主題教學視角下高中數學單元整體教學設計與實踐
——以上教版高中數學“函數”為例

彭 暉

（上海海事大學附屬北蔡高級中學 上海 201204）

一、 研究背景

2003 年版《普通高中數學課程標準（實驗）》出臺之后，課程內容的呈現形式是“知識領域—知識單元—知識點”。[1]這種方式在聚焦每節課的知識點、優化教學活動等方面有一定的優勢，但也存在很多不足，如教學上容易重細節輕整體，使內容割裂，造成教學內容碎片化，不利于形成完整的知識鏈，不利于學科素養的養成。[2]拉爾夫·泰勒提出，教學實施的基本結構是單元。[3]隨著課程改革的不斷深入，知識的整體性和教學的單元化越來越受到關注。為了更好地促進學生數學學科核心素養的提升，《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡稱《課標》）提出，應注重教材的整體結構，體現內容之間的有機銜接；要整體把握教學內容，注重課程目標的整體實現；關注數學學科核心素養的綜合性與整體性；重視評價的整體性和階段性；等等。[4]鐘啟泉認為“單元設計是撬動課堂轉型的一個支點”[5]，崔允漷教授認為“學科核心素養呼喚大單元教學設計”[6]，課程教學設計從關注單個知識點、課時轉向關注單元教學設計。

主題教學是推進實現數學學習的整體性和階段性的重要方式。根據高中數學學科特點，可以將課程內容劃分為預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模與數學探究活動五大主題，以“主線—主題—核心內容”為結構呈現課程內容。關于如何將這些理念落實到教學實踐中，近年來在單元教學方面有了很多深入的探討和思考，取得了可喜的進展。但從主題教學視角探索單元整體教學設計，目前這方面的研究較少。本文將以高中數學“函數”主題中的“函數的單調性”這一核心內容為主線，探索主題教學視角下的單元整體教學設計。

二、 主題教學的內涵與特征

根據教學需要，數學主題可以是以核心數學知識或重要數學概念為主線組織的知識類主題，可以是以數學思想方法為主線組織的方法類主題，也可以是以數學學科核心素養、基本能力為主線的素養類主題等。[7]數學主題教學是在整體思維指導下，從提升學生數學學科核心素養的角度出發，對教材內容進行統籌重組和優化，并將優化后的教學內容視為一個相對獨立的教學主題，明確主題內容在課程標準以及整個階段中的定位和要求，突出數學內容的主線以及知識間的關聯性，在此基礎上對教學主題整體進行循環改進的動態數學教學。[8]這樣的數學內容相對獨立，同時具備相應的整體性，可以成為一個數學主題。

數學主題教學的教學單位從課時過渡到主題，教學過程也不再是靜態呈現，存在動態的調整。因此，在知識內容上，將碎片化的數學知識與思想方法等進行模塊式整合，同時保持知識結構的完整性；在教學安排上，突出目標導向和系統性，將教學活動的各個環節放在整體的教學系統中，注重主題教學的整體，同時有必要把教學過程劃分為不同的階段，每個階段又劃分成多個課時，使階段與階段之間、課時與課時之間既相對獨立又相互聯系；[9]在學生認知方面，主題教學回應不同階段的學生認知結構，主題教學要深入把握學生的認知規律。另外，主題教學需要教師在教學過程中注重實踐反思，不斷改進和完善。

以主題教學為背景的單元整體教學設計，一般需要經歷前期分析和后期設計兩個階段。前期分析通常分四步：第一步，結合《課標》要求，確定主題內容；第二步，明確學科核心素養培育方向，提煉核心內容；第三步，結合學情規劃核心內容的教學任務，確定單元整體教學目標；第四步，將確定好的單元整體教學目標劃分成不同的階段，確定各階段的子目標。后期設計將前期劃分好的每個階段再劃分成各個課時，設計相應的課時學習任務、學習活動及教學評價標準。[10]

三、 “函數”主題教學的單元整體教學設計

（一） 基于《課標》要求，梳理知識脈絡

“函數”是貫穿高中數學課程的主線，是中學數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最基本的數學語言和工具，也是從初等數學走向高等數學的一個重要內容。《課標》要求把“函數”主題的內容視為一個整體，引導學生從變量之間的依賴關系、實數集合之間的對應關系、函數圖像的幾何直觀等角度整體認識函數概念；通過梳理函數的單調性、周期性、奇偶性（對稱性）、最大（小）值、極值和導數等知識，全面認識函數的整體性質和局部變化；經歷運用函數解決實際問題的全過程。[11]

