大類招生背景下采礦工程專業(yè)彈性力學教學改革探索

于慶磊，李連崇，魏晨慧，張鵬海，沈祁萌

(東北大學 資源與土木工程學院，沈陽 110819)

采礦工程的專業(yè)基礎是力學，在采礦工程專業(yè)培養(yǎng)方案中，彈性力學是采礦工程重要的專業(yè)基礎課。采礦工程專業(yè)的彈性力學課程，以線彈性力學的基礎理論為主，擴展至彈性力學理論在巖石力學中的基本應用，側重于巖石力學的固體力學基礎，為采礦工程專業(yè)巖石力學相關的課程提供理論基礎。培養(yǎng)學生掌握彈性力學的基本概念、基本理論、基本方法和求解力學問題的思路方法是本門課程學習的主要目的。該課程內容的理論性極強，又有一定工程應用背景。在理論上，它的基本概念和理論內容抽象，公式復雜，通常需要大量的運用數學知識，數學是彈性力學的重要支柱；在應用上，彈性力學主要分析各種工程結構和材料受力之后的變形情況，需要學生對工程實踐有一定的感性認識，能夠將理論分析與工程實際聯系起來。

一 彈性力學教學中存在的問題

多數礦業(yè)類院校的采礦工程專業(yè)都將彈性力學課程設為必修課，但該課程在礦業(yè)類院校的教學現狀卻并不樂觀，存在如下問題。

（一）受大類招生影響，采礦工程專業(yè)學生基礎不好

雖然采礦工程專業(yè)講授的課程內容多以線彈性力學的基礎理論為主，擴展至彈性力學理論在巖石力學中應用等，但受大類招生的影響，專業(yè)分流后，轉入采礦工程專業(yè)的學生數學基礎相對較差，約一半學生高等數學不及格，而彈性力學涉及的應力張量、應變張量等概念比較抽象，導致學生對張量描述理解困難，學習效果很不理想。

（二）學生被動學習

多數學生在專業(yè)分流時被動轉入采礦工程專業(yè)，對專業(yè)的認可度低，存在厭學情緒，缺乏學習的主動性。另外，隨著現代教學手段的運用，彈性力學的教學也多采用多媒體教學，但多媒體教學難以演繹彈性力學理論公式的推導過程，常常只將結果顯示出來，導致大多數學生跟不上學習節(jié)奏，很難清晰地理解公式來龍去脈，同時多媒體教學速度快，學生們在課堂上沒有時間回味思考所學內容，造成被動接受的局面，他們在課堂上主動思考能力被削弱，隨之而來的是迷惑和厭倦，甚至放棄了課堂學習，導致課堂師生互動性較差。

（三）彈性理論教學與實際問題脫節(jié)

以往教學中僅通過公式推演方式，雖然讓學生理解了課堂講述的內容，但難以讓學生充分理解彈性力學與巖石力學中“力學模型”的真正物理意義，理論認識與采礦工程實際問題脫節(jié)，在分析實際力學問題時，常常無從下手，不利于培養(yǎng)學生的實踐能力。

彈性力學這門課程的特點使得大多數采礦工程專業(yè)的學生感覺內容枯燥、學習強度大，相當一部分學生上課跟不上進度，課后不能獨立完成作業(yè)。總體上，礦業(yè)類院校的彈性力學教學效果很不理想，亟需探索新的教學模式和新的教學方法，提升課堂師生互動性、消除學生厭學情緒和畏難心理，改善教學效果。

二 基于PBL 的彈性力學教學改革

PBL 教學法(Problem-Based Learning)是“基于問題式學習”或“問題導向學習”的自主學習模式，最初應用于醫(yī)學教育，現已成為國際上較為流行的教學方法，并逐漸被國內更多的院校接受和采用[1]。雖然彈性力學課程以理論講授為主，具有概念抽象，公式繁多的特點。但從強化對彈性體內部應力、應變描述等概念和理論的理解角度，采用PBL 教學法把彈性力學相關理論設計成啟發(fā)性問題，利用問題啟發(fā)的形象思維代替純理論的抽象思維，能使學生能夠更好地記憶、理解、運用與課程內容相關的知識。

