連續流體沖擊力問題的再思考

陳 蘭

(江蘇省鹽城市鹽都區教師發展中心，江蘇 鹽城 224006)

求連續流體沖擊不同沖擊面的沖擊力的兩個典型問題時，用兩種常見方法得到的結果不一樣，其原因是什么？一直以來成了中學物理教學中的一個謎.因此，有必要對此問題進一步探討和反思，以期消除困惑，達成共識.

1 兩個典型問題

例1.如圖1所示，水平粗管道的兩端與大氣相通，在粗管道中插一根兩端開口的“L”形的細彎管，細彎管底部開口處的橫截面積為S，當粗管道中的水以速度v勻速流動時，求細彎管中的水柱高h.

圖1

例2.用高壓水槍噴射出的強力水柱沖擊煤層的采煤示意圖，如圖2所示.設強力水柱沖擊煤層的沖擊面面積為S，水流速度為v、密度為ρ.水柱垂直射到煤層表面后，垂直于煤層的速度變為0，求強力水柱對煤層的平均沖擊力.

圖2

點評：例1和例2是兩個不同物理情境下的典型問題，從沖擊面上的受力角度看，例2中求強力水柱對煤層產生的沖擊力與例1粗管道中流體對細彎管下方開口處液片的沖擊力，其本質都是運動的流體對沖擊面的沖擊力.即兩個問題的共性：都要求解連續流體對沖擊面的沖擊力.但是，兩種常見方法采用不同的物理模型，求得的結果卻相差一半，原因何在呢？

2 兩種常見方法的結果不同

方法1：應用動量定理求沖擊力.

兩例中沖擊面的面積均為S，在極短時間Δt內，到達沖擊面的流體微元質量為Δm，則

Δm=ρvΔtS.

(1)

設流體微元與沖擊面之間的沖擊力大小為F，沖擊后流體微元的速度為0，則對流體微元由動量定理得

FΔt=Δmv.

(2)

由(1)(2)式得

F=ρSv2.

(3)

方法2：應用伯努利原理求沖擊力.

設大氣壓為p0，兩例中沖擊面S處的壓強為p，沖擊面處的流速為0，根據伯努利方程有

(4)

而流體微元對沖擊面的沖擊力(不包括大氣壓力)為

F=(p-p0)S.

(5)

由(4)(5)式得

(6)

顯然，兩種常見方法得到的結果(3)式和(6)式相差一半.

例1中沖擊面的面積很小，求其所受沖擊力時文獻[1]用的方法2，文獻[2]用構建連通器模型給出的新解的結果與方法2的結果相同；例2中沖擊面的面積較大，求其所受沖擊力時文獻[3][4]用方法1.因此，許多師生死記方法“沖擊面小時用伯努利原理，沖擊面大時用動量定理”，但不知道這樣選擇方法的道理是什么.

要搞清選擇方法的道理，除了理解伯努利原理及使用條件以外，還要弄清楚兩個典型問題中沖擊面處沖擊前流體微元的速度特點，在兩個典型問題對應的物理情境下正確應用物理模型和規律是關鍵.

3 伯努利原理的使用條件

圖3

4 兩個典型問題情境下兩種常見方法的反思

4.1 求解例1時選擇方法的理由

例1中通過細彎管底部開口處液片的流管，如圖4所示.由于細彎管底部開口處液片的面積很小，所以是細流管.這保證了同一截面上各點的壓強、流速具有同一個值(或近似值)，可用一個點(這里用駐點)的壓強、速度代替該點所在的微小截面上各點的壓強、速度，滿足了伯努利原理的使用條件.這就是例1求解中選用方法2(應用伯努利原理)的理由所在.

圖4

另外，若互換例1中的已知條件和求解的問題，即已知細彎管中的液柱高度，求粗管道中流體的流速，其原理與早期用來測量液體流速的比托管[5]原理類似.因此，例1用方法2(用伯努利原理)求解的正確性毋庸置疑.

例1為何不用方法1(動量定理)的理由分析如下.

如圖4所示，在極短時間Δt內，細流管截面a2和a2′(截面積為S)之間的流體微元全部到達細彎管開口的液片處，以速度v′沖擊細彎管開口處的液片后速度變為0.則由動量定理得

FΔt=Δmv′-0.

(7)

根據連續性原理，極短時間Δt內通過截面a1或通過a2截面的流體微元的質量相等，即

Δm=ρv′ΔtS=ρvΔtSa.

(8)

細流管截面a1處的流速為v，并設該截面面積為Sa，由于沖擊面附近的截面面積增大，即Sa

因此，由(7)(8)式可得沖擊力為

F=ρSv′2=ρSav′v<ρSv2.

(9)

(9)式表明：例1用常見方法1(動量定理)求解時，忽略沖擊面面積的增大導致的流速變化而列出的(1)式和(2)式，最終導致結果偏大.但(9)式中v′和Sa未知，無法得出需要的結果.這就是常見方法1(動量定理)求解例1時出錯的根源，也是求解例1時不選擇方法1(動量定理)的道理.

4.2 例2的情境下對兩種常見方法的反思

例2中，從高壓水槍出水口出來的水柱表面形成的流管，如圖5所示.由于高壓水槍的出水口和水流沖擊煤層的沖擊面均不是很小，即不是細流管，也就無法保證同一截面上各點的壓強、流速具有同一個值(或近似值).這樣就不能用一個點(駐點)的壓強、速度代替沖擊面上所有點的壓強、速度，即不滿足伯努利原理的適用條件.這就是例2不用方法2(伯努利原理)的原因.

圖5

綜上所述，筆者的結論是：常見方法1、2均不能正確地計算例2中的平均沖擊力.若要估算例2中的平均沖力大小，用方法2比方法1更好.