直線同步電動機磁懸浮系統非線性神經網絡自適應反步控制*

邢藝馨， 藍益鵬， 姜云風， 孫偉棟

(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

“旋轉伺服電機和滾珠絲杠”結構是精密數控機床最常用的傳動部件。其主要功能是將旋轉運動轉換為線性運動。該結構中包含的中間傳動鏈導致了系統具有較大的運動慣性，大量機械結構不可避免地導致大量機械結構摩擦和變形，進而引起功率損失并造成系統誤差的積累[1]。由于滾珠絲杠的存在，整個系統的線速度、加速度和定位精度降低，無法滿足數控機床高精度、高速度的加工要求。使用磁懸浮直線電機是解決這一問題的有效方法之一[2]。

在電勵磁直線同步電動機(EELSM)中可以實現進給平臺和靜止導軌之間的相對獨立[3-4]。系統的效率以及靈敏性均會受到導軌與機床平臺摩擦力的影響，采用EELSM數控機床運動平臺，可以消除摩擦對系統的影響。但在EELSM磁懸浮系統上會存在外界擾動等不確定性作用，難以對系統進行精確控制。因此，消除不確定因素對系統產生的影響，并設計出控制性能良好的控制器是實現系統高精度控制的關鍵[5-6]。

在許多實際系統中，對象的動力學方程是非線性的。自適應控制方法對于非線性系統來說具有較大的進步和發展。反步法是另一種應用較為廣泛和有效的非線性控制設計，對控制器進行設計，之后與Lyapunov函數結合，使整個系統實現穩定控制[7]。為了消除未知非線性動態引起的困難和挑戰，未知非線性擾動可以通過神經網絡和模糊系統在線逼近[8]。為了降低系統非線性的影響，可通過徑向基函數神經網絡(RBFNN)對系統的非線性部分進行逼近[9]。文獻[10]針對時滯未知、狀態不可測、存在外界干擾的不確定非線性系統，提出了一種基于神經網絡的自適應反步超扭滑模控制方案,保證了觀測器和跟蹤誤差快速收斂到原點附近。文獻[11]針對執行器故障參數和模式完全未知的分數階非線性系統進行自適應神經網絡反步控制設計。文獻[12-13]針對不確定多輸入多輸出非線性系統開發了具有狀態反饋情況的自適應神經網絡反步控制。

分析了EELSM磁懸浮平臺控制系統數學模型與狀態方程，采用非線性自適應控制對EELSM磁懸浮系統所具有的非線性以及不確定性擾動有較強的適應性。本文設計了一種基于徑向基函數神經網絡的自適應反步控制器(RBFNN-ABC)，在自適應反步控制中，對于未知的動力學問題，通過使用徑向基函數神經網絡(RBFNN)作為函數逼近器來解決。其中的外部干擾與不確定性擾動通過自適應反步算法來估計。系統的穩定性通過Lyapunov函數方法來證明。將所提出的基于神經網絡的自適應反步控制器(RBFNN-ABC)的仿真結果與經典比例積分(PI)控制器和自適應反步控制器(ABC)的仿真結果進行了比較。通過MATLAB仿真試驗結果證明，與經典PI控制器和ABC相比，所提出的RBFNN-ABC在處理參數不確定性和干擾方面具有更加良好的性能。

1 EELSM的結構與運行機理

圖1為EELSM磁懸浮進給平臺結構，整個系統包含多個機構。固定平臺主要由定子、光柵尺及導軌構成，運動平臺主要由動子及電渦流傳感器組成。

圖1 EELSM磁懸浮平臺結構圖

EELSM的平臺基座下是定子鐵心與勵磁繞組，運動平臺上為動子鐵心和電樞繞組，數控機床進給平臺與其動子固定連接驅動平臺運動。

平臺的懸浮由導軌和平臺之間的氣隙磁場產生的麥克斯韋力對動子鐵心的吸引力實現，若想使平臺穩定懸浮，可以改變勵磁電流的大小，使氣隙達到所需要的數值，與平臺的重力相持。EELSM的勵磁繞組可形成勵磁磁場，勵磁磁場和行波磁場產生電磁推力，平臺的水平運動是由電磁推力來推動的，推力大小則通過調節q軸電流來改變。

