基于IOC-CSMP 的OFDM 系統(tǒng)稀疏信道快速重構(gòu)算法

崔偉，于穎，于海霞，陳超，李云鵬

（空軍航空大學(xué)航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022）

0 引言

正交頻分復(fù)用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術(shù)已成為無(wú)線通信系統(tǒng)廣泛采用的重要技術(shù)，OFDM 信道質(zhì)量直接決定了通信質(zhì)量。因此，信道估計(jì)已成為OFDM 系統(tǒng)需要重點(diǎn)解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。在信道為密集信道并且依賴(lài)大量導(dǎo)頻信號(hào)的基礎(chǔ)上，經(jīng)典最小二乘（LS,least square）算法[1]和最小均方差（MMSE,minimum mean square error）算法[2]可以完成信道的估計(jì)，但由于導(dǎo)頻序列開(kāi)銷(xiāo)大，需要很多導(dǎo)頻才能得到高的信道估計(jì)性能，且在信道為稀疏信道情況下，其性能并不理想。由于實(shí)際通信環(huán)境中信道表現(xiàn)出很強(qiáng)的稀疏特性，因此基于壓縮感知的稀疏信道估計(jì)成為OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)的研究熱點(diǎn)。

當(dāng)信號(hào)稀疏先驗(yàn)特性已知時(shí)，壓縮感知可以利用低采樣率重構(gòu)出原始信號(hào)，典型算法有正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）、分段OMP（StOMP,stagewise OMP）[3]、正則化OMP（ROMP,regularization OMP）[4]、壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP,compressed sampling matching pursuit）[5]、廣義正交匹配追蹤（gOMP,generalized OMP）[6]、分段弱正交匹配追蹤（SWOMP,stagewise weak OMP）[7]和子空間追蹤（SP,subspace pursuit）[8]等算法。當(dāng)稀疏度未知時(shí)，典型算法有稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤（SAMP,sparsity adaptive matching pursuit）算法[9]。文獻(xiàn)[10]提出了基于SAMP 算法的自適應(yīng)正則化壓縮采樣匹配追蹤（ARCoSaMP）算法用于信道估計(jì)。文獻(xiàn)[11]提出了一種自適應(yīng)步長(zhǎng)SAMP（ASSAMP）算法并將其用于稀疏信道估計(jì)。文獻(xiàn)[12]在多徑數(shù)量未知且抽頭位置變化的情況下，提出一種基于搜索空間預(yù)處理的自適應(yīng)正交匹配追蹤算法。文獻(xiàn)[13]結(jié)合原子預(yù)選和變步長(zhǎng)思想，利用冪函數(shù)型的變步長(zhǎng)方法克服SAMP 算法固定步長(zhǎng)導(dǎo)致的重建精度低的問(wèn)題，并得到更好的OFDM 信道估計(jì)性能。文獻(xiàn)[14]考慮信道的時(shí)間選擇性和頻率選擇性，研究了組稀疏壓縮感知的OFDM 時(shí)變信道估計(jì)方法。文獻(xiàn)[15]提出一種基于有限等距性質(zhì)（RIP,restricted isometry property）的稀疏度預(yù)測(cè)自適應(yīng)匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)OFDM 信道估計(jì)。文獻(xiàn)[16]提出優(yōu)化的廣義正交匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)OFDM 信道估計(jì)。文獻(xiàn)[17]基于壓縮感知技術(shù)實(shí)現(xiàn)了OFDM 信道與脈沖噪聲聯(lián)合估計(jì)。塊稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法被用于大規(guī)模多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)稀疏度自適應(yīng)信道估計(jì)[18]。

以上算法都不同程度地提升了OFDM 稀疏信道估計(jì)性能，但在迭代過(guò)程中對(duì)算法的計(jì)算量沒(méi)有進(jìn)行充分優(yōu)化，導(dǎo)致測(cè)量矩陣與殘差矢量?jī)?nèi)積運(yùn)算中仍然存在較大運(yùn)算量，算法運(yùn)行速度比較慢；另一方面，對(duì)稀疏度進(jìn)行更新時(shí)，稀疏度更新策略也不夠完美，需要進(jìn)行多次迭代才能選出所有合適的原子，迭代效率不高。