高中階段的“函數”內容（見圖1）分為兩部分。第一部分是必修課程，涵蓋內容有：必修第一冊第四章“冪函數、指數函數與對數函數”，第五章“函數的概念、性質及應用”；必修第二冊第七章“三角函數”。第二部分是選擇性必修課程，涵蓋內容有：選擇性必修第一冊第四章“數列”，第二冊第五章“導數及其應用”，跨度從高一到高三。其要求是：在必修課程中，學生通過學習函數概念與性質，總結研究函數的基本方法，掌握一些具體的基本函數類，探索函數的應用。在選擇性必修課程中，學生通過學習數列和導數，理解數列作為一類特殊的函數，是研究其他類型函數的基本工具；導數是微積分的核心內容之一，是研究函數性質的基本工具。由此可以看出，高中階段學習的函數是初中階段的繼承與發展，不僅把函數理解為刻畫變量之間依賴關系的數學語言和工具，而且把函數理解為實數集合之間的對應關系。[12]利用代數運算和函數圖像對冪函數、指數函數、對數函數等具體函數進行研究，揭示一般函數的基本性質和研究方法，隨后應用到三角函數這一具體函數的研究中，體現了“從具體到抽象，再回到具體”的認知過程。數列是刻畫項an和項數n 之間關系的一個基本數學模型，可以看作定義在自然數集上的一類特殊函數。其中,等差數列和等比數列與函數的聯系尤為密切，其通項公式和前n 項和公式是一次函數、二次函數和指數型函數的具體體現，因此它歸屬于函數的一種應用。導數是從另一個角度定量地刻畫函數的局部變化，是研究函數單調性、極值和最值的有力工具。導數的學習將函數局部性質與整體性質統整起來，給函數的研究畫上圓滿的句號。

圖1 “函數”知識框圖

（二） 基于素養指向，提煉核心內容

函數貫穿高中數學，其中不僅有很多重要的數學概念和核心知識，而且滲透了很多數學思想和方法。因此，針對不同的培養目標，核心內容也呈多樣化。“函數的單調性”是函數的知識類核心內容之一。它與函數的概念、函數的性質、函數的圖像、基本初等函數、方程與不等式及數列、導數等內容都有緊密的聯系，而且呈現一種遞進的關系。在必修課程中，單調性是從整體上刻畫函數的變化，定性地反映隨著自變量的增加，函數值變大（小）。因此，在研究函數時，有效地把函數的單調性和函數的定義域、值域、奇偶性、周期性、對稱性等性質結合起來，就能清晰地把握函數的變化和圖像特征。另外，借助函數的單調性，可以優化對方程和不等式的再認識。在三角函數和數列的研究中，單調性也是不可或缺的一項重要內容。至此，隨著研究策略從特殊到一般，再從一般到特殊，函數單調性的內涵進一步明確，之后研究方向轉到對函數局部變化的研究，使函數單調性的內涵得以完善。在選擇性必修二中，為了描述在一個更小范圍（區間）內函數的變化，引入“平均變化”這一概念，而且區間越小，越能精確地刻畫函數的變化。當區間長度趨近于0 時，平均變化的極限值（導數）刻畫的是某一點函數的變化。從單調性到導數，就是從定性地反映函數整體變化到定量地描述函數局部變化的過程。[13]定性和定量地分析、解決問題是數學的基本方法，也是數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數據分析、數學建模等素養的具體體現。這種思想方法在研究函數中至關重要，也在函數的應用中發揮著越來越大的作用。因此，以“函數的單調性”為核心內容，把函數的相關內容進行重整，可以構成一個跨章節的知識類主題（見圖2）。

圖2 “函數的單調性”知識網絡

（三） 基于學情與任務驅動，確定單元整體教學目標

高中生在初中階段已經建立常量和變量的概念，掌握了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等函數及其圖像變換，形成了對基本初等函數的初步認識。高中階段需要進一步研究函數，通過以下任務的學習，提升數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學建模、數據分析等數學學科核心素養。

1. 挖掘具體函數，提煉研究方法

繼續研究冪函數、指數函數、對數函數等具體函數，讓學生學會用函數圖像和代數運算研究函數的性質。

2. 揭示函數性質，構建數學模型

對之前學習的具體函數進行共性研究，歸納提煉出函數的一般概念，借助代數運算和函數圖像揭示函數的一般性質，讓學生經歷由特殊到一般、從具體到抽象的認知規律。在此基礎上，指導學生利用函數觀點研究方程與不等式，構建函數模型，解決一些實際問題。

