考慮運行節能和車底運用的城軌時刻表優化

周文梁，黃裕，鄧連波

(中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075)

隨著能源價格的日益增長、城軌開行密度和運營里程的持續增大，城軌運營能耗成本成為城軌列車運營的主要成本之一，達到總運營成本的40%左右[1]。因此，通過采取合理措施實現列車運營節能對于降低整個城市軌道交通運營成本具有重要的現實意義。在保持一定的旅速限制下，優化選擇列車在區間運行的牽引策略在一定程度上可以達到降低牽引能耗目的[2-4]。部分學者通過調整運行過程中工況出現的序列和相互間的轉換位置、時間等，優化列車區間運行策略使列車運行所需牽引能耗最小化[3-5]。XU 等[6]開發了一種速度剖面生成方法，在給定區間運行時間條件下搜索節能速度剖面。HUANG 等[7]應用機器學習方法來優化速度剖面。部分學者則通過調整列車時刻表，即優化區間運行時間，來達到降低列車運行能耗的目的[2,8]。鄧連波等[9-10]通過區間運行時間分配策略降低列車牽引能耗。ZHAO 等[11-13]通過調整列車區間運行時間、到發時刻等達到節能的目的。然而目前關于節能時刻表的相關研究極少考慮車底銜接問題，這可能導致滿足時刻表車底接續方案的車底運用成本增加，以致反而導致列車總運行成本增加的不利情況出現。雖然有一部分研究，如WANG 等[14]將列車時刻表與車底銜接計劃結合起來組合優化以降低列車運行成本，但這并不是針對節能時刻表，故完全沒有考慮到區間牽引策略選擇問題，而是將其視為一固定量。MO 等[15]將節能作為優化時刻表和車底銜接計劃的目標之一，但其考慮的能耗僅涉及簡化后的列車再生制動能利用，而不包括列車牽引能耗。鑒于以上兩方面原因，非常有必要將時刻表與車底銜接計劃結合起來，從列車運行總成本控制角度出發對兩者進行協同優化，一方面使時刻表的節能效果得到保證，另一方面也要降低車底運用成本。為了更好地降低列車運行總成本，本文提出考慮運行節能和車底運用的城軌時刻表優化方法，通過優化列車在區間的牽引策略選擇、列車在各個車站的到發時刻以及車底接續關系，在保證服務質量的前提下最大化地降低列車所需能耗、車底運用時間總成本。同時利用粒子群算法的框架設計一種高效、便捷的算法，并構造了一種車底銜接計劃生成策略。

1 問題分析與描述

考慮一條由K個車站構成的復線城市軌道交通線路，其一端連接一個停車場供列車車底停放、維修等，且兩端都具備折返線供列車折返。同時，本文假定各方向列車均從線路的一端點站運行至其另一端點站，且采用常用的“站站停”服務模式。由于線路上、下行方向列車除了在折返線換向外，在各車站運行并無相互干擾，將同一車站上、下行方向視為2 個不同車站，故可視線路由2K個車站、1個停車場構成。車站將線路劃分為多個運行區間(k,k+1)，其中上、下行列車運行區間集合分別為Sup和Sdn。

城軌線路列車時刻表編制通常需要同時兼顧旅客出行服務質量與列車運營成本兩方面。考慮到其編制的復雜性與難度，目前較多節能時刻表相關研究如BU 等[16]均假定事先已根據線路出行需求的時空分布、運輸能力等以服務質量最優為目標生成了一個初始列車時刻表，然后以此為基礎進行優化調整。本文同樣在已事先生成的一個初始列車時刻表的基礎上，實現列車節能時刻表與車底銜接計劃的協同優化。

1.1 基于降低區間牽引能耗的節能策略

列車區間牽引能耗不僅取決于線路區間長度、平縱斷面、限速以及列車牽引力、制動力、重量等參數，還取決于列車在區間運行采用的牽引策略。列車區間牽引策略決定了列車區間運行時各時刻采用的工況，即加速、滑行和制動等工況，同時也決定了列車在區間各時刻運行速度。因此，節能時刻表可通過為各區間內各運行列車選擇合適的牽引策略來實現在控制列車總旅行時長的同時達到列車節能目的。

