基于有限存儲(chǔ)空間的分布式傳感器融合估計(jì)器

韓旭，王元鑫，程顯超，王小飛

(1.解放軍91001部隊(duì)，北京 100036；2.海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，青島 266041)

由于無線網(wǎng)絡(luò)化多傳感器融合估計(jì)在航空航天、智能交通、工業(yè)生產(chǎn)自動(dòng)控制、無人運(yùn)載體導(dǎo)航及環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域的重要應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對其產(chǎn)生了廣泛的關(guān)注和研究[1-5]。然而網(wǎng)絡(luò)化融合估計(jì)在工程背景中受多因素影響不可避免地產(chǎn)生模型的不確定性、隨機(jī)傳輸時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失問題，使得融合估計(jì)性能受到嚴(yán)重?fù)p害。針對存有時(shí)延和丟包問題的狀態(tài)估計(jì)器設(shè)計(jì)問題，學(xué)術(shù)界已經(jīng)探究了一些理論成果。Sun 和Ma[6-7]利用將狀態(tài)矩陣建立增廣矩陣的思路，將隨機(jī)時(shí)延和丟包系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成無時(shí)延系統(tǒng)，并利用射影思想推導(dǎo)出最優(yōu)估計(jì)器，但是增廣方法導(dǎo)致高維矩陣的求逆計(jì)算，使得計(jì)算負(fù)擔(dān)成指數(shù)增加。文獻(xiàn)[8]討論集中式融合估計(jì)時(shí)，對存在傳感器增益退化甚至無效、模型不確定性、觀測數(shù)據(jù)時(shí)延甚至丟包情況下如何進(jìn)行融合估計(jì)問題進(jìn)行考慮，并提出2 種不同的魯棒融合估計(jì)算法。文獻(xiàn)[9]同時(shí)考慮模型不確定性、傳感器量測衰減、隨機(jī)傳輸時(shí)間延遲和丟包，提出一種集中式框架下的融合估計(jì)器，該估計(jì)器在設(shè)計(jì)新息模型時(shí)利用了當(dāng)前時(shí)刻之前估計(jì)值的加權(quán)值，表明該方法得到的估計(jì)結(jié)果要比經(jīng)典Kalman 方法精確度更高。但是該估計(jì)器需要處理不同傳感器不同時(shí)刻的誤差交聯(lián)，當(dāng)傳感器數(shù)量和時(shí)延較大時(shí)，實(shí)時(shí)性難以保證。文獻(xiàn)[10]提出了一種具有傳感器增益退化、隨機(jī)傳輸時(shí)間延遲和數(shù)據(jù)包丟失的分布式融合估計(jì)器，該估計(jì)器雖精度上比集中式結(jié)構(gòu)稍有損失，但計(jì)算量得到了有效降低。文獻(xiàn)[7-9]在每一個(gè)采樣周期內(nèi)，只保留到達(dá)估計(jì)中心的多個(gè)數(shù)據(jù)包中的一個(gè)，進(jìn)行估計(jì)計(jì)算，難免造成了信息損失，而文獻(xiàn)[11]在集中式框架下，在遠(yuǎn)程處理中心為所有傳感器設(shè)置有限長度的存儲(chǔ)空間，用來存儲(chǔ)延遲到達(dá)的數(shù)據(jù)包，將多隨機(jī)觀測時(shí)延和丟包問題轉(zhuǎn)化為多丟包問題，并設(shè)計(jì)常增益估計(jì)器避免了運(yùn)算量過大的高維矩陣的求逆計(jì)算。然而當(dāng)模型中存在非高斯非白噪聲不確定干擾時(shí)，該估計(jì)器設(shè)計(jì)方法不再適用；同時(shí)，雖然集中式的估計(jì)結(jié)構(gòu)能夠使得傳感器信息損失最小，但是所有傳感器均需要同步執(zhí)行相同步數(shù)的重復(fù)遞推計(jì)算，且集中式結(jié)構(gòu)具有容錯(cuò)率低、可靠性差、工程上難以實(shí)現(xiàn)等不利問題。為克服文獻(xiàn)[11]所提方法的不足，考慮在分布式框架下，研究具有模型不確定性、隨機(jī)時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化融合估計(jì)問題。模型的不確定性用系統(tǒng)狀態(tài)矩陣受到非高斯非白噪聲不確定性擾動(dòng)來描述，受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā)本文在遠(yuǎn)程處理中心設(shè)置多個(gè)不同長度的存儲(chǔ)空間用來存儲(chǔ)各個(gè)傳感器延遲到達(dá)的數(shù)據(jù)包，每一采樣周期所有延遲到達(dá)的測量數(shù)據(jù)包按照其時(shí)間戳順序被存儲(chǔ)在相應(yīng)位置，用“到達(dá)變量”來刻畫數(shù)據(jù)包的到達(dá)情況。與文獻(xiàn)[9，11]所設(shè)計(jì)估計(jì)器的方式不同，本文首先為每個(gè)傳感器分別設(shè)計(jì)局部常增益估計(jì)器，將每個(gè)傳感器對應(yīng)的測量值“到達(dá)變量”加入新息的設(shè)計(jì)中，結(jié)合系統(tǒng)矩陣中的非高斯非白噪聲，設(shè)計(jì)了一種計(jì)算負(fù)擔(dān)小的常增益狀態(tài)估計(jì)器，根據(jù)最小方差原則推導(dǎo)出可離線計(jì)算的最優(yōu)局部估計(jì)常增益表達(dá)式。考慮到局部估計(jì)誤差交叉協(xié)方差受各存儲(chǔ)空間長度不同的影響變得計(jì)算困難，給出一種基于分布式協(xié)方差交叉（covariance intersection,CI）的分布式加權(quán)估計(jì)方法[12-13]的融合估計(jì)器，并推導(dǎo)出使得估計(jì)器有界的充分條件。結(jié)果表明：可通過調(diào)節(jié)各個(gè)傳感器的存儲(chǔ)空間長度來協(xié)調(diào)融合估計(jì)精度和計(jì)算量之間的關(guān)系，具有較強(qiáng)的工程意義。