采用基于PBL 教學模式后，依據教學大綱內容對現有教學方法教學設計進行修改，精心設計難度適宜、層次鮮明且生動有趣的問題，規(guī)劃基于PBL 教學方法實施過程，通過設計不同的問題，學生主動思考和討論，將學生置于彈性力學教學的中心位置，實現師生之間的課堂互動和深度討論，使傳統理論課程不再枯燥，調動學生學習積極性，讓學生能通過深入思考，理解基本概念和原理，如圖1 所示。

圖1 基于PBL 教學模式的采礦工程專業(yè)彈性力學教學改革

（一）從基本概念角度設計啟發(fā)性問題

彈性力學的教材很多，不同的教材在呈現彈性力學理論時，編寫初衷和內容脈絡并不完全一樣。如徐芝綸[2]編寫的《彈性力學》教材，從平面問題的基本理論切入，逐步過渡到空間問題的基本理論。而楊桂通[3]和程昌鈞等[4]編寫的彈性力學教材則從更一般情況切入，先講授彈性體內的應力分析和應變分析，然后將空間問題的基本理論退化到平面問題的相關理論。后一種呈現方式中，一點的應力狀態(tài)和應變狀態(tài)都是張量描述，但如果學生深刻理解了張量描述，對學習彈性力學相關知識點很有幫助。因此，張量是彈性力學中一個重要概念，但一般工科專業(yè)的數學課程中并不講授張量相關理論，需要在應力分析部分給學生講清楚張量的概念。

在講授應力張量時，可以設計啟發(fā)性問題引導學生思考，先讓學生深刻理解一點應力狀態(tài)的特點，然后結合應力柯西定理進行理論上的分析驗證。舉例如一個立方體形狀的彈性體，表面受均布面力的作用且兩兩垂直的方向上面力大小不等。甲乙兩名同學進行該彈性體內應力分析，兩名同學都以自己的視線方向為一個坐標軸，建立了兩個不同的坐標系，這對該彈性體內應力分析結果是否有影響，啟發(fā)學生的形象思維，如圖2 所示。根據物體受力的客觀存在，甲乙兩名同學描述的都是同一物體受力，雖然[σ]和[σ＇]的形式可能不一樣，但本質上一樣的。因此學生很容易理解彈性體內一點的應力狀態(tài)跟坐標系無關，建立不同坐標系不會影響應力分析的實質結果，即一點應力狀態(tài)(應力張量)具有不變性。

圖2 理解應力張量的啟發(fā)性問題示例

通過物理實例，學生接受了應力張量的性質之后，可以結合柯西定理，通過理論分析進一步強化應力張量的內涵。根據柯西定理，過一點任意截面上應力矢量可由該點的應力張量線性表示。如果過該點選取三個正交截面，則三個正交截面法線組成一個新的坐標系，則用該點應力張量可以表示另一坐標系應力狀態(tài)，也即應力張量可以進行坐標變換，反過來驗證設計的引導性問題。

關于主應力和主方向，可以設計如下的問題：既然應力張量滿足坐標變換，那么可以經過一系列變換后又回到初始狀態(tài)，在這個變換過程中要么先增大后減小，要么先減小后增大，則應力張量變換過程中存在極值，所在的坐標方位可能即是主方向。目的是讓學生深刻理解為什么會存在主應力和主方向。關于應變張量的內容，根據應力和應變的一一對應關系，也可以設計類似的問題。

（二）從巖石力學角度設計目標性問題

對采礦工程專業(yè)來說，彈性力學課程主要為巖石力學課程的學習提供理論基礎。因此可以從巖石力學角度設計目標性問題，讓學生思考應用彈性力學理論解決巖石力學問題。在講到應力張量坐標變換時，可以舉例巖石試件在單軸壓縮情況為什么多沿斜面破壞等。如巴西劈裂實驗測巖石抗拉強度，為什么計算公式中有π 的參與，引導學生思考如何得到巴西盤內的應力分布解析解，讓學生掌握彈性力學經典的布西涅斯克問題、疊加原理等理論的應用。通過強化彈性力學經典理論解和基本原理的應用，引導學生了解彈性力學為巖石力學等專業(yè)課程服務，讓學生更加重視彈性力學這門課程，增強學習興趣。

巴西劈裂實驗得到巖石抗拉強度計算公式(圖3)