理論上同一區間內列車可使用的牽引策略非常多，但在實際運營中為了實際操作的方便通常會預先按照一些特定運營要求，如節能、運行時分最少等制定一些候選牽引策略，之后根據實際運營需要選擇相應的牽引策略方便實施。由于本文假定城軌線路上下行所有運行列車均采用同類車底，故各列車在同一區間的候選牽引策略均相同。記集合Qk為列車在區間(k,k+1)運行時的候選牽引策略集，定義0-1 決策變量表 示 上 行 列 車i在區間(k,k+1)∈Sup是否選擇牽引策略q∈Qk運行，若選擇，則同理，定義0-1 決策變量表示下行列車j在區間(k,k+1)∈Sdn是否選擇牽引策略q∈Qk運行，若選擇，

以上行列車i在區間(k,k+1)∈Sup運行為例，當其選擇牽引策略q∈Qk運行時，記vik(q,τ)為其進入區間后的第τ時刻的運行速度；γik(q,τ)與δik(q,τ)分別為其進入區間后第τ時刻是否處于牽引工況與制動工況。顯然，若此時列車處于牽引工況，則γik(q,τ)=1；若處于制動工況，則δik(q,τ)=1；否則，γik(q,τ)=0，δik(q,τ)=0。由牽引策略q所確定列車在區間各時刻所處運行工況與速度，便可計算列車i在區間(k,k+1)運行的第τ時刻其所需牽引能耗為：

其中，Fik表示上行列車i在區間(k,k+1)運行時受到的平均牽引力，不同列車在不同區間運行時因列車載客量不同，該參數取值不同。

同理，對于下行列車j選擇牽引策略q∈Qk在區間(k，k+1)∈Sdn運行時，其在區間(k，k+1)運行的第τ時刻其所需牽引能耗可表示為：

其中，Fjk表示下行列車j在區間(k,k+1)運行時受到的平均牽引力。需要注意的是，公式(1)與(2)中的每一項均為常量。

將研究線路全天各時刻所需要的牽引能耗求和，便可獲得該城軌線路列車運行所需牽引能耗E如下：

其中，Tstart和Tend分別為地鐵列車最早和最晚運營時刻；分別表示上行列車i和下行列車j離開車站k的時刻；表示上行列車i進入區間(k,k+1)后的第τ時刻；表示下行列車j進入區間(k,k+1)后的第τ時刻。

1.2 節能時刻表與車底銜接計劃協同優化問題

當下行列車j從起點站K+1 運行至終點站2K后，此時其使用車底有3種接續選擇：1) 車底進入車輛段而結束當天服務，即后續不再服務其他列車；2) 車底進入車輛段，但之后需再次從車輛段出來服務于其他列車；3) 車底在車站2K直接進行折返作業后繼續服務一列上行列車。為了描述車底在服務下行列車j到達車站2K后的車底接續安排，定義2個0-1決策變量αji和βji如下：

而對于從車站1 運行至車站K的上行列車i而言，由于車站K未有供車底停留的車輛段，故其承擔車底只能在車站折返后服務下一列下行列車回到車站1。定義0-1決策變量αij如下：

顯然，不同的接續方案將直接影響車底運用時間成本，甚至其運用數量，而同時可選擇的接續方案卻很大程度上依賴于列車時刻表所確定的各方向列車始發與終到時刻。因此，可將節能時刻表與車底銜接計劃協同優化問題描述為基于預先從服務質量保障角度生成的初始列車時刻表與區間列車候選牽引策略集合，同時考慮列車運行節能與車底運用總成本2個目標，協同優化列車時刻表及其相應的車底銜接方案。

2 協同優化模型

2.1 模型假設與決策變量

由于城市軌道交通線路的站間距離較短，區間限速條件簡單，為簡化研究內容，本文在不影響模型優化方法的前提下作了以下假設：

1) 將列車運行視為單質點運動模型，且所有運營列車為同一類型列車。

2) 列車能耗僅考慮列車運行所需的牽引能耗，暫不考慮列車照明、空調等車載設備能耗。

本文基于給定的列車牽引策略集合，設置如下決策變量。

1) 整數決策變量：上行列車i和下行列車j在起點站的發車時刻上行列車i和下行列車j在車站k的停站時長

2) 0-1 決策變量：上行列車i和下行列車j在區間(k,k+1)的牽引策略選擇車底接續關系(αji，βji，αij)。

2.2 目標函數

令σ為單位能耗費用，ω為車底單位運營時間成本(不包含能耗成本)，則目標函數表示如下：

其中，tenter和texit分別表示車底進、出車輛段所需時間；分別表示上行列車i到達和離開車站k的時刻；分別表示下行列車j到達和離開車站k的時刻。式(8)表示車底的總運營時間，包含車底運行時間、進出車輛段時間以及接續時間。

