基于通用數控加工的螺旋錐齒輪設計與造型方法研究

李儒瓊，黃立新，陳 純

（上海中僑職業技術大學，上海）

前言

隨著機械行業越來越向重型化發展，加工大模數高精度螺傘齒輪帶來的制造瓶頸也越來越突出，因此，采用通用五軸加工中心加工大模數高精度的螺旋錐齒輪是一種較好的解決方案。

在實際的螺旋錐齒輪傳動中，輪齒上各點到節錐頂點的距離始終是不變的，故其齒廓曲線應該是以節錐頂點為球心的球面曲線，這就為球面漸開線理論在模型設計方面提供了科學依據。現有的齒輪問題研究文獻中，早期關于齒輪的研究主要是涉及齒輪幾何特性和設計參數方法[1-4]，Tsai 和Chin 提出了一個用于錐齒輪的齒面建模方法[1]，Al-daccak[2]等人提出了基于精確的球面漸開線曲線的建模方法，目前，弧齒錐齒輪的造型方法主要有以下二種：一種是以微分幾何和空間嚙合原理為基礎, 通過復雜的坐標變換和矩陣運算得到齒面方程, 由齒面方程獲得大量齒面離散數據點，再由數據點擬合出齒面模型，另一種方法是直接運用三維造型軟件進行實體建模。其中多以背錐上的平面漸開線代替理論的球面漸開線繪制近似的幾何模型[4]，當球面半徑R 與齒輪的模數之比越小時, 誤差就越大[5]，且較難實現參數化。

為解決齒輪通用數控加工問題，本研究從齒輪數控加工的需要出發，提出一種螺旋錐齒輪的精確建模方法，具體過程可表述為，通過建立螺旋錐齒輪齒面參數方程，然后由齒形曲面與齒坯幾何體裁剪得到精確輪冠齒型。從而為齒輪加工數控編程提供精確的幾何模型。

1 基于齒向線和齒廓線的齒形參數建模

1.1 作為齒向線的基圓錐螺旋線方程

定義螺旋線是一條阿基米德螺旋線[6]。如圖1 所示，根據螺旋線的定義，基錐面上的任意一點一邊勻速向上運動一邊隨母線繞軸線運動，其運動軌跡就是一條基圓錐面上的螺旋曲線。其中動點k 處的切線與母線的夾角為其螺旋角β，則螺旋線可以用方程表示為：

圖1 基圓錐螺旋線

式中：βn為基圓上小端處的螺旋角；α 為壓力；δ 為基錐角；m 為齒輪設計模數；z 為齒數。

1.2 作為齒廓線的漸開線方程

理論上，滿足嚙合定律的曲線均可以成為齒輪嚙合的齒廓，工程上經常采用擺線，圓弧線，漸開線等，但基于漸開線在傳動設計中的明顯的優點，在實際應用中，漸開線齒廓應用更為廣泛。漸開線形成原理見圖2。

圖2 漸開線形成原理

其參數方程為：

式中：r 是基圓M點徑矢；β*是漸開線上一點P 處的法矢。

1.3 基于齒向線和齒廓線的齒面矢量方程

將螺旋錐齒輪齒面參數方程由齒向線u 線和齒廓線v 線進行參數表示，則螺旋錐齒輪的齒面表達見圖3。

圖3 螺旋線漸開線齒面的矢量表示

此螺旋齒面方程可表達為式（6）：

1.4 齒面形成過程

在圖4 中，螺旋錐齒輪齒面方程矢量可表達為：

在局部坐標系下形成的齒面見圖4（a），圖中，rφ為螺旋線在任一點o1處的徑矢，過空間點o1的法面，在法面內以o1為圓心，r 為基圓半徑做漸開線，所形成的齒面是距離分度錐為r 并具有螺旋線和漸開線特征的曲面，見文獻[5]。

圖4

由于這里的螺旋線和漸開線方程都是在局部坐標系下獲得，所以，齒面方程求解就變成為將局部坐標系下的曲面方程轉換為絕對坐標系下的方程問題。這個過程實際變成一個坐標系轉換過程，首先，將漸開線由s1{o1，x1，y1，z1}變換到s2{o2，x2，y2，z2}，然后將齒面每一點由坐標系s2{o2，x2，y2，z2}變換到s{o，x，y，z},變換的坐標轉換見圖4（b），設變換過程矩陣為M02，變換方程表示為：

最終的曲面方程是由圖4（b）繞z2逆時針旋轉δ角度獲得。即由坐標系s3{o3，x3，y3，z3}轉為s{o，x，y，z}，見圖4（c）。設變換過程矩陣為M23。最后，由式（15）即可求得螺旋錐齒輪的齒面方程。

1.5 齒面計算示例

設在輔助坐標系s3{o3，x3，y3，z3}中，漸開線表達式為：

根據文獻[5]可求得變換矩陣M02，M23分別為：

這 里α，β，γ，α1，β1，γ1；α2，β2，γ2分 別 是坐標系｛O2，x2，y2，z2｝的x2，y2，z2與絕對坐標系{O，x，y，z}的x，y，z 軸的夾角。

式中：δ 參數意義見圖5。

圖5 漸開線的形成與坐標變換

將式（17），式（18），式（16）代入式（15）即可求得螺旋錐齒輪左齒面方程。

同理可得出右齒面方程。

2 螺旋錐齒輪輪齒的生成方法

（1）通過三維建模軟件生成齒坯模型（本研究采用UG 軟件）。利用UG 表達式輸入齒輪各參數，生成三維模型，導入由式（19）得到的曲面點數據，分別在三維軟件中產生成左右齒面（見圖6）。

圖6 曲面點數據產生的輪齒左右曲面

（2）通過面切割實體，剪裁出單個齒。裁剪齒形見圖7。

圖7 裁剪齒形

（3）最后，構造出數控編程加工需要的三維實體模型。齒槽體見圖8。

圖8 齒槽體

3 結論

本研究應用微分幾何理論，依據齒輪傳動原理，采用螺旋線和漸開線特性的曲線，構建了螺旋錐齒輪的精確曲面模型，其過程主要有螺旋齒面的參數方程矢量表示方法，齒面點數據的坐標變換，通過坐標系的分解可以很直觀的理解復雜的空間變換問題，并獲得了螺旋錐齒輪精確的數學模型，最后通過三維軟件完成了具有數控加工特點的齒輪實體建模，為復雜齒輪采用通用數控加工方法提出了可行解決方案。