芻議分類思想在初中數學教學中的有效運用

陳新建

(南通市通州區育才中學，江蘇 南通 226300)

數學的學習離不開思維邏輯的運用，因為在思考、解決數學問題的過程中，需要學會將一個大問題分解成若干個小問題，并選擇最為簡潔的步驟和路徑進行解決.這種總結、分類能力不僅要求學生對不同體系的數學知識點要有一個準確且清晰地把控，更要做到不重復、不遺漏.可以說，對學生分類思想的訓練能夠幫助他們形成更為直觀、實用的數學思維，以提高初中生的數學核心素養.

1 初中數學中分類思想種類概述

1.1 基本概念引申的分類

很多數學概念都源自于分類理念，通過分類進行概念區分.因此教師在講述概念含義的過程中，可以從分類思想的角度出發，幫助學生區分不同概念之間的差異與聯系，形成更為立體、直觀的概念認知，比如“有理數”與“無理數”，“因數”與“質數”等.

尤其是在學習幾何概念時，將方位空間概念與分類思想結合，能夠幫助學生形成更為立體化的幾何概念，將數與形有機地結合起來.比如何為“外角”“內角”“外角和”“內角和”？如何在多邊形中進行合理地幾何劃分和計算？等等，都可以讓學生通過分類來更加清晰地認知和應用數學知識.在學習函數時，根據自變量的取值范圍，可以實現函數關系式的分類，區分不同函數的求解方式等等.可以說，分類思想是幫助學生了解、理解概念的一個重要方式.

1.2 法則性質引申的分類

法則與性質類的數學概念一般需要學生通過計算或推理來實現.在推理和論證的過程中，教師可以讓學生嘗試用“分類”的方法來整理思路.比如論證“可以轉化為分數的都是有理數”“過兩點有且只有一條直線”“同位角相等，兩直線平行”等等，這些性質的論證過程是學生鍛煉自我批判思維和探究能力的過程.只有不斷嘗試不同的方向、思路，才能真正脫離既有結論和思維定式，實現數學邏輯方面的能力鍛煉和成長.

2 分類思想在初中數學教學中的應用

2.1 結合教材內容，融合分類思想

新課改教材中融合了很多探究性的教學內容，結合生活實踐給予學生理論知識之外的思維引導.比如通過跨海大橋結構來探究全等三角形的穩固性，通過紫禁城來認知軸對稱圖形等等.可以說從教材出發進行分類思想的教學，不僅能夠幫助學生更加清晰地總結、歸納教材中的內容，更將理論知識與實踐體驗進行了細化和內化，將所學真正融入到自己的思維邏輯架構中去.特別是在對概念性內容進行講解時，從分類概念出發而進行的概念認知能夠讓學生系統性地建立知識架構，形成更為完整的數學知識體系.

比如在學生最初接觸三角形時，教師可以給出一組多條線段交疊的幾何畫面，讓學生從圖片中尋找出盡量多的三角形，并給這些三角形進行分類.如果給出其中一個或幾個角的度數，推算出盡量多的角度等等，讓學生通過自我探尋發現三角形的種類、特性.在此基礎上，教師可引導學生結合教材總結：三角形分為三邊都不相等的三角形和有兩邊相等的三角形，后者又分為等邊三角形和底邊和腰不相等的等腰三角形.教師提醒學生在學習三角形的定理、性質時應注意對比不同類三角形的特性，以此培養學生隨時復核、對比的思維習慣，起到溫故知新、推陳出新的教學效果.

2.2 利用課堂探究，細化分類思想

利用分類思想進行課堂教學，有利于引導學生自主探究，培養發散思維.在教學中，教師要從學生的認知水平出發，結合素質教育的分層概念，給予全體學生均衡的可探究內容.從思想觀念角度來講，分類思想講求系統性和素材的累積，雖然并不能通過一兩節課達到明顯的教學效果，但卻能夠在日積月累中培養學生良好的思維習慣和學科素養，特別是在自主探究能力和意識培養方面，起到了舉足輕重的作用.就像驅策一群小羊進入到特定的區域“進食”一樣，利用分類思想來細化課堂教學，就如同給學生劃分了不同的去往“草場”的道路，讓學生自己選擇最適合的那條路前往目的地，盡量發揮學生自己的選擇權和支配權，貼合初中生正處于“叛逆”心理高發期的客觀情況，給予學生感受、拒絕、選擇的權利，往往會取得比被動驅策更好的教學效果.

其實，在古代中國數學中，“有理數”和“無理數”是沒有進行明確區分的，這兩者是在希臘哲學家們的研究中被區分開來的.可以說對“有理數”和“無理數”的區分是一種較為“理論化”的數學概念研究形式，能夠幫助人們以更為理性的方式來看待“數”的分類，對學生分類思想的培養有著指導意義.教師可以將此思路進行延伸，鼓勵學生尋找數字之間、題目之間，甚至圖形之間的內在區分，建立自己的邏輯概念.比如通過分類東、西方數學知識的研究領域，理解數學文化背后的深刻歷史含義，加深對數學學科內涵的認知；通過分類幾何圖形在點、線、面等不同方面的概念，將幾何知識形成一個有總有分的整體，讓學生可以靈活提取、巧妙轉換，從而突破幾何困境.可以說，將分類思想應用到數學課堂上，是以理性帶動感性的過程，讓學生通過有條理的思維去發散自由的想象力和創造力，提高對數學知識的理解與應用能力.