1 問題描述與分析

考慮如下離散不確定線性隨機(jī)系統(tǒng)：

式中：x k∈Rn為 系統(tǒng)狀態(tài)，狀態(tài)初值x0為白噪聲，相應(yīng) 的 均 值 為xˉ0，方 差 為P0；A和A?為 確 定 性 矩 陣；w k∈Rn為系統(tǒng)噪聲，用白噪聲描述，統(tǒng)計(jì)特性均值為0，噪聲協(xié)方差矩陣為W。gk為乘性噪聲，且其統(tǒng)計(jì)特性為

假設(shè)采用N個(gè)傳感器對某系統(tǒng)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)化實(shí)時(shí)狀態(tài)觀測，且第i個(gè)傳感器的觀測方程考慮為

不失一般性，對系統(tǒng)做以下假設(shè)：

假設(shè)1對于任意給定的i、j和k，x0、gk、w k和兩兩互不相關(guān)。

如圖1 所示，k時(shí)刻第i個(gè)傳感器將測量值封裝于數(shù)據(jù)包中，數(shù)據(jù)包經(jīng)無線信道向遠(yuǎn)程處理中心傳輸。由于網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定或帶寬資源不足等問題，數(shù)據(jù)包在到達(dá)處理中心前會(huì)發(fā)生時(shí)間延遲和丟包，而其隨機(jī)性導(dǎo)致處理中心可能會(huì)出現(xiàn)未接收到數(shù)據(jù)包或同一采樣周期接收到多個(gè)不同時(shí)刻的數(shù)據(jù)包。在處理中心設(shè)置N個(gè)不同長度的存儲(chǔ)空間用來存儲(chǔ)N個(gè)傳感器發(fā)出的數(shù)據(jù)，每個(gè)存儲(chǔ)空間的長度是有所限制的。第i個(gè)存儲(chǔ)空間將到達(dá)處理中心的第i個(gè)傳感器發(fā)出的數(shù)據(jù)包依照其時(shí)間戳標(biāo)定順序進(jìn)行儲(chǔ)存。

圖1 網(wǎng)絡(luò)化分布式多傳感器融合估計(jì)系統(tǒng)架構(gòu)Fig.1 Architecture of networked distributed multi-sensor fusion estimation system

