問題探究促發現，深度學習促素養

楊建新

一元二次不等式是高考數學中的重要知識點，我們有必要加強對其難點的突破，以鞏固基礎知識并提高對所學數學知識和方法的靈活運用能力。

一、課程導入，創設教學情境（溫故知新）

師：同學們，我們剛剛學習了“一元一次不等式”，今天，我們嘗試將所學的知識應用到具體的例題中。

借助PPT，讓學生回顧所學內容。

師：同學們，我們要如何求解一元二次不等式？

對于學生來說這道題非常簡單，因而學生會爭先恐后地舉手回答。

生1：通過移項，可以得到x2＞1，故x＞1或者是x＜-1。

師：同學們，你們說這位同學的回答正確嗎？

生2：正確。因為將其因式分解可得（x-1）（x+1）＞0，因此可以得到方程組

x-1>0x+1>0或x-1<0x+1<0

最終可以得到x＞1或者是x＜-1。

師：因式分解可以將二次式轉化為兩個一次式的乘積，通過實施降次的操作，將高次項變成低次項，使得問題更加熟悉和易于處理。根據實數乘法的符號法則，我們可以將一元二次不等式轉化為兩個一元一次不等式組。這種代數方法不僅有助于解決一元二次不等式，還為解決更復雜的高次不等式問題奠定了基礎。

（設計意圖：通過啟發和引導，幫助學生從函數的視角理解和處理一元二次不等式。）

在教學中，我們應以批判的眼光審視教材，并以開闊的視野來分析教材。在溫故階段，教師需要綜合思考與學生的認知能力、生活經驗、學科思維特點和技能相適應的要求，以確保學生能夠通過自身經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。

因此，在教學設計中，我們可以通過情境引入環節提出以下問題：

習題1：一家糧食加工廠引進一條生產線，該生產線的大米產量為x噸。由于設備成本、人工費用和運輸方式等因素的不同，每噸大米的收益與產量之間存在以下關系：

師：同學們，如果你是這家糧食加工廠的管理人員，你如何保障大米產量在可盈利的范圍內？

（設計意圖：培養學生的數據分析能力和數學抽象能力以及對該知識進行探究的興趣。）

二、啟發思考，深入探究

通過PPT向學生展示例題即ax2+bx+c>0的解為x|-3

師：同學們，現在我們以小組的方式展開討論，最后我們選出小組代表，展示本組的解題思路。

小組1：我們小組討論認為可以先分別求解出a、b和c，根據題干，可以知道-3和4為方程ax2+bx+c>0的解，由此可以推導出9a-3b+c=0 （1）和16a+4b+c=0 （2），但是按照這一思路，我們無法推導出結果，故陷入了無解當中，目前我們還在討論。

師：小組1提出了一種思路，但是不夠完善，還有哪組同學有新的想法呢？

小組2：我們小組討論可以使用對稱軸。根據對稱軸方程，可以獲得 = （3），在小組1提出的方程（1）和方程（2）的基礎上，與方程（3）進行聯立，可以求出a、b和c對應的數值。

師：第二小組同學結合建模思想，通過聯立方程組的方式，將a、b和c對應的數值求解出來，雖然理論上是可行的，但是求解難度非常復雜，很容易求解錯誤，哪個小組還有比較簡化的思路呢？

小組3：我們可以采用韋達定理，這樣可以直接替代方程（1）和方程（2）。

師：你可以具體講解你們小組的思路嗎？

小組3：按照韋達定理，將方程（1）和方程（2）改寫為-3+4= ，-3×4= ，與方程（3）進行聯立，可以直接求解出來。

師：同學們，你們觀察一下，剛才小組1、小組2和小組3的同學采用的方法有什么共性，哪個小組還有其他的思路嗎？

小組4：小組1、小組2和小組3的同學都采用了先求解出a、b和c數值的思路，但是我們小組認為可以直接使用韋達定理來求解。我們小組是這樣討論的，按照韋達定理，可以得到方程-3×4=? （4）和方程-3×4=? （5），由此可以得出b=-a，c=-12a，將其代入不等式bx2+2ac-c-3b<0中，可以得到新的方程-ax2+2ax+15a＜0，結合圖像，可以得到a＜0，當兩邊同時除以-a后，進而得出x2-2x-15＜0，故可以得到

