構建“教—學—評”一致的初中數學作業
——以人教版初中數學教材九年級上冊“配方法”一課為例

姜翠多 姜孟鴻 范連眾

（大連市第三十中學，大連市甘井子區教師進修學校）

2022年4月，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）正式頒布，與《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）不同的是，新課標不僅給出了學習內容的內容要求和教學提示，還專門制定了數學課程學業質量標準，將“教”“學”“評”這三個數學教學的重要方面緊緊地聯系在一起。數學課程學業質量是對學生數學學習表現的整體反映，直接反映學生經過一段時間的課程學習所達到的學業水平，是學生核心素養在具體學段、具體學科中的體現。數學作業是數學課程的重要內容，是課堂教學的補充和延續，同樣應該以“教—學—評”的一致性作為設計原則，以立德樹人為根本目標，突出學科實踐、整體建構和因材施教的課程改革特征。

一、正確理解初中數學作業性質及其功能

課后的練習、作業或實踐是課堂的延續，通過各種類型的課外作業，學生在課內學到的知識、技能能夠更加鞏固與完善。華東師范大學葉瀾教授對作業的定義是：作業是學生的學習產品，產品是否合格不僅表明學生的學習質量，而且反映了教師的教學質量。課外作業應少而精，形式多樣化，作業的要求要具體，要設計針對差異的、可供選擇的作業。

作業改革的本質應該是對作業功能的發展。依據不同的功能，作業可分為引導預習的作業、促進理解的作業、提高熟練度的作業、幫助記憶的作業、意在學習診斷的作業、補償性的作業、促進習慣養成的作業、促進知識體系形成的作業、用以組織教學進程的作業等多種類型。作業研究的實質是關注“學”的研究，即在作業內容上，以核心素養為依據，選擇有意義的學習任務；在作業形式上，以學生的學習興趣為依據，注意作業與學習內容的匹配；在作業布置上，注意時機的把握，保持作業任務與教學進度的一致性；在作業操作過程中，根據學生的學習能力，進行必要的指導與幫助；在作業的反饋上，關注作業功能作用的發揮，注重開展有效講評。

作業設計是基于某些教學目標，通過選擇重組、改變完善或者自主開發等形式形成作業的過程。作業設計應符合新課標的要求，應根據教材的內容要求進行，不僅要鞏固和復習基礎知識，還應培養學生立足于全面發展的核心素養。基于這種理念，學生需要的不是單調重復的作業，而是能啟迪智慧、養成思路的作業。實踐創新是核心素養的重要組成部分，在作業設計中，教師應引導學生能夠善于發現問題和提出問題，并能夠結合實際情況，制定出解決問題的策略，這對于學生綜合能力的發展是有巨大幫助的。所以，在設計作業時教師要加強問題的綜合性，讓學生接受挑戰，收獲成功。同時，還要利用“互聯網+”提高作業交流的互動性，設計辯論、討論性質的作業，保證學生的整體參與。

二、分析當下初中數學作業設計的現狀

在以往的作業設計中，利用好教材中的作業并對其進行補充依然是教師最廣泛的操作方式，補充的主要來源有歷年來的中考試題、模擬試題以及市場上大量的教輔材料。教師依據學情，真正進行自主設計作業還做得很不夠。以人教版數學教材九年級上冊“解一元二次方程”的第一節“配方法”為例，教科書在第17 頁給出了兩個作業題，一個是第二題填空，給出了4 道小題，學生根據給出的二次項系數和一次項系數去填寫一個完全平方式的常數項。第三題是直接利用配方法解4 個方程。這幾道題都是在“復習鞏固”欄目中出現，屬于基礎性習題，完成時間預計為15 分鐘以內。顯然，這些作業滿足不了九年級學生的需求，為此，教師會布置一定量的習題，借鑒中考試題中的相關考法，按題型和難度對作業進行分層設計。下面的作業設計，基本反映了大多數基層學校的作業設計現狀。