針對(duì)OFDM 系統(tǒng)信道稀疏度未知以及上述問(wèn)題，本文提出了一種基于內(nèi)積運(yùn)算優(yōu)化與稀疏度更新約束的壓縮采樣匹配追蹤（IOC-CSMP,compressed sampling matching pursuit based on inner product optimization and sparsity update constraint）快速重構(gòu)算法用于稀疏信道估計(jì)。在信道估計(jì)過(guò)程中，首先對(duì)信道稀疏度進(jìn)行預(yù)估計(jì)，從而降低后續(xù)迭代次數(shù)；在每次迭代過(guò)程中，根據(jù)選擇向量ζ非零值位置索引來(lái)選擇測(cè)量矩陣Φ中對(duì)應(yīng)的原子參與內(nèi)積運(yùn)算，而與選擇向量ζ中零值位置對(duì)應(yīng)的原子由于與殘差向量正交，不需要參加后續(xù)迭代，因此內(nèi)積的計(jì)算量得到有效降低。在稀疏度更新階段，利用相鄰兩次信道估計(jì)值h?Π和h?old的能量差來(lái)對(duì)步長(zhǎng)更新進(jìn)行約束，有效提升步長(zhǎng)更新的準(zhǔn)確度。仿真結(jié)果表明，與SAMP 算法、ASSAMP 算法相比，當(dāng) OFDM 系統(tǒng)信道稀疏度未知時(shí)，IOC-CSMP 算法信道估計(jì)精度更高，運(yùn)行速度更快。

1 OFDM 信道稀疏模型

考慮具有P個(gè)子載波的OFDM 系統(tǒng)，其中M個(gè)子載波用作導(dǎo)頻，信道長(zhǎng)度為N，接收信號(hào)可表示為

其 中，X=diag{X(0),X(1),X(2),…,X(P-1)}是P×P維的對(duì)角矩陣，表示系統(tǒng)發(fā)送的數(shù)據(jù)符號(hào)；y=[y(0),y(1),y(2),…,y(P-1)]T表示接收信號(hào)；H=[H(0),H(1),H(2),…,H(P-1)]T表示信道頻域響應(yīng)采樣值；n=[n(0),n(1),n(2),…,n(P-1)]T表示復(fù)加性白高斯噪聲；W表示P×N維離散傅里葉變換矩陣。

式(3)由式(1)兩邊左乘矩陣S得到。其中，yM是M× 1維向量，XM=SXST是M×M維對(duì)角矩陣，WM=SW是M×N維矩陣，nM=Sn是M× 1維噪聲向量，Φ=X MWM是M×N維測(cè)量矩陣。可以看出，h可以通過(guò)測(cè)量矩陣Φ和接收的導(dǎo)頻信號(hào)yM利用稀疏重構(gòu)算法來(lái)進(jìn)行重構(gòu)，然后對(duì)信道頻域響應(yīng)進(jìn)行估計(jì)。

2 IOC-CSMP 快速重構(gòu)算法

2.1 稀疏度預(yù)估計(jì)

假設(shè)測(cè)量矩陣Φ以參數(shù)(K,δk)滿(mǎn)足RIP，如果K0≥K，那么式(4)成立[19]。

同樣，式(4)的逆否命題也成立，即如果

那么K0＜K，利用式(4)和式(5)可以得到稀疏度K的預(yù)估值。

2.2 內(nèi)積運(yùn)算優(yōu)化

當(dāng)δ3k＜ 0.082時(shí)，滿(mǎn)足稀疏重構(gòu)條件所具備的RIP 條件[20]，也就是說(shuō)，在每次迭代中只要參與重構(gòu)的原子數(shù)不超過(guò)3K，那么重構(gòu)算法就可以對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。