2.3 引導思維認知，深化分類思想

在傳統教學中，教師將數學思維的培養依托于試題中，通過布置大量試題來鍛煉學生熟練應對不同類型數學題目的能力.在“以一對多”的戰役中，難免會出現“打偏”的情況.素質教育改革以來，教育部門推行“分層教學”，讓教師必須對不同層面的學生負責，從核心素養出發，尊重學生的個性化發展，讓學生能夠在“苦讀書”的時候有目標、有方向，而不是一味地被驅趕著“跟上隊伍”，不看前方，只一味地盯著自己面前的一方天地.因此，從思維認知的角度引導學生進行分類思想的學習，是一種可行性較強的“個性化”課堂指導方向.從初中數學教學現狀出發，學生在經過小學數學學習后，基本具有了自己的學習思路，在迎接更為復雜的高階數學概念時，需要在原有框架的基礎上搭建更為復雜、立體的思維架構.

比如小學階段學習了數字與計算的聯系，將數字分為整數、分數與小數.也學習了基本的平面幾何知識，將幾何分為正方形、圓形、三角形的面積計算以及柱狀體、圓錐體、立方體的體積計算等等.而到了初中，這些分類都將被重新劃分，之前的數字需要劃分出“有理數”與“無理數”；之前的方程會在計算方面細化，包括多元方程中的合并同類項計算以及與概率、幾何、速率等應用題相結合的方程計算等等，都需要學生將之前的認知進行重新地分類，這些都十分考驗學生的邏輯思維能力.比如對于下列題目：“小紙盒的長為a，寬為b，高是c，大紙盒的長度是小紙盒的1.5倍，寬和高都是小紙盒的2倍，那么做大紙盒和小紙盒共需要多少平方厘米的料？而大紙盒又需要比小紙盒多用多少料呢？”對于這個題目的思考，就需要分為幾何體積計算和方程計算兩個部分，在列出基本的方程之后再進行方程的換算，同時通過兩種紙箱的用料對比，也能夠將方程的換算與應用題計算結合起來.

2.4 鼓勵實踐所學，落實分類思想

數學是一門源自生活的科學，也是一門用于生活的科學，它可以是與人們生活息息相關的小細節，也可以是國家基建與軍事國防力量的保證.研究數學分類就是從根本上理解數學存在的意義，讓學生抓得住重點，理解自己所學習的數學究竟從何而來？為什么學？又有何用處？而在不同的分類中研究所學知識并與生活實踐聯系起來，能夠幫助學生更加真切地理解理論知識，同時形成更為牢固的理論知識基礎.

以思維導圖的繪制為例，繪制思維導圖和整理錯題集一樣，都是幫助學生回顧所學、內化知識的重要過程，是將“學”與“思”結合起來的重要方式.但在這個過程中，如果學生只針對“錯題”去反復記憶、反思，而不去結合新的思路進行思考和拓展，就喪失了“思”的意義，變成了單純的經驗積累，最終原地踏步，無法獲得新的知識和更多的數學價值認知.比如在學習《三角函數》這一章節時，思維導圖上就可以結合古人“以井口半徑推測水深”的案例來進行實踐拓展.該案例是古人巧用勾股定理進行勞動實踐的例子，在沒有精確測量儀器的前提下，古人能夠運用三角函數的知識簡化勞動過程，這便是中華民族對數學思想活學活用的表現.教師可以引導學生以此為啟發進行數學原理的分類總結，結合所學到的三角函數知識延伸該思路，思考在日常生活中三角函數還能有哪些應用？又比如利用科學家測量“金字塔”高度的方式，來測量自己家所在樓層的高度等等.這些都能夠幫助學生豐富自己的“分類思維導圖”，形成一個個獨特的記憶點，為以后的學習提供延伸和發散的新思路.

我們的國家要實現數字技術的突破和創新，完成技術強國的中國夢，絕對離不開數學領域的創新性研究.因此，我國的數學教育更需要大力培養創新性人才，營造更為寬松、和諧的學術研究氛圍，讓更多學生認識到數學思想的寶貴、數學學科的魅力和數學精神的內核.從數學教學的整體來看，初中數學是重要的“打基礎”階段，這時的學生開始有意識地建立自己的數學邏輯架構.如果在這個階段讓學生錯失分類、化歸、數形結合等數學解題思考的能力，那么就會使得更多有資質和天賦的學生喪失數學高階研究與創新的能力.因此，在這一階段的數學教學中融入分類思想，是提高當代學生數學核心素養、培養創新思維能力的重要途徑，為未來社會培養創新人才打下了基礎.