【必做作業部分】

選擇題：

1.用配方法解方程x2-8x+5=0，正確的變形為（ ）

A.（x-6）2=11 B.（x-4）2=11

C.（x-4）2=-11 D.以上都不對

2.方程（x+2）2=4的根為（ ）

A.x1=4，x2=-4 B.x1=-4，x2=0

C.x1=0，x2=2 D.x1=4，x2=0

3.對一元二次方程x2-ax= 3 進行配方時，兩邊同時加上（ ）

填空題：

1.x2+6x+____=（x+____）22.x2-x+____=（x+____）2

3.4x2-4x+____=（2x+____）2

4.x2-+____=（x-____）2

用配方法解下列方程：

1.x2+10x+16=0

2.x2-x-=0

3.3x2+6x-5=0

4.4x2-x-9=0

必做題部分的選擇題1、2 題均是由教材例1 的題目改編而來，讓學生理解配方法。第3 題是根據配方法的探究過程設計的原創題，在理解配方法的基礎上進行符號意識的訓練。填空題和解答題是教材上習題2和練習3的原題，進一步熟練配方法的步驟，準確規范的運算，培養運算能力。題目總體難度系數0.9，預計學生10～15分鐘完成。

【選做作業部分】

1.若代數式M=10a2+b2-7a+8，N=a2+b2+5a+1，則M-N的值一定是正數。

該題目來源于教輔材料，是配方法的應用，提升學生的數感、運算能力、代數推理等綜合能力。題目難度系數0.6，預計學生5分鐘完成。

2.求代數式x2+8x+17的最小值。

該題目來源于教材第22 章二次函數的應用計算部分，讓學生綜合能力得以鍛煉的同時，感受數學知識與方法的聯系，主動構建知識體系，提升數學學習興趣。題目總體難度系數0.3，預計學生5 分鐘完成。

上述作業設計的基本思路實質上是根據考試評價中試題的情況，并不是從學生怎么學，教師怎樣教，學生是否實現了課程目標的角度去思考，這就需要我們改變理念，重新思考。

三、整體構建基于“教—學—評”一致性的作業

（一）目標設計

新課標對配方法解一元二次方程的內容要求是：理解配方法，能用配方法解數字系數的一元二次方程。這里的理解，要求學生能描述配方法的由來、內涵和特征，闡述配方法與相關方法之間的區別和聯系。其中描述由來，可以體現學習配方法的必要性，描述配方法的內涵與特征，是運用配方法解方程的保障。明確配方法與相關方法的聯系和區別，是學會配方法的標志。

（二）框架設計

基于“教—學—評”一體化的作業設計，我們分別從以下維度進行考慮（如下頁表1）。

表1 作業設計框架

為此，在內容選擇上，要通過實際問題體現學習的必要性，通過對直接開方法的應用延展體現配方法與直接開方法的關系，通過用配方法解不同形式的方程，實現掌握配方法的目標。在呈現形式上，要與教學方式相呼應，體現問題驅動和因材施教。

（三）具體設計

【客觀題】

填空題（一）：

1.x2+10x+25=（x+____）2

2.x2-12x+____=（x-____）2

3.x2-____=（x-____）2

4.x2+px+____=（x+____）2

填空題（二）：

1.x2+6x+____=（x+____）22.x2-x+____=（x-____）2

4.x2-____=（x-____）2

填空題（三）：

1.4x2+4x+____=（2x+____）2

2.4x2-x+____=（2x-____）2

【用配方法解方程】

解下列一元二次方程（一）：

1.x2=5

2.（x+2）2=5

3.x2+12x+36=5

解下列一元二次方程（二）：

1.x2+10x+16=0

2.x2-x-=0

3.3x2+6x-5=0

4.4x2-x-9=0

解下列一元二次方程（三）：

1.2x2-7x+6=0

2.3x2+8x=3

3.x2+px+q=0

【配方法的應用】

解應用題（一）：

1.使一塊矩形場地的長比寬多6 m，并且面積為16 m2，場地的長和寬應各是多少？

2.用配方法證明x2-10x+26的值永遠大于0。

解應用題（二）：

1.梯子滑動的問題。一個長為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端與地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那么梯子的底端滑動多少米？

2.試用配方法證明。不論a取任何實數，a2-a+1的值總是一個正數。

以上每組題都分兩三個層次，供學生選用，總體習作時間在30分鐘左右。

“教—學—評”一致的作業設計的最終目標在于育人，鞏固基礎知識，完善知識內化的過程，發展學生未來學習應具備的關鍵能力和核心素養。因而需要教師轉變教育理念，理解課程目標，不斷實現課內外學習的有機整合。