假設(shè)儲(chǔ)存空間是無限長度的，數(shù)據(jù)包儲(chǔ)存過程如圖2 所示。

圖2 無限長度存儲(chǔ)空間存儲(chǔ)過程Fig.2 Stored procedure of space with unlimited length

k時(shí)刻為當(dāng)前時(shí)刻，k之前各時(shí)刻對應(yīng)的測量值被存儲(chǔ)的過程可用“到達(dá)變量”描 述：=1表示測量值在k時(shí)刻或k時(shí)刻之前達(dá)到處理中心并被存儲(chǔ)；反之，=0表 示在k時(shí)刻或k時(shí)刻之前未到達(dá)處理中心。若在某一采樣周期未到達(dá)處理中心，則將第i個(gè)存儲(chǔ)空間中與相對應(yīng)的存儲(chǔ)值置為0，此時(shí)第i個(gè)存儲(chǔ)空間中的測量值可表示為

式中：t≥0，∈[0,1]用 以表示h個(gè)采樣周期前的數(shù)據(jù)包到達(dá)處理中心的概率，可得

記第i個(gè)傳感器對應(yīng)的最大時(shí)延值為，則可得

由存儲(chǔ)過程描述可知，在k時(shí)刻已經(jīng)到達(dá)處理中心的數(shù)據(jù)包，按照時(shí)間戳恢復(fù)了被傳輸前的正常順序，未到達(dá)處理中心的數(shù)據(jù)包則視為在k時(shí)刻暫時(shí)丟失。

基于式（1）～式（3）設(shè)計(jì)局部估計(jì)器。文獻(xiàn)[11]利用標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波方法，要求系統(tǒng)矩陣是確定的，且系統(tǒng)噪聲服從白噪聲統(tǒng)計(jì)特性。所考慮系統(tǒng)矩陣中存在乘性隨機(jī)噪聲gk，使得每一時(shí)刻系統(tǒng)矩陣不再是確定的，并且未假設(shè)gk是白噪聲，所以文獻(xiàn)[11]估計(jì)器設(shè)計(jì)方法不再適用。與文獻(xiàn)[9]不同的是，在設(shè)計(jì)估計(jì)新息時(shí)利用到達(dá)變量。綜上，采用如下估計(jì)器形式：

從節(jié)省儲(chǔ)存資源和提高實(shí)時(shí)性角度出發(fā)，設(shè)定第i個(gè)存儲(chǔ)空間長度有限且長度為M i。如圖3 所示，存儲(chǔ)空間只存儲(chǔ)k時(shí)刻之前（包含k時(shí)刻）的M i個(gè)測量值，默認(rèn)時(shí)間戳為k?M i時(shí)刻之前（不包括k?Mi時(shí)刻）的數(shù)據(jù)包到達(dá)估計(jì)中心后被自動(dòng)剔除，即視為丟包。當(dāng)k更新時(shí)，新的M i個(gè)存儲(chǔ)值會(huì)順次逐一覆蓋掉原來的存儲(chǔ)值。

圖3 有限長度存儲(chǔ)空間存儲(chǔ)過程Fig.3 Stored procedure of space with limited length

通過定理1 給出存儲(chǔ)空間長度為M i時(shí)局部估計(jì)器遞推初值的調(diào)整方法。

定理 1基于長度為M i的 存儲(chǔ)空間，對任意的t≥1和k≥t+Mi，有

至此，要解決的問題是：

2 局部估計(jì)常增益設(shè)計(jì)

設(shè)在k時(shí)刻局部估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣為局部估計(jì)誤差交叉協(xié)方差為文獻(xiàn)[14-16]中最優(yōu)矩陣加權(quán)融合估計(jì)方法需要得到，然而由式（14）和式（16）可知，的計(jì)算包含重復(fù)遞推計(jì)算，且遞推步數(shù)與各個(gè)存儲(chǔ)空間的長度有關(guān)，因此，獲取是極復(fù)雜的，并且文獻(xiàn)[14-16]所用矩陣加權(quán)方法需要進(jìn)行高維矩陣的求逆計(jì)算，計(jì)算負(fù)擔(dān)隨著傳感器數(shù)量的增多成指數(shù)增長。為避免計(jì)算和高維矩陣的求逆計(jì)算，選取文獻(xiàn)[12-13]所用的CI 矩陣分布式加權(quán)方法得到融合估計(jì)值。由CI 加權(quán)方法可知，加權(quán)矩陣為

