對(duì)一類圓周運(yùn)動(dòng)的靜摩擦力分析

蔣 敏 皮 軍 徐繼龍

(西南大學(xué)附屬中學(xué)校，重慶 400700)

相互接觸的兩物體有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)又保持相對(duì)靜止，在它們接觸面上有阻礙相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的靜摩擦力產(chǎn)生.靜摩擦力的大小與方向往往與物體所受的其他力及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，這使得對(duì)靜摩擦力的分析有一定難度.靜摩擦力的常見(jiàn)分析方法有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)判斷法和解析法.

當(dāng)物體隨圓盤在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)圓盤運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)為遠(yuǎn)離圓心，可以確定靜摩擦力的方向指向圓心.[1]當(dāng)物體隨曲面在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往受重力、支持力和靜摩擦力作用，物體在不同的位置半徑不同導(dǎo)致需要的向心力不同，再加上曲面傾角的變化使彈力方向相應(yīng)變化，使得這類問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性.對(duì)于這類較復(fù)雜的情況，很難通過(guò)定性的分析得出結(jié)果，往往需要在靜摩擦力的兩個(gè)可能的方向中，假定靜摩擦力沿其中一個(gè)方向，數(shù)值為f，然后根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及受力情況建立平衡方程或動(dòng)力學(xué)方程求解，最后根據(jù)解出的表達(dá)式進(jìn)行討論.[2]

1 物體隨冪函數(shù)旋轉(zhuǎn)曲面的運(yùn)動(dòng)

物塊隨曲面在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的靜摩擦力與曲面的形狀有關(guān)，下面分析物體隨以冪函數(shù)旋轉(zhuǎn)曲面為內(nèi)表面的容器做圓周運(yùn)動(dòng)所受靜摩擦力情況.

如圖1所示，一容器固定在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，建立如圖所示坐標(biāo)系，容器內(nèi)表面在第一象限的關(guān)系式為y=kxn(k>0，n>0)，轉(zhuǎn)臺(tái)與容器繞豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng).小物塊A隨容器轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)器壁靜止.

圖1

由于容器的形狀與參數(shù)k和n的值有關(guān)，取不同k與n的值情況并不相同，定性分析比較困難，所以用解析法進(jìn)行討論.對(duì)小物塊A進(jìn)行受力分析如圖2所示，小物塊受重力mg，彈力N，沿容器壁切線向下的摩擦力f.

圖2

水平方向合力提供向心力，豎直方向受力平衡，有

Nsinθ+fcosθ=mω2x.

(1)

Ncosθ=mg+fsinθ.

(2)

式中θ為物塊與容器接觸處的切線與水平方向的夾角.

由(1)(2)兩式解得

f=m(ω2xcosθ-gsinθ).

(3)

由于

(4)

所以

將sinθ與cosθ代入(3)式，有

(5)

當(dāng)n>2時(shí)，由于摩擦力表達(dá)式較復(fù)雜，用圖像進(jìn)行分析.取m=1 kg，k=1，ω=4 rad/s，分別取n=2.5、3、3.5、4，以f為縱坐標(biāo)，x為橫坐標(biāo)，作出f-x圖像，如圖3所示.可以看出，當(dāng)n>2時(shí)，隨著x逐漸增大，摩擦力先沿切線向內(nèi)增加再減小為0，然后再沿切線向外逐漸增大.

圖3

當(dāng)n<2時(shí)，同樣用圖像進(jìn)行分析.取m=1 kg，k=1，ω=4 rad/s，分別取n=1.5、1、0.5，以f為縱坐標(biāo)，x為橫坐標(biāo)，作出f-x圖像，如圖4所示.可以看出，當(dāng)n<2時(shí)，x較小時(shí)摩擦力沿切線向外，x較大時(shí)摩擦力沿切線向內(nèi)，中間有個(gè)位置摩擦力恰好為0.其中n=1.5時(shí)，隨著x逐漸增大，摩擦力沿切線向外先增加再減小為0，然后再沿切線向內(nèi)逐漸增大；n=1時(shí)，f與x為一次函數(shù)關(guān)系；n=0.5時(shí)，隨著x逐漸增大，摩擦力沿切線向外先逐漸減小為0，然后再沿切線向內(nèi)逐漸增大.

圖4

圖5

(A) 可能兩球受摩擦力都沿桿向上.