貪婪類(lèi)重構(gòu)算法利用測(cè)量矩陣Φ的列與殘差向量的內(nèi)積來(lái)選擇最優(yōu)原子。根據(jù)上述分析，每次迭代時(shí)，計(jì)算殘差向量與測(cè)量矩陣Φ的每個(gè)原子的內(nèi)積，則支持集由最大的2K個(gè)內(nèi)積元素對(duì)應(yīng)的原子組成。當(dāng)測(cè)量矩陣Φ的列數(shù)較大時(shí)，大幅增加了內(nèi)積運(yùn)算的計(jì)算量。目前，對(duì)內(nèi)積運(yùn)算的優(yōu)化較少，因此本文提出下列算法對(duì)內(nèi)積運(yùn)算進(jìn)行優(yōu)化。

通過(guò)本文研究成果的試點(diǎn)、探索、改進(jìn)，輔助某市級(jí)供電企業(yè)初步構(gòu)建配網(wǎng)主動(dòng)運(yùn)維檢修工作機(jī)制，有效降低了配網(wǎng)故障事件發(fā)生、提升了供電服務(wù)質(zhì)量，取得了良好的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益：

ζ中每個(gè)元素i的位置與測(cè)量矩陣Φ中每個(gè)原子的位置一一對(duì)應(yīng)。在迭代過(guò)程中，當(dāng)利用暫態(tài)解βtemp得到K個(gè)最大元素相應(yīng)的索引集Π= [k,m,…,n]時(shí)，將向量ζ中與索引集Π對(duì)應(yīng)索引位置處的值變?yōu)榱?，?/p>

由于與索引集Π= [k,m,…,n]對(duì)應(yīng)的測(cè)量矩陣Φ中K個(gè)原子是當(dāng)次迭代的局部最優(yōu)解，此時(shí)得到的K個(gè)原子與殘差向量在理想情況下是正交的。因此，在下一次迭代計(jì)算內(nèi)積時(shí)就可以根據(jù)選擇向量ζ中非零值位置選擇測(cè)量矩陣Φ中對(duì)應(yīng)的原子參與內(nèi)積運(yùn)算，而選擇向量ζ中零值位置的原子與殘差向量正交，不需要繼續(xù)參加后續(xù)迭代過(guò)程。這樣，對(duì)于內(nèi)積運(yùn)算，每次迭代過(guò)程中參與計(jì)算的原子數(shù)越來(lái)越少，內(nèi)積的計(jì)算量就越來(lái)越小，算法運(yùn)算速度越來(lái)越快，尤其是在稀疏度K較大的場(chǎng)合下，這種優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯。

2.3 迭代終止分析與稀疏度更新策略

在算法回溯階段，可以得到每次迭代的信道估計(jì)值為

在每次迭代過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的ΦΠ是由Φ中真實(shí)的個(gè)原子構(gòu)成的矩陣。對(duì)于信道估計(jì)，由式(6)得到的為當(dāng)前迭代過(guò)程中信道估計(jì)的最優(yōu)值，隨著迭代過(guò)程的不斷進(jìn)行，只要外界的信噪比不發(fā)生突變，那么值就會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定，也就是說(shuō)值的穩(wěn)定性不會(huì)隨信噪比的變化而變化。考慮相鄰兩次迭代信道估計(jì)值的能量差值為

由于值會(huì)隨著迭代不斷進(jìn)行而趨于穩(wěn)定，因此理想情況下?！?0，考慮到實(shí)際情況，可設(shè)置迭代終止條件為

其中，η為迭代終止因子，且η∈ (0,1)。在迭代過(guò)程中，固定的步長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致迭代速度和信號(hào)重構(gòu)精度之間的矛盾，而變步長(zhǎng)則可以解決這種問(wèn)題。當(dāng)信道重構(gòu)逼近目標(biāo)值時(shí)，將使用較小的步長(zhǎng)來(lái)提高信道的重構(gòu)精度。因此，可以繼續(xù)利用Γ值作為稀疏度更新步長(zhǎng)的選擇依據(jù)。當(dāng)相鄰兩次迭代稀疏信道估計(jì)值能量差異較大，即Γ＞ε時(shí)，則選擇大步長(zhǎng)μ2來(lái)加快迭代速度；當(dāng)Γ＜ε時(shí)，說(shuō)明稀疏度估計(jì)值已接近信道真實(shí)稀疏度K，則選擇小步長(zhǎng)μ1(μ1＜μ2)避免出現(xiàn)過(guò)估計(jì)問(wèn)題。其中，ε是步長(zhǎng)選擇門(mén)限因子且ε∈ (0,1)，要求ε＞η，因?yàn)槿籀牛鸡?，算法無(wú)法進(jìn)入小步長(zhǎng)選擇階段，導(dǎo)致信道估計(jì)精度無(wú)法保證。