圖3 巴西劈裂實驗示意圖

式中：σt為巖石抗拉強度；t 為試件厚度。

布西涅斯克問題描述的是半無限平面受集中力作用的平面問題(圖4)，其應力解

圖4 布西涅斯克問題

巴西盤劈裂實驗中抗拉強度的計算公式和布西涅斯克問題的解在形式上有相似性。巴西盤受一對集中力作用時應力分布可以看成是兩個受相向集中力作用并且力的作用線重合的布西涅斯克問題不斷移近，與圓孔周圍受力問題的疊加問題[5]，進而求得巴西盤內應力分布分析解。

（三）從工程實踐角度設計引導性問題

彈性力學是分析具體采礦工程中力學問題的有效工具。但對于初學者來說，彈性力學理論深奧，無法和具體的工程實踐聯系起來，學生無法通過教材了解其真正的應用價值。因此，在教學過程中，可以適當引入采礦工程實例，引導學生應用彈性力學的理論知識去分析采礦工程中力學問題，讓學生充分理解工程實際中“力學模型”的真正物理涵義，提高學習的主動性和積極性。增強學生對現場工程物理力學本質的認識，使彈性力學源于工程實踐、回歸工程實踐。

譬如，講到彈性力學經典的厚壁筒問題和圓孔附近的應力集中問題時，引入井下巷道開挖后圍巖發(fā)生的變形和應力分布問題。讓學生理解當厚壁筒的外半徑趨于無窮大時，厚壁筒問題類似采礦工程中巷道問題，但其位移解析解并不符合常識，引導學生理解彈性力學問題解的適用范圍，討論初應力影響，理解先開挖后加載(厚壁筒)與先加載后開挖(地下工程問題)的區(qū)別，如圖5所示。地下工程的開挖是在重力作用的場中進行開挖，應該忽略重力產生的初始位移，而彈性力學的厚壁筒問題是先有圓孔，再施加邊界條件，因此得到位移解跟載荷密切相關，呈現正相關性。

圖5 靜水壓力條件下圓孔周圍變形場

（四）在教學中引入可視化手段

彈性力學中應力、應變是很抽象的概念，難以形象的感知。為了激發(fā)學生學習興趣，引入了可視化手段到彈性力學的教學中。東北大學采礦工程專業(yè)的彈性力學課程，除了理論講授外，還設置有物理實驗和數值實驗環(huán)節(jié)。物理實驗中引入數字散斑、紅外熱像等可視化方法實現對應變的提取表征，數值實驗中通過數值光彈和云圖直觀顯示等手段實現應力、應變的可視化，并通過理論解和數值解的對比，增強學生對彈性力學問題的感性認識，消除厭倦情緒。圖6 和圖7 是采用數值光彈方法顯示的巴西盤內的應力分布和圓孔周圍的應力集中，通過可視化方法，加深學生對相關知識點的理解。

圖6 巴西盤應力分布數值光彈結果（拉為正）

圖7 圓孔周圍剪應力集中數值光彈結果

三 基于PBL 的彈性力學教學組織

在設計好PBL 模式的問題后，通過分析教學活動整體及基于PBL 模式的知識點之間的關系，進行PBL的教學活動組織。采用Blackboard 平臺，結合教學內容和周次安排，依次向學生推出PBL 模式的問題，讓學生以小組為單位討論，課堂提問和點評，了解學生在相關知識點所涉及的前修課程知識和學生個性差異等情況，在講解時更加突出講課的重點和難點。同時，改進教學課件，相應的為PBL 模式的知識點配置示意圖、動畫、過程原理圖。通過圖文并茂，調動學生感性思維，提升學生對彈性力學概念和原理的理解程度。

四 結束語

通過對彈性力學的基本原理和經典問題進行PBL教學模式改革，利用啟發(fā)型和引導型問題，并輔助可視化教學手段，讓學生在彈性力學的學習過程中從抽象思維轉變到形象思維、主動思考和討論，拓展學習思路，激發(fā)學生學習興趣，可以很大程度上提高教學效果。該方法是彈性力學課程教學模式的積極探索，可以在教學過程中逐步應用。形成彈性力學課程的PBL 教學模式和體系，除了滿足采礦工程專業(yè)本科生的教學需求外，同時可推廣到土木工程、公路、鐵路、隧道和水利等涉及巖石力學課程專業(yè)的本科生教學需求。