-3＜x＜5。

此時其他小組的成員對這一解法表示感嘆。

我也沒有想到小組4可以有這樣的解法，他們打破了常規思維（單純求解a、b和c的數值），解出了不等式。

師：若是將方程（4）和方程（5）進行聯立，求解的結論不使用a表示b和c，而是利用b表示a與c或者是使用c表示a和b，是否可以得出類似的解呢？

于是，學生展開了激烈的討論。

生2：我認為可以按照對稱軸方程，表示出b，即 = 。

生3：我認為可以通過-3×4= 或者對稱軸方程來確定c。

師（非常激動）：同學們，你們真棒，可以通過舉一反三的方式推導出不同字母的表示方法。

三、自主探究，進行質疑

師：同學們，我們按照剛才兩位同學提出的解題方法嘗試求解，看能否得出結論。

在我提出后，學生積極解題，但是我發現大家都表現出疑惑的神情，我問道：你們得到結果了嗎？

生2：老師，我按照自己的解題思路，無法得到具體的答案，我不知道哪里出現問題了，非常困擾。

生3：老師，我求出來了，但是我不知道是否正確。

師：那你就勇敢地說出自己的解題思路，我們大家一起來判斷是否正確。

在我的鼓勵下，生3分享了自己的解題方法：

由題意可知-3和4是方程ax2+bx+c=0的解，將公式ax2+bx+c因式分解，可以得到（x+3）（x-4）＞0，其解集為x|-3

由題可知該圖像開口方向朝下，因此需要增加一個負號，則為-（x+3）（x-4）＞0，后可以得出a=-1、b=1和c=12。

師：大家覺得生3的解題思路是什么呢？為什么前兩個方程組無法解出，但是現在這種可以解答呢？有同學知道什么原因嗎？

問題提出來，教室里面一片安靜。

為了更好地引導學生，我提出：生3提出ax2+bx+c>0，并將其分解成-（x+3）（x-4）＞0，你們覺得這種思路是否正確呢？

通過引導，有學生舉手回答：老師，我知道了，生3的說法并不完全正確，我認為這里可以寫成-k（x+3）（x-4）＞0。

我接著問：那k的取值范圍是什么？

生4：k應該是大于0的。

師：說得很好，請坐。我們在之前的等差數列中也講過類似的方法，我們一起回顧一下。

于是我借助PPT給學生展示。

數列an、bn為等差數列，an的前n項和為Sn，bn的前n項和為Tn，其中 = 。

生5：老師，因為Sn與Tn為缺常數c關于n的二次函數，故設Sn為kn（7n+2）；Tn為kn（n+3）。

師：非常正確。

四、教學反思，實現深度學習

教學設計是教師通過自身技能對教學內容進行規劃和思考的過程。教學設計是一個動態的過程，需要教師不斷探索、思考、學習、實踐和總結，以學生為主體設計符合學情的教學活動，以此來激發學生主動探究的積極性，使學生通過新問題、新思維、新質疑來活躍思維。

教師在具體教學中應將發展學生的認知能力作為教學的最大目標，鼓勵學生主動獲取知識，并在不斷質疑和反思的基礎上實現知識的建構和生成。

在本節課的設計中，通過一道看似普通的習題研究引入，低起點但高立意，激發學生的學習動機，通過理性思維延伸教學，貫穿自主探究的主線，體現了以思維為導向的教學觀，促進了學生深度探究，并進一步提升了學生的數學素養和思維水平。只有將課堂真正還給學生，給予學生充分的主動權，才能讓課堂煥發活力。在課堂教學中，教師以學生的思維為起點，通過有意識、有目的地引導和激勵學生，調動學生的積極性，讓學生通過多種感官參與學習活動，關注學生的思維障礙和質疑問題，培養學生積極思維，并提升課堂的有效性。

啟發性質疑是教師智慧的體現，也是質疑式教學的主要特征之一。在教學過程中，通過一個提示語或一個問題，引發學生的質疑和反思，促使學生主動探究，并通過再探究獲得新的認識，使原有思維具有更強的延展性，讓經驗煥發新的生命。在本案例中，教師通過不斷提問引發學生的質疑和反思，讓學生自然地產生一個又一個想法，促使學生提出困惑，并激發學生的熱情和動力，展開探究和討論，推動學習的深入，并深化學生的思維品質。

在高中數學課堂教學中，有效的教學形式應包括精講、師生問答、學生自主探究、合作交流和模仿訓練等教學活動，并按比例合理分配。因此，提出了問題驅動下的高中數學課堂教學形態的假設。在這種教學形態中，筆者通過引導學生圍繞一系列設計的問題進行獨立思考和合作交流，使學生經歷知識的形成和發展過程，建構知識并完善認知結構。具體的教學流程如下：

1.復習回顧：教師對學生已學過的知識進行復習，為學生解決問題奠定基礎。

2.提出問題：教師根據學生自主探究新問題所遇到的困難點、疑惑點和分歧點設計問題鏈，幫助學生進行自主探究。

3.自主探究：學生獨立完成問題的探究，可以查閱課本和其他資料，提出解決問題的方案。鼓勵開放性思考和創造性解決問題。

4.合作交流：學生表述觀點并互相評價，進行辯論交流。

5.總結歸納：教師根據學生自主探究和合作交流的結果，讓學生進行小組交流，并進行概括總結。教師也可以補充遺漏點。

6.反饋練習：教師設計適當的題組來檢測學生對一般結論的掌握程度和對問題本質的深刻理解程度。在本次教學設計中，主要是讓學生總結例題思考過程，理解解題思路和原因。只有掌握思考本質，才能實現舉一反三，提升學生的思考能力和解題能力。

因此，本次教學中所呈現的教學形態充分考慮了學生的思維和學習積極性，引導學生參與到探究活動中，培養學生的問題解決能力和合作能力。通過課堂中的精講、問答、自主探究、合作交流和模仿訓練等多種教學活動，學生能夠更好地理解數學知識和掌握解決問題的方法。

（作者單位：甘肅省禮縣第二中學）

編輯：曾彥慧