2.3 約束條件

1) 列車區間牽引策略選擇約束

針對在區間(k,k+1)運行的任意列車，從該區間候選牽引策略集Qk里當且僅選擇一種牽引策略供其運行，即滿足以下約束：

2) 單列列車總旅行時間約束

3) 列車停站時長約束

4) 列車出發/到達時間間隔約束

5) 列車始發時刻調整量約束

其中，Δtmax表示任意列車相比于初始給定時刻表在車站發車時刻允許的最大調整量。

6) 區間運行時長、列車到發時刻與停站時長的等價關系約束

7) 車底銜接關系約束

對于任意上行列車i，到達車站K后其車底需銜一列下行列車j返回車站2K，即滿足，

此外，服務任意上行列車i的車底可來自首次從車輛段出來服務的車底，或者來自服務完一列下行列車j后進行折返或進車輛段后再出段的車底，即滿足，

對于任意下行列車j，由于其到達的終點站車站2K銜接了車輛段，故服務完該列車后，其相應車底可進入車輛段結束當天服務、或者進行折返、又或者進車輛段后再出段，即滿足，

此外，服務下行列車j的車底只能來自服務完上行列車i而進行折返的車底，即滿足，

8) 車底銜接時間約束

對于從車站K+1運行至車站2K的下行列車j而言，在車站2K其車底能否直接進行折返作業并繼續服務于上行列車i，則取決于兩列車間的間隔時間是否滿足車底折返時間的限制：

其中，M為一個足夠大的正數；分別表示車底在車站2K的最大、最小折返時間。

在車站2K，下行列車j的車底在進入車輛段后能否再次出段并服務于上行列車i，則取決于兩者間的間隔時間是否滿足車底進、出車輛段所需時間：

同理，對于從車站1 運行至車站K的上行列車i而言，在車站K其車底只能進行折返并返回車站2K。故其車底進行折返后能否服務于下行列車j，取決于兩列車間的間隔時間是否滿足車底折返時間的限制：

2.4 模型構建

根據2.2 小節目標函數和2.3 小節約束條件可以確定節能時刻表與車底銜接優化模型如下：

3 粒子群求解算法

以上協同優化模型由于目標函數的計算為非線性，故屬于一個大規模的混合整數非線性規劃問題。雖然可以通過線性化技術將目標函數計算線性化，但是由于模型涉及決策變量與約束條件數量龐大(見表1)，通過將其線性化后難以采用商業求解器進行有效求解。考慮到粒子群算法具有高效并行搜索、全局搜索和信息共享機制等優勢特征，且較之于遺傳算法、蟻群算法、模擬退火算法等具有相對較低的時間復雜度和空間復雜度，在求解大規模問題時具有收斂速度快等優勢[17]，本文選擇粒子群啟發式算法對模型進行優化求解。

表1 模型復雜度計算Table 1 Model complexity calculation table

本文所提優化模型解包括時刻表與車底銜接計劃2個部分，考慮到若直接以這兩部分作為粒子解，容易使產生的粒子不可行而導致迭代過程中大量不可行粒子出現。為了減少算法迭代過程中不可行粒子的產生、提高算法求解效率與質量，本文以模型解中有關列車時刻表的決策變量作為粒子解，即每個粒子僅由時刻表相關決策變量構成。基于每個粒子確定的時刻表，通過設計一種車底銜接計劃生成策略確定與時刻表相對應的車底銜接方案，進而獲得一個完整的模型解，在此基礎上計算相應的模型目標函數值以實現粒子解的更新改進。

3.1 車底銜接方案生成策略

對于端點站2K，按下行列車到站順序逐列為其確定銜接的上行列車，記當前下行列車為j，則其銜接的上行列車選擇過程如下：

首先從所有未安排銜接方案的上行列車中為當前下行列車j尋找滿足銜接時間約束式(29)，并且在車站1 最早發車的上行列車i。若能找到滿足條件的上行列車i，則此列車作為當前下行列車j的銜接列車，即αji=1；否則，意味著找不到與之能夠銜接的上行列車i，則讓該下行列車j進入車場。

