基于高階常微分方程的復(fù)雜水域船舶航跡精準(zhǔn)預(yù)測研究

陳云龍，王海威，梅麗杰

(南昌航空大學(xué) 科學(xué)技術(shù)學(xué)院，江西 南昌 330000)

0 引 言

伴隨著經(jīng)濟(jì)全球化時(shí)代潮流，國際海洋運(yùn)輸業(yè)務(wù)覆蓋面積逐漸擴(kuò)大，加強(qiáng)海上運(yùn)輸船舶安全管理和航跡監(jiān)測是國際海洋運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)關(guān)注目標(biāo)。由于海上水域狀況復(fù)雜，船舶航行周期也較長[1-2]，為避免船舶在復(fù)雜水域出現(xiàn)航線偏離，發(fā)生觸礁或船舶海上交通事故，精準(zhǔn)預(yù)測船舶航線意義重大。有很多學(xué)者研究船舶航線預(yù)測方法，鄢博冉等[3]利用AIS 系統(tǒng)采集船舶航行狀態(tài)數(shù)據(jù)，采用卡爾曼循環(huán)網(wǎng)絡(luò)去除船舶航行狀態(tài)數(shù)據(jù)中所含的噪聲，再利用滑動(dòng)窗口加窗方法建立船舶航行狀態(tài)方程，用該狀態(tài)方程輸出船舶航跡數(shù)據(jù)點(diǎn)，將船舶航跡數(shù)據(jù)點(diǎn)按照時(shí)間順序連接后，得到船舶航跡。王余寬等[4]以船舶相鄰航跡點(diǎn)船位特征變化趨勢數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，使用差值算法填補(bǔ)船位特征變化趨勢數(shù)據(jù)，將其輸入到長短記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，利用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出船舶航跡預(yù)測結(jié)果。上述2 種方法雖均可實(shí)現(xiàn)船舶航跡預(yù)測，但前者受滑動(dòng)窗加窗算法參數(shù)選取具備主觀性影響，其輸出船舶航跡預(yù)測結(jié)果不佳。后者則受長短記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)迭代影響，容易陷入局部極值情況，輸出船舶航跡預(yù)測偏差數(shù)值較大。高階微分方程是導(dǎo)數(shù)未知且高于一階的微分方程，該方程可挖掘動(dòng)態(tài)觀測樣本，依據(jù)動(dòng)態(tài)觀測樣本規(guī)律，挖掘樣本關(guān)聯(lián)或者預(yù)測樣本走向，高階微分方程被應(yīng)用在識(shí)別、監(jiān)測、預(yù)測等多個(gè)領(lǐng)域[5-6]。本文以高階微分方程為基礎(chǔ)，研究基于高階常微分方程的復(fù)雜水域船舶航跡精準(zhǔn)預(yù)測方法，為船舶安全航行提供保障。

1 復(fù)雜水域船舶航跡精準(zhǔn)預(yù)測方法具體設(shè)計(jì)

1.1 基于AIS 的船舶航行行為動(dòng)態(tài)觀測樣本采集

AIS 系統(tǒng)也稱為船舶自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)，每艘船舶上均配備AIS 系統(tǒng)，該系統(tǒng)由通信機(jī)、GPS 定位儀等多個(gè)設(shè)備組成，可獲得船舶船位、航速、航向等船舶航行行為數(shù)據(jù)，利用AIS 系統(tǒng)采集船舶航行行為動(dòng)態(tài)觀測樣本。船舶航行行為觀測樣本為：

式中：Ship表示船舶航行行為預(yù)測樣本； λ ， φ為船舶航行時(shí)的經(jīng)度和緯度；V為船舶當(dāng)前航行速度；R1，R2為船舶的航首向和對地航向。

利用式(1)獲得時(shí)間段船舶航行行為觀測樣本后，構(gòu)建船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集為：G=(g(t0),g(t1),···,g(tn-1))。

其中：n為船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本個(gè)數(shù)；ti為時(shí)刻；g()表示觀測樣本中元素。