2.4 算法步驟

2.5 算法計(jì)算復(fù)雜度分析

理論分析可知，在采用變步長(zhǎng)策略條件下，算法的迭代過(guò)程會(huì)迅速收斂，一般條件下迭代次數(shù)T＜K，實(shí)際情況下稀疏度K通常滿(mǎn)足K2≤Ο(N)，因此計(jì)算復(fù)雜度近似為Ο(KM(N-K))。SAMP 算法中每一次迭代都可視為SP算法[8]，因此計(jì)算復(fù)雜度上界近似為Ο(KMN)，ASSMAP 算法[11]可視為SAMP算法的個(gè)例，因此計(jì)算復(fù)雜度為Ο(KMN)，對(duì)于OMP，一次迭代所需的浮點(diǎn)運(yùn)算為 2KMN+3K2M，算法的計(jì)算復(fù)雜度上界為Ο(KMN)?？梢钥闯觯cOMP、SAMP 和ASSMAP 算法相比，本文算法的計(jì)算量更小，算法的迭代速度更快。

3 仿真與分析

本節(jié)對(duì)IOC-CSMP 算法的OFDM 信道估計(jì)性能進(jìn)行仿真和驗(yàn)證，并與LS、MMSE、SAMP、ASSAMP 等算法的性能進(jìn)行比較，仿真實(shí)驗(yàn)主要分析信道估計(jì)的誤碼率（BER,bit error rate）與均方誤差（MSE,mean square error）的變化情況。假設(shè)OFDM 系統(tǒng)調(diào)制方式為 64QAM，子載波數(shù)目N= 512，載波間隔為13 kHz，帶寬為6.65 MHz，導(dǎo)頻數(shù)Np=16，導(dǎo)頻形狀為塊狀導(dǎo)頻，信道長(zhǎng)度L=64，OFDM 符號(hào)數(shù)為30，信道稀疏度K=6，信道非零抽頭位置服從均勻分布，并且在每一個(gè)OFDM 符號(hào)內(nèi)都是不同的，信道信噪比變化范圍為5～30 dB，μ1=1，μ2=3，ε= 3 × 1 0-3，η= 1 × 10-5。

圖1 MSE 隨SNR 的變化

采用 LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法進(jìn)行OFDM 信道估計(jì)時(shí)，BER 隨SNR 的變化如圖2 所示。當(dāng)SNR 較小時(shí)，信道受噪聲影響較大，不同算法的BER 差異不大；隨著SNR 增大，BER 逐漸減小，且不同算法之間的差異增大。從圖2 可以看出，與其他算法相比，不同SNR下IOC-CSMP 算法的BER 都較小，表現(xiàn)出良好的信道估計(jì)性能。同時(shí)，從圖1 和圖2 可以看出，IOC-CSMP 算法僅利用子載波總數(shù)3.13%的導(dǎo)頻數(shù)就能對(duì)OFDM 稀疏信道進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，有利于提升頻譜利用率。

圖2 BER 隨SNR 的變化

當(dāng)SNR=25 dB，導(dǎo)頻數(shù)分別為8、16、32、64 時(shí)，不同算法的MSE 和BER 隨導(dǎo)頻數(shù)的變化分別如圖3 和圖4 所示。從圖3 和圖4 可以看出，不同算法的MSE 和BER 隨導(dǎo)頻數(shù)的增加呈下降趨勢(shì)。IOC-CSMP 算法的MSE 和BER 性能整體上優(yōu)于其他算法，信道估計(jì)性能良好；當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)超過(guò)16時(shí)，其MSE 和BER 的下降趨勢(shì)相對(duì)平緩，信道估計(jì)性能并未大幅度提升。從頻譜利用率來(lái)看，當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)為16 時(shí)，即可滿(mǎn)足信道估計(jì)性能與頻譜利用率的綜合需求。