在通過以上列車銜接列車選擇為每列下行列車j確定了銜接方案后，需對在車站1 始發的所有上行列車i，檢查是否均有相應的下行列車j與其銜接，若沒有，則從車輛段任意選取一個當日已承擔過運行任務的車底，使其再次出段并服務于上行列車i。此時若車輛段沒有已用車底，則新增一個新的車底，使其出段并服務上行列車i。

類似的，對于端點站K，可以按上行列車到站順序逐列為其尋找下行銜接列車。需要注意的是，由于車站K沒有銜接車輛段，因此當該站存在上行列車i找不到滿足要求的下行列車j，或者下行列車j找不到滿足要求的上行列車i，即車底銜接約束(25)和(26)得不到滿足，此時為目標函數增加相應的懲罰費用?。

3.2 算法步驟

由于在粒子的進化過程中可能會產生不可行粒子，考慮到本文所提出的模型包含大量約束條件，為了保證算法的收斂速度和迭代過程中解的可行性，本文設計了不可行解的修復策略對其進行處理。求解考慮運行節能和車底運用的城軌時刻表優化模型的粒子群算法(PSO)具體步驟如下。

Step 1：設置進化參數(c1,c2,w)，種群規模N，算法最大迭代次數MaxGen和最優解保持不變的最大連續迭代次數Maxgen。

Step 2：設置迭代次數p=0，生成N個初始可行粒子，并初始化所有粒子的速度。

Step 3：基于每個粒子Xn所確定的時刻表，根據車底銜接計劃生成策略生成對應的車底銜接方案。

Step 4：根據以下公式更新所有粒子Xn的速度和位置，并令p=p+1。

Step 5：判斷所有粒子Xn的可行性，對于不可行的Xn，根據以下步驟對其進行修復。

Step 5.1：初始化修復次數z=0。

Step 5.2：如果0-1 決策變量不滿足約束(9)和(10)，則為該列車在該區間隨機選擇一種牽引策略。

Step 5.3：如果整數決策變量不滿足約束(15)，(16)，(19)和(20)，則將其拉回至邊界位置。

Step 5.4：如果整數決策變量不滿足約束(13)和(14)，則將其拉回至邊界位置。

Step 5.5：檢驗時刻表是否滿足全部約束，若全都滿足，表示修復成功，否則，令z=z+1，若z≤5，則重新更新該粒子Xn的速度與位置，并返回Step 5.1，若z>5，則拋棄該粒子。

Step 6：判斷p≥MaxGen和p＇≥Maxgen是否成立，若其中任意一個成立，終止算法，并輸出全局最優位置結束優化過程，若兩者都不成立，則轉入Step 3。

4 算例分析

為了驗證考慮運行節能和車底運用的城軌時刻表優化方法的有效性，基于廣州地鐵9號線進行數值實驗，同時區間運行策略的數據來自與廣州地鐵集團有限公司的合作項目《廣州地鐵網絡化運行圖模擬驗算系統開發》。廣州地鐵9 號線線路全長20.1 km，共設置11 個車站、1 個與上行方向始發站飛鵝嶺站相連的車輛段，當前時刻表站間運行時間、停站時間、區間所需牽引能耗如表2所示。

表2 廣州地鐵9號線區間運行時長、停站時間及區間所需牽引能耗Table 2 Practical running time, dwell time and traction energy consumption of Guangzhou Metro Line 9

模型參數設置如下：單位能耗費用σ=1元/(kW·h)，車底單位運營時間成本ω=10 元/min，再生制動能轉換系數為0.8，最大服務安全間隔為15 min，最小安全間隔為120 s，停站時長調整量為±5 s，列車到、發時刻調整量為±30 s，單列列車總旅行時間增加量上限值為130 s。同時本文針對上、下行各個區間均給定9種不同的牽引策略，并保證每個區間的運行時長調整量在±10 s 的范圍內。根據廣州地鐵9號線真實數據，折返站高增站車底最小折返時長為70 s，折返站飛鵝嶺站車底最小折返時長為130 s，進、出車輛段所需時間均為180 s。采用粒子群算法求解時，設置進化參數c1=1.5，c2=1.5，最大慣性權重wmax=0.8，最小慣性權重wmin=0.4，種群規模N=100，算法最大迭代次數MaxGen=1 000，最優解保持不變的最大連續迭代次數Maxgen=300。