1.2 高階常微分方程船舶航跡預(yù)測模型構(gòu)建

以船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集G=(g(t0),g(t1),···,g(tn-1))作為基礎(chǔ)，利用常微分方程建立該船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集規(guī)律挖掘模型，其表達(dá)式如下：

式中：u表示船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集規(guī)律，該規(guī)律即為船舶軌跡坐標(biāo)點(diǎn)；f表示船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集規(guī)律挖掘模型。

利用高階常數(shù)微分方程對船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集進(jìn)行外推，外推步數(shù)為n， 可對n個(gè)時(shí)刻的船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本進(jìn)行預(yù)測。但由于船舶在航行過程中，其航線雖然是直線狀態(tài)，遇見船舶躲避和暗礁躲避時(shí)，航線會(huì)發(fā)生變化，所以船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本具備非線性特征。使用常微分函數(shù)建立的船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集規(guī)律挖掘模型無法充分呈現(xiàn)船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本之間的規(guī)律，在此僅以式(1)描述船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本之間的特性，利用高階常微分方程實(shí)現(xiàn)復(fù)雜水域船舶航跡精準(zhǔn)預(yù)測，詳細(xì)過程如下：

在船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集G=(g(t0),g(t1),···,g(tn-1)) 中 存在n個(gè)樣本，則該觀測樣本集的規(guī)模為n，進(jìn)行階差分近似處理，其表達(dá)式如下：

式中，M表示階差分近似處理后的船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集矩陣，該矩陣維度為n×m。

使用高階常微分對矩陣M中元素進(jìn)行建模，得到船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集G=(g(t0),g(t1),···,g(tn-1))的高階微分方程航跡預(yù)測模型，其表達(dá)式如下：

式中： dt表示高階微分方程表達(dá)式，t表示自變量；G?表示高階微分后的船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集。

設(shè)置式(4)約束條件如下：

式中，g?(m)(ti)為高階微分后的船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集G?中的元素。

式中，qi表示高階常微分后的船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本集中第i個(gè)樣本高階常微分結(jié)果。

將式(6)代入式(4)，并對式(4)進(jìn)行求解，即可得到船舶航跡精準(zhǔn)預(yù)測值。但直接求解高階常微分方程過程較為復(fù)雜，在此使用四階龍格-庫塔方法，將式(4)轉(zhuǎn)換成若干個(gè)一階常微分方程，再對其進(jìn)行求解。式(4)轉(zhuǎn)換成常一階方程表達(dá)式如下：

式中，ui(t)表示船舶航跡精準(zhǔn)預(yù)測值。

將式(7)右邊轉(zhuǎn)換成方程組，其表達(dá)式如下：

式中，u′i(t) 為ui(t)的轉(zhuǎn)換方程表達(dá)形式。式(8)的初始值為[7]：

通過求解式(8)并經(jīng)過多次迭代后，得到該方程的一組預(yù)測值U，其表達(dá)式如下：

式(10)中預(yù)測值對應(yīng)的船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本為：

通過上述步驟得到船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本的軌跡精準(zhǔn)預(yù)測值，但該值為獨(dú)立坐標(biāo)點(diǎn)，在此使用最小二乘法對船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本預(yù)測值軌跡精準(zhǔn)預(yù)測值進(jìn)行擬合，得到復(fù)雜水域船舶航跡曲線。

為使得到的復(fù)雜水域船舶航跡足夠精準(zhǔn)，使用最小二乘法擬合船舶航行動(dòng)態(tài)觀測樣本預(yù)測值進(jìn)行3 次擬合，則第k次擬合船舶航跡預(yù)測值時(shí)，得到船舶航跡曲線的表達(dá)式如下：

式中：Hk表示第k次擬合后的船舶航跡曲線；k表示擬合次數(shù)；xki表示第k次擬合時(shí)，第i個(gè)船舶航跡預(yù)測值的橫坐標(biāo)，表示的擬合值；yki表示船舶實(shí)際航向時(shí)的坐標(biāo)量測值。

通過式(12)即可得到復(fù)雜水域船舶航跡精準(zhǔn)預(yù)測曲線。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