圖3 MSE 隨導(dǎo)頻數(shù)的變化

圖4 BER 隨導(dǎo)頻數(shù)的變化

當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)Np=32，稀疏度K分別為6、9、12時(shí)，SAMP、ASSAMP 和IOC-CSMP 算法的MSE隨SNR 的變化如圖5 所示。從圖5 可以看出，在不同信道稀疏度下，IOC-CSMP 算法的信道估計(jì)性能整體優(yōu)于SAMP 算法和ASSAMP 算法。與圖1相比，導(dǎo)頻數(shù)Np=32、K=6時(shí)，算法的信道估計(jì)性能更好，但此時(shí)導(dǎo)頻數(shù)在子載波總數(shù)的占比提升了一倍，頻譜利用率會(huì)有所降低。

圖5 不同稀疏度下MSE 隨SNR 的變化

當(dāng)稀疏度K分別為5 和13 時(shí)，LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法的信道估計(jì)時(shí)間隨符號(hào)數(shù)的變化如圖6 所示。從圖6 可以看出，在不同稀疏度條件下，IOC-CSMP 算法的信道估計(jì)時(shí)間少于SAMP 算法和ASSAMP 算法，并且隨OFDM 符號(hào)數(shù)的增加信道估計(jì)時(shí)間變化不大。這是因?yàn)镮OC-CSMP 算法的運(yùn)算量比SAMP 算法和ASSAMP算法小，能在較短的時(shí)間內(nèi)完成OFDM 信道估計(jì)。

圖6 不同稀疏度下信道估計(jì)時(shí)間隨符號(hào)數(shù)的變化

當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)Np=64、稀疏度K=8時(shí)，在不同稀疏度更新步長(zhǎng)μ1和μ2條件下，IOC-CSMP 算法進(jìn)行OFDM信道估計(jì)時(shí)MSE隨SNR的變化如圖7所示。從圖7 可以看出，μ1和μ2較小時(shí)MSE 較小，可以獲得較好的信道估計(jì)性能。這是因?yàn)棣?和μ2較小時(shí)，在信道稀疏度自適應(yīng)更新過(guò)程中，稀疏度估計(jì)值能更準(zhǔn)確地逼近真實(shí)的稀疏度K，從而使估計(jì)精度更準(zhǔn)確。

圖7 不同稀疏度更新步長(zhǎng)下MSE 隨SNR 的變化

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)無(wú)線信道路徑數(shù)量未知情況下OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計(jì)問(wèn)題，提出了一種基于內(nèi)積運(yùn)算優(yōu)化與稀疏度更新約束的壓縮采樣匹配追蹤快速重構(gòu)算法。首先對(duì)信道稀疏度進(jìn)行預(yù)估計(jì)來(lái)降低后續(xù)迭代次數(shù)，基于壓縮采樣思想不斷更新并擴(kuò)大支搜集來(lái)逐步逼近信道的稀疏度；通過(guò)構(gòu)建與不斷更新選擇向量，利用選擇向量中零值位置對(duì)應(yīng)的原子與殘差向量的正交性，在內(nèi)積運(yùn)算中僅利用與選擇向量中非零值位置索引對(duì)應(yīng)的原子參與運(yùn)算，有效降低算法的運(yùn)算量，保證IOC-CSMP 算法快速收斂和估計(jì)精度。仿真結(jié)果表明，IOC-CSMP 算法比傳統(tǒng)的LS、MMSE 算法和SAMP、ASSMAP 算法具有更好的MSE性能和BER性能，比SAMP和ASSMAP算法需要更少的信道估計(jì)時(shí)間，算法運(yùn)行速度更快。