2 EELSM的數學模型

為了使模型更加簡化，做出如下假設條件[14-15]：

(1) 不計電機鐵心飽和；

(2) 對磁滯與渦流損耗不予計算；

(3) 電樞繞組中通入三相對稱電流，只考慮基波分量；

(4) 忽略齒槽效應的影響。

在d-q軸系下，電壓與磁鏈方程如下。

電壓方程為

(1)

式中：ud、uq分別為電樞繞組d軸、q軸的電壓分量；uf為磁極勵磁的電壓分量；ψd、ψq為電樞繞組d軸、q軸的磁鏈；ψf為勵磁磁極磁鏈分量;v為運動平臺的運動速度；id、iq分別為電樞繞組d軸、q軸的電流分量；if為磁極勵磁的電流分量；rf為磁極勵磁繞組的電阻；rs為電樞繞組的電阻。

磁鏈方程為

(2)

式中：Lmd、Lmq為d軸、q軸的主電感；Lσf為勵磁繞組的漏感；Lσ為電樞繞組的漏感。

勵磁磁場由勵磁繞組通入直流電流產生，其對動子鐵心有吸引力，采用id=0的矢量控制懸浮力計算式如下[16]:

(3)

垂直方向的運動方程：

(4)

式中：m為動子平臺的質量；fy為不確定性擾動；K為磁懸浮系數，K=5.659×10-6；δ為動子平臺實際的懸浮氣隙高度；g為重力加速度；Ld=Lσ+Lmd，Lσ不隨懸浮氣隙高度變化。

將電樞磁場對勵磁磁場產生的影響作為擾動處理。因此，垂直方向總擾動為

(5)

(6)

3 非線性RBFNN-ABC的設計

設計一種自適應控制方法在線估計系統中的未知參數，對于系統中的不確定性擾動，使用RBFNN作為函數逼近器進行逼近，并補償回控制器，以提升系統的性能。

3.1 構造虛擬控制變量和誤差變量

根據式(6)可得系統的狀態方程為

(7)

初始懸浮高度為δ0=0.003 m，根據反步方法構造新的誤差變量z1和z2:

z1=x1-δ*

(8)

z2=x2-α1-δ*

(9)

式中：δ*為懸浮高度的參考值，δ*=0.002 5 m；α1為虛擬控制變量。

反步控制設計第一步，定義Lyapunov函數為

(10)

對V1求微分可得：

(11)

將虛擬控制變量定義為

α1=-c1z1

(12)

式中：c1為虛擬控制變量系數，c1>0 。

由式(11)和式(12)可得：

(13)

反步控制設計的第二步，計算z2的導數為

(14)

α1的導數為

(15)

將式(15)代入式(14)中可得：

(16)

定義第二個Lyapunov函數為

(17)

對V2求微分可得：

(18)

控制律可以設計為

(19)

式中：c2為設計參數，c2>0。

將式(19)代入式(18)可得：

(20)

3.2 RBFNN原理

由于擾動f為未知量，利用RBFNN萬能逼近的特性，來逼近擾動f，將其作為函數逼近器來使用。圖2為RBFNN結構圖。

圖2 RBFNN結構

網絡算法為

(21)

式中:h為網絡的高斯基函數輸出；x為網絡的輸入；j為網絡隱含層第j個節點；bj為高斯核寬度。

有如下函數：

f=W*Th(x)+ε

(22)

式中：W*為網絡的理想權值；ε為網絡的逼近誤差，ε≤εN。

(23)

3.3 控制律與參數自適應律

采用RBFNN逼近擾動f，根據式(19)，此時的控制律為

(24)

式中：η>0 。

設計第三個李雅普諾夫函數為

(25)

式中：μ>0 。

對V3求微分可得：

(26)

取自適應律為

(27)

(28)