圖1為算例求解的收斂過程，其表明算法能夠以較快的速度實現模型目標值的優化，并在第243次迭代后實現算法收斂。此外，通過統計迭代過程中出現與修復不可行解次數，可知在種群規模為100，迭代更新次數達到1 000 時，平均每次迭代出現的不可行解次數為21。針對每次迭代所出現的不可行解，算法均能100%地對其進行一次性修復。

圖1 算法收斂圖Fig. 1 Algorithm convergence diagram

為了體現本文所提出的協同優化方法的優勢，本節不僅將與初始列車運行時刻表和車底銜接計劃進行比較，還將與節能時刻表與車底銜接計劃分開優化的結果進行比較。三者的優化結果如表3所示，當把節能時刻表與車底銜接計劃分開優化時，優化后的時刻表能耗成本降低了(67 129.78-58 595.36)/67 129.78=12.71%。然而，相應的車底銜接計劃使用成本增加了8.28%，從而導致總成本只降低了0.56%。相比而言，協同優化使列車運營總成本降低了3.81%，其中能耗成本降低了3.06%，車底總時間成本降低了4.35%。由此可見，雖然協同優化在節能效果方面不如分開優化，但能使得節能與車底運用總成本得到大幅度下降，這充分表明了本文算法求解的有效性。

表3 節能時刻表與車底銜接方案優化質量對比分析Table 3 Comparative analysis on the optimization quality of energy-saving schedule and train circulation plan

優化前后各個區間運行時分對比如圖2 所示，圖中獨立的空心圓表示每個部分中每個候選牽引策略對應的運行時間。由于每個區間允許不同列車選擇不同的牽引策略，三角形、正方形和實心圓分別代表優化前、協同優化和分開優化后每個區間所有列車的平均運行時間。從圖中可以看出，單獨優化能耗時大部分列車都選擇運行時間最長的牽引策略運行，以達到最大化降低牽引能耗的目的。而協同優化時，由于受到車底銜接計劃成本的制約，僅有一部分列車選擇運行時間相對較長的牽引策略運行。由此可以得出結論，時刻表有關牽引能耗的優化和車底銜接計劃的優化沖突較大，因為其往往要選擇較長的運行時間，而這顯然是不利于車底的銜接；而有關再生制動能的優化并不會和車底銜接造成較大沖突。

綜上所述，當對時刻表進行節能優化時，雖然使得時刻表的節能效果達到最優，但由于過度追求時刻表的節能效果，會導致車底運用成本增長，從而使得列車運營總成本并沒有得到良好的優化效果。這是因為有利于節能的時刻表往往要求列車區間運行更長、發車間隔更短，而這顯然不利于節約車底銜接計劃成本。而本文提出的優化模型將列車運行節能與車底運用兩者綜合考慮，從總成本的角度對時刻表進行優化，使得列車運行能耗與車底運用成本均降低。

5 結論

1) 提出了考慮運行節能和車底運用的城軌時刻表優化模型，需要同時解決列車區間節能運行策略選擇與車底銜接優化問題，從而實現列車運行節能與車底運用時間總成本的最小化。該協同優化方法可以有效避免因過度追求列車時刻表的節能效果而使得地鐵列車總運行成本增大的情況。

2) 利用粒子群算法的框架設計了一種高效、便捷的算法，構造了一種車底銜接計劃生成策略，該算法不僅有助于避免算法迭代過程中產生大量不可行解，同時提高了算法的收斂速度和求解效率。

3) 結合廣州地鐵9號線的真實數據進行仿真研究，結果表明：當分開優化節能時刻表和車底銜接計劃時其列車運營總成本只降低了0.56%，而本文提出的協同優化模型使總成本降低了3.81%。因此十分有必要將運行節能與車底運用綜合考慮。

4) 在未來的研究工作中，將嘗試把乘客乘車需求考慮進模型中。另外，還將在現有研究的基礎上考慮單列車運行曲線和多列車再生制動能的協同優化，從而實現列車凈能耗與車底運用成本的最小化。