巧搭思維臺階,落實核心素養
——以高三微專題“由奇偶項的遞推關系求數列通項”為例

廣東省佛山市順德區勒流中學(528300)劉亞敏

1 背景

數列奇偶項問題是高考考查的熱點之一,比如2004 年北京卷理第14 題,2005 年北京卷文第12 題,2005 天津卷理第13 題,2009 年湖北卷理第15 題,2012 年全國Ⅰ卷理第16題(文第12 題),2014 年全國Ⅰ卷理17 題,2014 年山東理第19 題(文第19 題), 2015 年湖南文第19 題, 2016 年天津理第18 題,2019 年天津文第18 題,2020 年全國Ⅰ卷文第16 題,2021 年高考全國Ⅰ卷第17 題等都考查了數列的奇偶項問題,學生常常因為此類問題的抽象性和綜合性而無從下手.

高考真題: (2021 新高考Ⅰ卷第17 題節選)

已知數列{an}滿足a1=1,(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數列{bn}的通項公式;

2 內容以及解析

2.1 內容

以數列奇偶項的遞推關系為載體求數列的通項公式.

2.2 單元框架下的內容分析

數列題目以考查基礎知識為主,重點考查學生的運算求解、邏輯推理等數學素養,同時也注重學生觀察、猜想、歸納、類比、分析、遞推、運算、概括、證明、應用等能力的培養.本章節既通過歸納、類比、遞推等方法的應用突出對學生的數學探究、理性思維的培養,又通過通項公式、遞推公式、前n項和公式等內容進行大量技能訓練,培養學生邏輯思維、運算求解等能力.

2.3 高考分析

奇偶項數列問題是近年高考考查的熱點,其中2021 年高考全國Ⅰ卷第17 題以分段函數的形式給出數列的遞推公式為載體,考查了由奇偶項數列遞推公式求通項、等差數列通項和公式等內容.該題通過設置課程學習情境和探索創新情境,考查了數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養以及分類討論、函數與方程、轉化與化歸等數學思想.題目以奇偶項穿插的形式給出遞推公式,要求學生通過例舉探索發現規律,通過邏輯推理證明規律并進行求解.學生必須透徹理解數列的函數特性,找到n與an之間的對應關系才能順利解題.

3 學情分析和教學問題診斷

本微專題中以分段函數形式的奇偶項的遞推關系為載體求解數列的通項公式,屬于課程學習情境.本節課需要學生具有的關鍵能力有: (1)數學符號與抽象: 能從關鍵信息中提取數學符號和抽象能力;(2)邏輯思維和運算求解能力: 通過演繹推理得到偶數項(奇數項)和偶數項(奇數項)之間的遞推關系,從而得到偶數項(奇數項)的通項公式.以奇偶項的遞推公式出現的條件形式新穎、復雜,增加了學生通過演繹推理得到所需要的遞推關系式的難度,要求學生會比較、分析、綜合、抽象與概括,會用演繹、歸納和類比進行推理以及會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理的能力.

4 “由奇偶項的遞推關系求數列通項”教學設計

4.1 教學目標

①能夠通過列舉前幾項發現數列的規律;

②能夠弄清隔項等差(或等比)數列的首項、公差(公比)和項數,并寫出通項公式.

③培養學生邏輯推理、運算求解和抽象概括能力.

4.2 教學重點與難點

重點: 利用遞推公式得出項與項之間的關系.

難點: 利用遞推公式求解通項公式時項數的確定.

4.3 教學過程設計

環節一回顧舊知做好鋪墊

課前任務單:

1.已知數列{an}滿足a1=1,an=2an-1+4,n∈N*,則an=____.

設計意圖復習運用簡單的構造法來求解數列的通項.

2.(2004 年北京理14 改編)定義“等和數列”: 在一個數列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數,那么這個數列叫做等和數列,這個常數叫做該數列的公和.已知數列{an}是等和數列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為____,這個數列的通項公式為____.

設計意圖讓學生發現本題中列舉前幾項就能發現數列的規律.

3.已知數列{an}滿足a1=1,

設計意圖讓學生發現本題中列舉前幾項就能發現數列中隔項的規律,從而自然而然地引出分類討論.

問題1: 題1 求數列通項時用到了什么方法?

師生活動: 引導學生復習前面知識, 形如an+1=αan+β(α0,1,β0)的關系求通項借助構造法.

問題2: 題2 和題3 中數列的通項有什么共同點?

師生活動: 引導學生總結出n為奇數和偶數時,數列通項不一樣,即該類數列的通項公式用分段函數來表達.