以某運(yùn)輸船作為實(shí)驗(yàn)對象，該船長期執(zhí)行遠(yuǎn)洋運(yùn)輸，其航行里程數(shù)值較大，航期較長，且其穿越海洋洋流流經(jīng)區(qū)域以及海域較為狹窄的海峽。從該船的AIS 系統(tǒng)中采集其航行數(shù)據(jù)樣本并建立數(shù)據(jù)集，其中樣本數(shù)量為4 426 個(gè)。使用本文方法對該船在復(fù)雜水域航行時(shí)的航跡進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測，分析本文方法實(shí)際應(yīng)用效果。

首先使用本文方法采集該船舶航行行為動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)樣本，采集結(jié)果如表1 所示。分析可知，本文方法可有效采集該船舶航行的不同時(shí)刻航行速度、航首向、對地航向等船舶航行行為動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)樣本，為后續(xù)精準(zhǔn)預(yù)測船舶軌跡提供數(shù)據(jù)支撐。

表1 船舶航行行為動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)樣本采集結(jié)果(部分)Tab. 1 Sampling results of dynamic data of ship navigation behavior (partial)

使用本文方法預(yù)測該船舶在復(fù)雜水域某次航行時(shí)的航跡預(yù)測值，預(yù)測結(jié)果如圖1 所示。分析可知，使用本文方法預(yù)測的復(fù)雜水域船舶航跡時(shí)，預(yù)測航跡點(diǎn)與該船舶實(shí)際航跡點(diǎn)位置完全吻合，說明本文方法可精準(zhǔn)獲得船舶航跡點(diǎn)，也從側(cè)面說明本文方法預(yù)測的船舶航跡曲線能力較強(qiáng)。

圖1 復(fù)雜水域船舶航跡預(yù)測值Fig. 1 Predicted value of ship track in complex sea area

以該船某次在復(fù)雜水域航行時(shí)的動(dòng)態(tài)航行數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)對象，使用本文方法預(yù)測該船舶的航跡點(diǎn)預(yù)測值后，再對其進(jìn)行擬合處理得到該船航跡曲線，結(jié)果如圖2 所示。分析可知，該船從起點(diǎn)出發(fā)后，其穿越海峽和礁石，然后向東方航行，其航跡呈現(xiàn)弧狀。而使用本文方法預(yù)測該航跡后，得到的該船航跡曲線與其實(shí)際航跡曲線重合，說明本文方法不僅可有效預(yù)測船舶在復(fù)雜水域航行航跡，其預(yù)測的結(jié)果也足夠精準(zhǔn)。

圖2 船舶航跡擬合曲線Fig. 2 Fitting curve of ship track

以10 個(gè)船舶航跡點(diǎn)預(yù)測值作為實(shí)驗(yàn)對象，通過計(jì)算船舶航跡點(diǎn)預(yù)測值和實(shí)際值之間的歐式距離方式，得到預(yù)測值和實(shí)際值之間的誤差，以該誤差呈現(xiàn)本文方法預(yù)測船舶航跡精度，并設(shè)置誤差閾值為10 m。測試結(jié)果如圖3 所示。分析可知，本文預(yù)測的船舶航跡點(diǎn)與實(shí)際點(diǎn)偏差始終在4.5~6.1 m 左右波動(dòng)，該數(shù)值遠(yuǎn)低于較預(yù)設(shè)的閾值，該結(jié)果說明本文方法預(yù)測復(fù)雜水域船舶航跡精度較高，應(yīng)用性較強(qiáng)。

圖3 航跡預(yù)測精度測試結(jié)果Fig. 3 Test results of track prediction accuracy

3 結(jié) 論

本文提出基于高階常微分方程的復(fù)雜水域船舶航跡精準(zhǔn)預(yù)測方法，并對該方法進(jìn)行了實(shí)際驗(yàn)證。從驗(yàn)證結(jié)果得知，本文方法在預(yù)測航跡點(diǎn)、擬合航跡曲線以及預(yù)測船舶在復(fù)雜水域航行是的航跡精度方面能力均較強(qiáng)，未來可應(yīng)用在船舶導(dǎo)航、避障等多個(gè)領(lǐng)域。