由此可得出，基于RBFNN下的該自適應反步控制律，整個閉環系統是穩定的。

4 仿真分析

圖3為EELSM控制系統的仿真框圖。

圖3 EELSM磁懸浮控制系統框圖

傳統的PI控制器用來調節系統中勵磁電流，懸浮氣隙高度通過所設計的非線性RBFNN-ABC控制。在仿真持續過程中，EELSM的仿真參數為,極對數p=3,dq軸電感Ld=Lq=0.018 74 H，電樞電阻rs=1.2 Ω，τ=0.048 m，m=10 kg,Lmd=Lmq=0.095 H，if=5.7 A，g=9.8 m/s2，rf=5 Ω。

c1、c2的變化會影響系統的恢復時間與響應速度。當c1、c2選取過小時，系統抗擾能力較差；選取過大時系統不穩定。μ對擾動起到魯棒控制的作用，η參數值不能選取過大，否則會引起系統抖振。選取PI控制器參數為P=100,I=1 500，選取非線性RBFNN-ABC的基本參數為c1=100,c2=100,μ=615,η=12。

4.1 EELSM起動性能分析

平臺初始氣隙高度3 mm，起動后，高度減小到目標高度2.5 mm。圖4為空載起動時不同控制器氣隙高度的響應曲線。當控制器為PI控制時，約0.1 s可以到達目標氣隙高度；采用ABC控制時，約0.06 s到達2.5 mm；采用RBFNN-ABC控制時，達到穩定的時間約0.03 s。觀察圖4中可得三種控制方法均無超調。從仿真結果可以看出，RBFNN-ABC控制到達目標氣隙高度時間最短，起動性能比另外兩種控制要更加具有優勢。

圖4 起動時磁懸浮高度響應曲線

4.2 EELSM抗干擾能力分析

系統穩定運行后，在0.3 s時，加入額定負載擾動的20%～30%，并在0.6 s移除。圖5為不同控制器在加入干擾后的氣隙高度響應曲線。PI控制系統氣隙高度動態降落的距離大約0.058 mm,由下降高度恢復至目標高度2.5 mm耗時大約0.192 s。ABC控制系統中，突加階躍負載擾動后，高度降落大約0.025 mm，恢復到目標高度耗時約為0.079 s。RBFNN-ABC控制系統中，加入階躍負載擾動后，高度降落約為0.011 mm,恢復時間約為0.021 s。突加負載擾動后，RBFNN-ABC系統所受影響最小，與PI和ABC系統相比高度下降分別減少了56.9%和81.1%，恢復目標高度的速度分別提高了58.9%和89.1%。由此可以看出RBFNN-ABC控制系統的抗干擾能力明顯強于PI及ABC系統。

圖5 加入負載擾動氣隙高度響應曲線

圖6為加入負載擾動后的勵磁電流響應曲線。由圖6中可以看出RBFNN-ABC控制的勵磁電流的恢復時間明顯優于PI控制以及ABC控制，恢復時間比PI控制提高了85.6%，比ABC控制提高了73.4%。由此可見RBFNN-ABC的抗擾能力是非常強大的。

圖6 突加負載擾動勵磁電流響應曲線

4.3 EELSM端部效應擾動的抑制能力分析

系統穩定運行后，0.3 s時，加入f=15sin(20t)的端部效應擾動。圖7為加入端部效應擾動后的氣隙高度響應曲線。由圖7可以看出，PI控制系統在加入端部擾動后曲線波動較劇烈，有較大的超調量，抗擾能力弱。ABC控制系統中，波動程度有明顯增強，與PI控制系統相比，ABC控制系統的抗擾能力較強。RBFNN-ABC控制系統中，系統幾乎沒有波動，明顯看出此系統的抗擾能力比前兩種系統要優越。

圖7 正弦擾動下氣隙高度響應曲線

5 結 語

為了提高數控機床進給平臺EELSM磁懸浮系統的性能，提出了一種非線性RBFNN-ABC方法，通過研究得出以下的結論：

(1) 對EELSM磁懸浮系統的結構以及運行機理進行了分析，采用id=0的矢量控制對模型進行簡化。將電樞磁場對勵磁磁場產生的影響作為不確定性擾動處理，建立EELSM磁懸浮系統的數學模型，并推導出磁懸浮力的解析表達式。

(2) 提出非線性RBFNN-ABC方法，構造誤差變量及虛擬控制量，并將輸出誤差限制在比較小的范圍之中。設計了ABC，將RBFNN當作函數逼近器對不確定性擾動進行逼近，降低了不確定擾動對系統的影響，使系統趨于穩定。

(3) 構造Lyapunov函數對系統的穩定性進行了證明，充分證明了系統可漸近收斂至邊界層內。仿真結果證明了非線性RBFNN-ABC控制規律的有效性。