環節二搭建臺階分解真題

例1: (2021 新高考Ⅰ卷第17 題改編)

已知數列{an}滿足a1=1,

(1)寫出數列{an}的前6 項;

(2)記bk=a2k,試一試直接寫出數列{bn}的通項公式,并證明;

(3)記bk=a2k-1,試一試直接寫出數列{bn}的通項公式,并證明;

(4)求{an}的通項公式.

解(1) 因為a1= 1,所以a2=a1+1=a1+ 1 = 2,a3=a2+1=a2+ 2 = 4,a4=a3+1=a3+1 = 5,a5=a4+1=a4+2 = 7,a6=a5+1=a5+1 = 8,所以數列{an}的前6 項為: 1,2,4,5,7,8.

(2)猜想:bn=3n-1,證明如下:

即:bn-bn-1= 3,所以數列{bn}是以b1= 2 為首項,以3為公差的等差數列,所以bn=2+3(n-1)=3n-1.

(3)猜得bn=3n-2,證明如下:

即:bn-bn-1= 3,所以數列{bn}是以b1= 1 為首項,以3為公差的等差數列,所以bn=1+3(n-1)=3n-2.

(4)由(2)可得:bk=a2k= 3k-1,即當n為偶數時有,由(3)可得:bk=a2k-1=3k-2,即當n為奇數時有,所以:

問題3: 一個陌生的數列,當我們不知道項與項之間的規律時我們一般怎么尋找規律?

師生活動: 通過遞推公式列出前6 項然后尋找規律.

問題4: 記bk=a2k,請問bk-1怎么表達?

師生活動: 記bk=a2k時,bk-1=a2(k-1)=a2k-2.

問題5: 如果此題中沒有引進{bn},請問怎么求{an}的通項公式?

師生活動: 學生列出前6 項后發現奇偶項的規律不一樣,自然而然分類討論求通項公式.

問題6: 怎樣驗證自己求的通項公式是否正確?

師生活動: 引導學生求出通項公式后檢驗前6 項是否滿足.

設計意圖引導學生通過列舉前幾項發現數列的規律,然后能夠根據遞推公式弄清隔項等差數列的首項、公差和項數,并寫出數列的通項公式,考察了邏輯推理、運算求解和抽象概括能力以及分類討論的數學思想.

環節三當堂檢測鞏固新知

設計意圖當堂鞏固訓練,強化例題所涉及內容的思想方法,從而達到培養學生良好的邏輯推理、運算求解和抽象概括能力以及分類討論和換元的數學思想.

練習2.(2009 高考湖北卷理第15 題改編)

已 知 數 列 {an} 滿 足a1= 1,求{an}的通項公式.

解當n為偶數時, 可設n= 2k,k∈z, 則:a2k=a2k-1+1=a2k-1+ 2 =a2k-2+1+ 2 = 2a2k-2+ 2,a2k+ 2 = 2(a2k-2+ 2),a2+ 2 =a1+1+ 2 =a1+2 + 2 = 5 即{a2k+ 2} 是首項為5 公比為2 的等比數列, 有a2k+ 2 = 5 × 2k-1?a2k= 5 × 2k-1- 2;a2k+1= 2a2k= 2 ×(5×2k-1-2)= 5 × 2k- 4, 由上可得

設計意圖強化例題所涉及內容的思想方法,并將遞推關系中的等差變成了等比,運算求解時用到了構造法求數列通項.考查了學生邏輯推理、運算求解和抽象概括能力以及分類討論和換元的數學思想.

環節四小結提升,形成結構

問題7: 回顧本節課的學習過程,回答下面的問題

(1)碰到一個陌生的數列,當我們不知道項與項之間的規律時我們一般怎么尋找規律?

(2)怎么檢測所求數列通項是否正確?

師生活動: 先讓學生自己總結然后進行小組交流,小組代表發言后老師點評補充完善,最后得到此類問題的通法通解.

環節五課后檢測思維拓展

1.已知數列{an}滿足:a1= 1,a2= 2,an+2-an=2,n∈N*,則an=____

設計意圖例舉前6 項后發現雖然是隔項關系,但是根據規律可以合并.

2.已知數列{an}滿足a1=1,

設計意圖鞏固隔項成等比數列的題型.

3.已知數列{an}滿足:a1=1,an+1+an=4n-3(n∈N*),

(1)求數列{a2n-1}的通項公式;

(2)求數列{an}的通項公式.

設計意圖雖然遞推公式不是分段函數的形式,但求解時還是要分奇偶分類討論,對下一節課起一個拋磚引玉的作用.

5 小結

教學中根據學生的認知搭建合適的臺階能細化知識,層層遞進地幫助學生探索、分析并解決具有一定難度的問題.學生能通過由淺入深的臺階從低起點開始逐漸發現問題的本質,最后總結出解決此類問題的通法通解,將數學核心素養落到實處.