用等效雙星方法求解彈簧雙振子問題
——以2022年全國高考乙卷理綜第25題為例

2023-03-24 09:23:44彭定輝

物理教師 2023年2期

彭定輝

(江西省南豐縣第一中學，江西撫州 344500)

1 問題引入

彈簧雙振子是指兩物塊與彈簧相連構成二體系統，在系統質心做變速或勻速直線運動的同時，兩物塊相對質心做簡諧運動．[1]彈簧雙振子模型在物理競賽中出現頻次較高，偶爾也出現于高考題中，如2022年全國高考乙卷理綜第25題，原題如下.

如圖1(a)，一質量為m的物塊A與輕質彈簧連接，靜止在光滑水平面上；物塊B向A運動，t=0時與彈簧接觸，到t=2t0時與彈簧分離，第1次碰撞結束，A、B的v-t圖像如圖1(b)所示．已知從t=0到t=t0時間內，物塊A運動的距離為0.36v0t0．A、B分離后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運動的B再次碰撞．之后A再次滑上斜面，達到的最高點與前一次相同．斜面傾角θ(sinθ=0.6)，與水平面光滑連接．碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內．求

圖1

(1) 第1次碰撞過程中，彈簧彈性勢能的最大值；

(2) 第1次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值；

(3) 物塊A與斜面間的動摩擦因數．

該題是一道典型的力學綜合題，涉及動量、能量和牛頓運動定律等核心知識，其運動過程較為復雜，分析起來有一定的難度．特別是該題第(2)問，常規做法是用微元法結合動量定理處理，但這種處理方案必須用到題設條件0.36v0t0，而且只能對特定位置或特定過程進行求解．為此，本文試圖尋找一種簡易方法，可在中學物理范圍內嚴格求解彈簧雙振子任意時刻的物理狀態．

2 運動分析

基于高考題情景，將物塊從彈簧原長位置開始壓縮到恢復彈簧原長的運動稱為一次擠壓過程．考慮系統不受其他外力的一般情況，對擠壓過程進行分析．設彈簧原長為l0，勁度系數為k，兩物塊A、B的質量分別為m、M，在地面坐標系中位置。

分別為xA、xB．

根據牛頓第二定律，有

(1)

(2)

對兩式積分，可得兩物塊的速度為

再次積分，可得兩物塊的位移為

將前面兩式代入(1)式，有C=C′，D=D′+l0．

故擠壓過程中兩物塊的位移為

xA=x0+a+v0t-rAsin(ωt).

(3)

xB=x0+b+v0t+rBsin(ωt).

(4)

兩物塊的速度為

vA=v0-ωrAcos(ωt).

(5)

vB=v0+ωrBcos(ωt).

(6)

不難看出，當cos(ωt)=0時兩物塊有共同速度且等于質心速度v0．

將t=0代入(5)(6)兩式，得vA0=v0-ωrA，vB0=v0+ωrB．當彈簧恢復原長時，由(3)(4)兩式有ωt=π，代入(5)(6)兩式，得兩物塊的末速度為vAt=v0+ωrA，vBt=v0-ωrB．聯立各式，得

即系統質心速度亦等于擠壓過程兩物塊初、末速度的平均值．

3 等效雙星方法

選取質心參考系，通過x′=x-(x0+v0t)變換位置坐標，可得質心系中兩物塊的位移方程為

xA′=a-rAsin(ωt).

(7)

xB′=b+rBsin(ωt).

(8)

從方程可知，質心系中兩物塊在各自平衡位置附近做同頻反相的簡諧運動.

由于簡諧運動可等效為勻速圓周運動(參考圓)投影的分運動，[3]那么質心系中彈簧雙振子的兩個簡諧運動亦可拓展為兩個勻速圓周運動.故對物塊A，在y方向構建一個同頻同幅的簡諧運動yA′=-rAcos(ωt)，使之與原x方向的簡諧運動xA′=a-rAsin(ωt)合成，所得圓周運動軌跡方程為

(xA′-a)2+yA′2=rA2.

對物塊B，同樣構建簡諧運動yB′=rBcos(ωt)，使之與原x方向的簡諧運動xB′=b+rBsin(ωt)合成，所得圓周運動軌跡方程為

(xB′-b)2+yB′2=rB2.

顯然，兩圓圓心位置為兩物塊的平衡位置，距離為彈簧原長，即a-b=l0；軌道半徑等于兩物塊做簡諧運動的振幅；速度大小等于兩物塊振動的最大速度，有uA=ωrA，uB=ωrB．

發現兩個圓周運動的力學規律與天體運動的雙星系統[4]十分相似，同樣存在mrA=MrB、muA=MuB、mω2rA=Mω2rB等約束關系．由(7)(8)兩式作出質心系中彈簧雙振子的簡諧運動與兩個圓周運動的對應投影圖像如圖2，若平移兩圓使圓心重合，則所得圖像與雙星系統的軌跡相同．因此將質心系中彈簧雙振子對應的兩個圓周運動稱為等效雙星．