見的圖像分割的度量指標PSNR、SSIM 及FSIM 對本節5 種算法的分割結果進行分析，如表5～表12 所示。

表5 實驗1 的分割結果評估Table 5 Evaluation of segmentation results for experiment 1

表6 實驗 2 的分割結果評估Table 6 Evaluation of segmentation results for experiment 2

表7 實驗3 的分割結果評估Table 7 Evaluation of segmentation results for experiment 3

表8 實驗4 的分割結果評估Table 8 Evaluation of segmentation results for experiment 4

表9 實驗5 的分割結果評估Table 9 Evaluation of segmentation results for experiment 5

表10 實驗6 的分割結果評估Table 10 Evaluation of segmentation results for experiment 6

表11 實驗7 的分割結果評估Table 11 Evaluation of segmentation results for experiment 7

表12 實驗8 的分割結果評估Table 12 Evaluation of segmentation results for experiment 8

PSNR 用于測量分割后的圖像與原始圖像之間的差值[24]，PSNR 定義可由式(10)和式(11)表示，PSNR 值越大，代表圖像分割質量越好。

SSIM 用于測量原始圖像與分割圖像之間的相似度。SSIM 值越大，分割效果越好。SSIM 定義為

式中：uI和 useg分別為原始圖像與分割圖像的平均值；σI和 σseg分別為原始圖像與分割圖像的標準差；σI,seg為 原始圖像與分割圖像的協方差；c1和 c2為確保穩定性的常量。

FSIM 是反映原始圖像和分割圖像之間特征相似性的度量指標，用于評價局部結構和提供對比度信息[25]。FSIM 的取值范圍為[0,1]，其值越接近1，代表分割效果越好。FSIM 的定義如式(13)～式(18)所示：

式中：Ω為原始圖像的所有像素區域；SL(x)為相似性得分；PCm(x)為 相位一致性度量；T1和 T2為常量；G 為梯度下降；E(x)為在位置x 上的響應矢量大小，并且尺度為s；ε 為一個極小的數值；As(x)為尺度s的局部大小。

從表5～表12 的度量指標上看，K-means 分割結果較差，PSNR 值、SSIM 值及FSIM 值均遠低于PSO、SSA、ISSA 及MSSA。MSSA 在圖5 的實驗1和實驗7 分割結果中PSNR 值、SSIM 值及FSIM值與ISSA 一致，僅在FSIM 值上略小于PSO，但是整體分割性能要優于其他算法；MSSA 在圖5 的實驗2、實驗4 和實驗 8 的分割結果中PSNR 值、SSIM值及FSIM 值均高于其他算法，并在圖5 的實驗8 中FSIM 值接近于1，表明分割圖像與原始圖像具有較高的特征相似性；MSSA 在剩余測試圖像的分割結果中PSNR 值、SSIM 值均要高于其他算法，僅在FSIM 值上要低于PSO。從整體的分割結果評估中可以看出MSSA 無論是在主觀視覺效果還是度量指標，其分割性能要優于其他算法，可以產生良好的分割效果，也間接證明了MSSA 良好的尋優性能，解決了SSA 易陷入局部最優解的問題和K-means聚類算法對初始聚類中心敏感的缺點，從而得到極佳的初始聚類中心，進一步提升圖像的分割質量。

4 結 論

針對SSA 存在的不足，提出一種新的改進算法MSSA，并通過6 個基準函數與其他算法進行仿真對比，最后利用MSSA 優化K-means算法進行圖像分割，得出以下結論：

1) MSSA 的全局搜索與局部開發能力得到提升，能夠有效地跳出局部最優解，證實了提出的2種策略進行算法改進的有效性。首先，采用小孔成像反向學習策略豐富發現者的尋優位置，幫助算法跳出局部最優解；其次，對Sigmoid 函數進行伸縮平移，提出一種新的自適應因子對安全閾值進行動態控制，平衡算法的全局搜索能力與局部開發能力。

2) 通過在6 個基準函數上的仿真實驗結果及改進算法的時間復雜度對比，可以看出MSSA 的尋優性能要優于PSO、SCA、ABC 和SSA，并在相同的算法時間復雜度的情況下比其他學者提出的改進算法ISSA 的收斂精度更高，收斂速度更快。

3) 3 個度量指標PSNR、SSIM 及FSIM 驗證了MSSA 算法突出的分割性能，解決了SSA 易陷入局部最優解的問題和K-means 聚類算法對初始聚類中心敏感的缺點，其分割效果均優于傳統K-means算法、PSO 算法、SSA 和ISSA。

由于聚類數K 值的不確定性，將成為接下來改進的工作重點。