(B) 可能A受摩擦力沿桿向上，B受摩擦力沿桿向下.

(C) 可能A受摩擦力沿桿向下，B受摩擦力沿桿向上.

(D) 若以更大的角速度繞y軸旋轉(zhuǎn)，A、B受到的摩擦力可能都減小.

2 物體隨球形內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)

下面以一個(gè)題目為例分析物體在球形內(nèi)表面上隨球面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力的情況.

例2.如圖6所示，半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)繞過(guò)容器球心O的豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng).小物塊A、B隨容器轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)器壁靜止，A、B和球心O點(diǎn)連線與豎直方向的夾角分別為α和β，α>β，則

圖6

(A) A、B受到的摩擦力可能同時(shí)為0.

(B) 若A不受摩擦力，則B受沿容器壁向上的摩擦力.

(C) A、B受到的摩擦力可能都沿容器壁向上.

(D) A、B受到的摩擦力可能都沿容器壁向下.

2.1 定性分析

該題的重點(diǎn)是分析物塊在容器內(nèi)不同位置所受摩擦力方向.當(dāng)物塊和球心連線與豎直方向的夾角增大時(shí)，物塊與球面接觸面傾角增大，物塊的下滑趨勢(shì)更明顯，同時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)半徑增大，在角速度一定時(shí)所需向心力增大，物塊被甩出去的趨勢(shì)更明顯，無(wú)法準(zhǔn)確判斷相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向.再對(duì)特殊位置進(jìn)行分析：當(dāng)物塊和球心連線與豎直方向夾角為90°時(shí)，靜摩擦力豎直向上，與重力等大反向；當(dāng)物塊和球心連線與豎直方向夾角接近0°時(shí)，支持力幾乎豎直向上，只能由靜摩擦力的水平分量提供向心力，此時(shí)靜摩擦力沿容器壁向內(nèi).于是可以猜想：夾角較大時(shí)摩擦力沿容器壁向上，夾角較小時(shí)摩擦力沿容器壁向內(nèi)，有一個(gè)臨界角度使摩擦力恰好為0.根據(jù)以上分析，(A)選項(xiàng)錯(cuò)誤；若α正好為臨界角度，則A不受摩擦力，B受沿容器壁向下的摩擦力，(B)選項(xiàng)錯(cuò)誤；若臨界角度小于β，則A、B受到的摩擦力都沿容器壁向上，(C)選項(xiàng)正確；若臨界角度大于α，則A、B受到的摩擦力都沿容器壁向下，(D)選項(xiàng)正確.所以選(C)(D).

定性的分析雖然選出了答案，但對(duì)摩擦力隨角度、角速度的具體變化規(guī)律并不清晰，下面對(duì)這種圓周運(yùn)動(dòng)的摩擦力進(jìn)行定量分析.

2.2 定量分析

小物塊的受力分析如圖7所示，小物塊受重力mg、彈力N、沿容器壁向下的摩擦力f.小物塊隨著半徑為R的球形容器在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，水平方向合力提供向心力，豎直方向受力平衡，有

圖7

Nsinθ+fcosθ=mω2Rsinθ.

(6)

Ncosθ=mg+fsinθ.

(7)

式中θ為小物塊和球心連線與豎直方向夾角.

由(6)(7)兩式解得

f=msinθ(ω2Rcosθ-g).

(8)

討論：

② 當(dāng)0<θ<θ0時(shí)，f>0，摩擦力沿切線向內(nèi).相同的位置，角速度越大，摩擦力越大.

3 教學(xué)啟示

第二，命題應(yīng)該充分考慮中學(xué)生的知識(shí)背景，設(shè)置相應(yīng)難度的題目.教師應(yīng)該根據(jù)題設(shè)條件看能否運(yùn)用中學(xué)階段的知識(shí)進(jìn)行解答，看看是否需要補(bǔ)充條件.如例2通過(guò)巧妙的選項(xiàng)設(shè)置，學(xué)生可以通過(guò)定性分析或特殊值計(jì)算進(jìn)行判斷，符合中學(xué)生的能力水平.

第三，教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些定性分析的問(wèn)題進(jìn)行定量討論.引導(dǎo)學(xué)生分析題目深層次的物理過(guò)程，可以讓學(xué)生知其然更知其所以然，這樣才能滿足不同學(xué)生的需求.通過(guò)定量討論，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密思考的物理思維.