U k的遞推式為

為得到主要結(jié)論，先給出引理1 如下。

引理 1如果矩陣均是穩(wěn)定矩陣，則對于任意初值U0≥0， 式（19）的解U k均能夠收斂至唯一的半正定陣，為代數(shù)Lyapunov 方程式（20）的解。

證明定義：

式中： ?為張量積。

為引出主要結(jié)論，給出定理2。

定理 2存在矩陣使得成立的充分必要條件是，對于任意初值能收斂到，即

為方便本定理及后續(xù)定理的證明，給出如下引理。

L(λi,K i,P i)V i＆gt;0 ˉS＆gt;0

引理 2對于算子 ，假設(shè) ， ，則有如下結(jié)論成立：

引理 3H(X)為 單調(diào)增函數(shù)，記X k+1=L(X k)，Y k+1=L(Y k)，則有

引理 4定義如下算子：

引理2～5 的證明過程類似于文獻(xiàn)[17]中相關(guān)引理的證明，這里不再贅述。

證明過程類似于文獻(xiàn)[11]，這里不再贅述。

定理5 表明，M i越 大，穩(wěn)態(tài)估計(jì)精度越高，這是因?yàn)镸 i越大，越多的有效信息會(huì)被存儲(chǔ)。因此，可通過增大存儲(chǔ)空間長度來提高估計(jì)器精度。當(dāng)+1時(shí) ，增大M i不會(huì)增加更多的有效信息，對精度沒有提高作用，這表明估計(jì)器的精度受到最大時(shí)延的影響。不能忽略的是，M i增大時(shí)將導(dǎo)致重復(fù)迭代計(jì)算量進(jìn)一步增加。與文獻(xiàn)[11]不同的是，所提方法可對每個(gè)傳感器對應(yīng)的存儲(chǔ)空間長度進(jìn)行單獨(dú)設(shè)定，可通過協(xié)調(diào)各個(gè)存儲(chǔ)空間的長度M i來平衡融合估計(jì)器精度和計(jì)算量之間的關(guān)系，具有更強(qiáng)的選擇靈活性。

這里需要說明的是，相比于文獻(xiàn)[11]所提方法，通過CI 分布式加權(quán)方法將集中式計(jì)算轉(zhuǎn)化為并行的分布式計(jì)算，使得傳感器之間最優(yōu)局部估計(jì)器的計(jì)算互不影響，避免文獻(xiàn)[11]中所有傳感器均需要同步進(jìn)行相同步長的遞推計(jì)算，因而降低了計(jì)算負(fù)擔(dān)，增強(qiáng)了容錯(cuò)性。最優(yōu)常增益的推導(dǎo)也不再利用文獻(xiàn)[11]中標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波方法，能夠有效處理系統(tǒng)矩陣中的非高斯非白噪聲干擾。

3 算例仿真

對由3 個(gè)傳感器觀測的某不間斷電源系統(tǒng)進(jìn)行算例仿真[6]，系統(tǒng)矩陣觀測矩陣系統(tǒng)噪聲w k=觀測噪聲均為均值為0 的白噪聲且相互獨(dú)立，其協(xié)方差均為1。設(shè)乘性噪聲gk在區(qū)間Dg=[?0.3,0.3]取值時(shí)概率上滿足均勻分布統(tǒng)計(jì)規(guī)律，Dg表 示區(qū)間。系統(tǒng)初始狀態(tài)值x0的3 個(gè)狀態(tài)分量服從正態(tài)分布規(guī)律，且均值為0 方差為1，狀態(tài)估計(jì)值初始取為傳感器對應(yīng)的存儲(chǔ)空間長度均為M=4，各傳感器對應(yīng)的信道最大時(shí)延為=5， 各時(shí)延率為=0.12，為驗(yàn)證所提方法的有效性，本文進(jìn)行200 次Monte Carlo 仿真計(jì)算，得到的分布式融合估計(jì)值和3 個(gè)傳感器觀測系統(tǒng)的局部最優(yōu)估計(jì)值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4 所示。5 條曲線依次表示系統(tǒng)狀態(tài)真值 、融x k合估計(jì)值、局部最優(yōu)估計(jì)值和。根據(jù)圖4的仿真結(jié)果，分布式融合估計(jì)值和局部估計(jì)值均能夠較好地跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)真值。如圖5 所示為分布式終端融合估計(jì)和3 個(gè)傳感器局部估計(jì)的估計(jì)誤差均方差（MSE）仿真結(jié)果，根據(jù)圖5 的仿真結(jié)果，基于CI 方法的融合估計(jì)值其誤差均方差小于每一個(gè)局部估計(jì)值的誤差均方差，符合式（16）。

