在問題探究中“生長數(shù)學”
——以《一次函數(shù)》期末復習課為例

代 影

(江蘇師范大學附屬實驗學校，江蘇 徐州 221011)

卜以樓老師提出的“生長數(shù)學”理論，從凸顯教育價值、塑造核心素養(yǎng)、營造思維必然、創(chuàng)設意識喚醒等多方面，提出了數(shù)學系統(tǒng)教學與素質思維培養(yǎng)的重要性，強調數(shù)學課堂實踐應找準知識生長點，選好生長路徑，教給學生具有生長力的數(shù)學.下面以蘇科版教材《一次函數(shù)》期末復習課為例，借助問題引導教學手段，探討一下課堂教學如何探尋數(shù)學知識生長點，引領學生構建知識結構體系.

1 “生長數(shù)學”下的問題提出

《一次函數(shù)》是初中階段“數(shù)與代數(shù)”中的重要教學內容.它既是學生接觸“函數(shù)”的起始，也是后續(xù)學習的基礎.本節(jié)授課對象為初中八年級學生，所用教材為蘇科版數(shù)學八年級上冊教科書.本節(jié)為期末復習課，倘若在教學中僅限于單元內容回顧，拘囿于教材章節(jié)編設框限，則不利于學生整體知識體系構建，更不利于創(chuàng)新思維與數(shù)學能力培養(yǎng).筆者在本課執(zhí)教過程中進行了以下思考：《一次函數(shù)》作為初中“數(shù)與代數(shù)”的重要銜接內容，如何向內充分發(fā)掘其內涵、向外充分拓展其外延，讓學生在知識生長中自然厘清其內在關聯(lián)，自覺建構完整數(shù)學知識體系，在學會數(shù)學知識的同時有助于其數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展.

2 “生長數(shù)學”下的教學研判

2.1 學情分析

學生學習本章后已初步掌握了一次函數(shù)概念、性質與運用等相關知識，能根據(jù)函數(shù)關系畫出圖像或根據(jù)圖像確定函數(shù)解析式，對具體問題中函數(shù)變量之間的關系也具備初步分析能力.由于初次接觸函數(shù)，學生對函數(shù)的理解程度有待加強.對一次函數(shù)所蘊含的“由數(shù)到形”或“從形到數(shù)”的數(shù)學思維認知有待深入.

2.2 目標設定

臨近學期結束，學生章節(jié)學習情況尚可，但期末復習需對全冊數(shù)學知識融會貫通，將全冊數(shù)學知識以整體化視角進行綜合構建.基于上述考慮，筆者對本節(jié)復習教學設定如下目標.

2.2.1 教學目標設定

(1)了解一次函數(shù)的形式、圖像及性質，能靈活運用一次函數(shù)解決數(shù)學問題.

(2)借助具體數(shù)學問題，進一步理解“分類”“數(shù)形結合”“幾何直觀”等數(shù)學思想方法，提升學生數(shù)學綜合能力.

(3)對本章涵蓋的數(shù)學知識與方法進行系統(tǒng)梳理，使其結構化，發(fā)展數(shù)學經(jīng)驗.

2.2.2 本課教學重點與難點

重點：一次函數(shù)的數(shù)形結合應用.

難點：章節(jié)知識體系構建，理解分類數(shù)學思想，用函數(shù)與方程解決數(shù)學問題.

3 “生長數(shù)學”下的教學設計

3.1 以問題建構知識網(wǎng)絡

師：臨近期末，本節(jié)課我們一起來復習一次函數(shù).復習之前，通過一道題讓大家回顧一下一次函數(shù).

問題1下列函數(shù)：(1)y=x；(2)y=2x-1；(3)y=1；(4)y=1002-3x；(5)y=x2-1中，是一次函數(shù)的有( ).

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

生1：選項(3)y=1，沒有自變量x，選項(5)y=x2-1，x是二次冪，只有(1)(2)(4)符合一元一次函數(shù)概念的要求.

師：學生1回答得很好.借助這道題，大家回顧一下什么是一次函數(shù)？

生：(集體思考，回顧章節(jié)知識)

【設計意圖】引導學生回顧函數(shù)、變量、一次函數(shù)的概念與內涵，為生成數(shù)學奠定知識基礎.

問題2已知點A(0,6)與點B(8,0)是一次函數(shù)y=kx+b圖像上的點，試求出這個一次函數(shù)的具體表達式.

師：回答得很好.大家能否畫出這個一次函數(shù)的圖像.

【設計意圖】引導學生回憶一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像及性質，將一次函數(shù)與其特例正比例函數(shù)關聯(lián)起來，引發(fā)學生數(shù)形結合地思考.

師：非常好！很好地運用了“一元二次方程與一次函數(shù)”的關系.還有其他解法嗎？

生5：我覺得可以用畫圖解決.(上臺示意，見圖1).

圖1

師：生5給出了另外一個解題思路：圖像法.大家還記得我們在學習二元一次方程組與一次函數(shù)的關系時，提到用一次函數(shù)來解決二元一次方程組的話，通常采用什么方法？

生：圖像法.

【設計意圖】啟發(fā)學生對章節(jié)內容進行系統(tǒng)回顧與整理，幫助學生形成數(shù)學知識系統(tǒng).

3.2 以問題生長數(shù)學思維

生6：可以用兩點間距離公式計算，答案為10.

師：很好，兩點距離公式可求平面直角坐標系內任意兩點間的距離.還有什么其他解法嗎？

生7：我覺得可以用圖像法求解，根據(jù)題目條件，可求出A、B兩點坐標分別為(0,6)、(8,0).畫圖(見圖1)可知，△AOB為直角三角形，根據(jù)勾股定理，可計算出斜邊AB=10.

生：(紛紛舉手，在臺下喊)用圖像法，用等積法.

【設計意圖】助函數(shù)表達式建構圖像，培養(yǎng)學生“數(shù)形結合”解題思維與習慣，是一次函數(shù)教學的重要任務.

問題5假設一次函數(shù)y=kx+b中自變量x的取值范圍為-2≤x≤6，其對應的函數(shù)值范圍為-11≤y≤9.求該函數(shù)的解析式.

師：大家覺得生8的解法怎么樣？有沒有什么補充？

生9：老師我認為他的思考不全面，他只考慮了函數(shù)值y隨x變大而變大的情況，即k>0的情況；而y隨x變大而減少，即k<0的情況他沒有考慮到.

師：應該怎么做？

師：這種解題思維也被稱作為“分類”思想.布置一道課后思考題，想想會有幾種情況出現(xiàn)，考查一下大家對“分類”思想的應用.

問題6直線y=4x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B.過點B作直線BP與x軸交于點P，且使OP=2OA，求△ABP的面積.

【設計意圖】對一次函數(shù)系統(tǒng)知識的深化與構建，同時也引出了對數(shù)學解題策略中“分類思想”的教學滲透，體現(xiàn)了生成數(shù)學對學生數(shù)學思維培養(yǎng)的重視.

卜以樓老師指出：“生長數(shù)學”是前后一致、邏輯連貫、一以貫之.“生長數(shù)學”理念的運用促使學生將過往學習經(jīng)驗與新學知識應用融于一體，體現(xiàn)了對學生數(shù)學整體知識的梳理與體系建構，對培養(yǎng)學生數(shù)學思維與能力生長創(chuàng)設了積極條件.借助復習課形式，如何體現(xiàn)“生長數(shù)學”綱舉目張、前后貫通等教學要求，促使學生學習能力與素質得以全面提升，值得每位教師深刻思考.