圖4 估計(jì)值跟蹤系統(tǒng)真值情況Fig.4 True value of tracking system of estimated value

圖5 估計(jì)誤差均方差對比Fig.5 Comparison of estimated error variances

為分析模型不確定性的大小對估計(jì)精度的影響程度，本文仿真得到乘性噪聲gk分別在區(qū)間Dg=[?0.1,0.1]、Dg=[?0.3,0.3]和Dg=[?0.5,0.5]上服從均勻分布時(shí)相對應(yīng)的融合估計(jì)誤差方差計(jì)算結(jié)果，如圖6 所示。根據(jù)圖6 仿真結(jié)果，當(dāng)系統(tǒng)模型的不確定性越大時(shí)，體現(xiàn)在乘性噪聲gk的方差越大，即區(qū)間Dg的寬度范圍越大，相對應(yīng)的融合估計(jì)結(jié)果誤差方差越大，這和實(shí)際情況相符。為驗(yàn)證所提方法使得融合估計(jì)器有界的條件，選取Dg=[?0.3,0.6]和Dg=[?0.3,0.91]， 前者對應(yīng)的譜半徑ρ1(A+)=0.891 0， 后者對應(yīng)的譜半徑 ρ2(A+)=1.003 7，顯然A+是 穩(wěn)定的，A+是不穩(wěn)定的，圖7 為與兩者對應(yīng)的融合估計(jì)誤差方差仿真曲線，可以看出前者對應(yīng)的估計(jì)誤差方差是有界的，后者則是發(fā)散的，因此驗(yàn)證了定理4 的結(jié)論。為分析存儲(chǔ)空間長度M對融合估計(jì)精度的影響，分別取不同的M值，相應(yīng)的融合估計(jì)誤差方差仿真結(jié)果如圖8 和圖9所示。圖8 表明，在M＆lt;=5,i=1,2,3時(shí) ，增大M能夠提高融合估計(jì)精度，圖9 表明當(dāng)M≥=5,i=1,2,3時(shí) ，增大M無法使得融合精度更高，從而驗(yàn)證了定理5 的結(jié)論。

圖6 乘性噪聲gk 與融合估計(jì)誤差的關(guān)系Fig.6 Relationship between multiplicative noise gk andfusionestimationerror

圖7 乘性噪聲gk 特性與融合估計(jì)器有界性的關(guān)系Fig.7 Relationship between characteristics of multiplicative noise gk and fusion estimator boundedness

圖8 M取1,2,3,4,5時(shí)存儲(chǔ)空間長度與融合估計(jì)精度的關(guān)系Fig.8 Relationship between storage space length and fusion estimation accuracy when M=1,2,3,4,5

圖9 M取5,6時(shí)存儲(chǔ)空間長度與融合估計(jì)精度的關(guān)系Fig.9 Relationship between storage space length and fusion estimation accuracy when M=5,6

4 結(jié) 論

1)本文提出了一種用于模型不確定性、隨機(jī)傳輸時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失等網(wǎng)絡(luò)通信受限下的分布式加權(quán)估計(jì)方法的融合估計(jì)器，為多傳感器融合估計(jì)提供了一種新的思路，具有較強(qiáng)的工程意義。

2)本文在遠(yuǎn)程處理中心處設(shè)置多個(gè)有限長度的存儲(chǔ)空間，用來存儲(chǔ)各個(gè)傳感器的量測值，避免了過多信息損失。

3)本文在最小方差原則下設(shè)計(jì)一種最優(yōu)常增益狀態(tài)估計(jì)器，可以通過靈活調(diào)節(jié)存儲(chǔ)空間的長度平衡融合估計(jì)精度和計(jì)算負(fù)擔(dān)，具有較強(qiáng)的靈活性。

在后續(xù)的研究工作中，將針對估計(jì)器有限步長重復(fù)遞推問題，研究如何提高數(shù)據(jù)包信息利用率降低融合中心存儲(chǔ)壓力。