3. 運用函數理論，滲透函數思想

借助函數概念和性質，從對應關系的角度建立三角函數、數列的概念，通過對三角函數、數列的單調性、最值等性質的研究，讓學生體會函數的學習是“由特殊到一般，從具體到抽象，再由一般到特殊回到具體”的認知過程以及用理論指導實踐的研究策略。

4. 理解導數內涵，完善函數研究

導數是建立在極限思想上的平均變化率的極限，它的物理意義是瞬時速度，幾何意義是切線的斜率。導數是研究函數性質的一個基本工具。之前研究函數的單調性是將定義作為判斷依據，但碰到較為復雜、難以處理的問題時，定義法將束手無策。導數的引入進一步揭示了函數的局部變化，呈現了一種新的判斷函數單調性的方法，該方法簡單易行，對研究一些較為復雜的函數的單調性、極值和最值具有普適性。

基于上述學情分析和任務驅動，“函數的單調性”單元整體教學目標設計如下：（1）經歷用幾何方法、代數方法、導數方法研究函數單調性的過程，理解函數單調性的概念，掌握研究函數單調性的方法；（2）梳理與函數單調性相關的內容，提升整體把握函數單調性的能力；（3）經歷用函數單調性解決問題的過程，體會函數單調性在解決問題中的作用，提升學生數學運算、數學抽象、邏輯推理、數據分析、直觀想象、數學建模等數學學科核心素養。

（四） 基于整體教學目標引領，確定各階段的子目標

單元整體教學設計強調的是一個整體，而要實現這個整體，需要將其逐步細化。由于教學內容涉及若干章節，因此在安排教學過程時，需要劃分成多個階段，并確定各階段的子目標。“函數的單調性”單元整體教學的階段劃分及子目標設計如下。

第一個階段：理解單調性，整體、定性描述函數的變化。

子目標1：從圖形語言過渡到符號語言，讓學生經歷從直觀想象到數學抽象的過程，感悟常用邏輯用語中的量詞和數學的嚴謹性，理解函數單調性的概念。

子目標2：通過對幾類初等函數單調性的研究，掌握用代數方法研究函數單調性的基本思路，提升學生的數學運算、邏輯推理能力。

第二個階段：理解導數，局部、定量描述函數的變化。

子目標1：經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，讓學生體會導數的內涵與思想。

子目標2：通過函數圖像直觀理解導數的幾何意義，培養學生的數學抽象、直觀想象素養。

第三個階段：建立單調性與導數的聯系，全方位理解函數。

子目標1：借助幾何直觀讓學生了解函數的單調性與導數的關系。

子目標2：利用導數研究函數的單調性，讓學生進一步理解函數單調性的本質。

子目標3：梳理與函數單調性應用相關的內容，如函數圖像、函數最值、函數零點、方程與不等式有解和恒成立等問題，讓學生體會函數單調性在解決問題中的作用，培養學生的數據分析、數學建模素養，提升學生解決綜合問題的能力。

（五） 基于階段目標落實，設計課時學習活動和評價

單元整體教學每個階段目標的落實，需要再細劃分成各個課時，設計相應的課時學習任務、學習活動、教學評價標準。為了使教學有目的、有計劃地逐層遞進，需要考慮課時前后的順序關系，教法內容的銜接遞進。因此，各課時之間依照知識的系統性和連貫性，由淺入深、由易到難進行編排，形成教學的坡度和訓練的梯度，呈階梯式、螺旋式上升。可以第一個階段“理解單調性，整體、定性描述函數的變化”為例，呈現如何設計單元整體教學目標下的子任務以及學生活動和評價標準（見表1）。

四、 主題教學的單元整體教學設計的思考

在“函數”主題教學單元整體設計實踐中不難發現，進行單元整體教學設計不僅需要準確剖析數學知識的整體結構，還要關注教學結構和認知結構。[14]數學知識結構就是教材內容的邏輯結構，認知結構就是學生主觀改造后頭腦里獲得的知識結構。顯然，良好的認知結構的形成依賴于教師對數學知識的整體認識，并配以合理的教學結構。教師在主題教學中應讓知識之間盡可能多地建立聯系，把新知識有機地嵌入已有的知識體系，幫助學生形成穩定的螺旋式上升的認知結構。因此，在進行主題教學的單元整體教學設計時，有以下幾點思考。

（一） 整體剖析知識結構，厘清知識的本原及相互之間的關系

數學知識之間具有嚴密的邏輯關系，而且能按一定的層級結構進行組織。教師要對數學學科知識有整體的理解和認識，可以借助知識框圖和結構網絡，梳理知識脈絡，提煉核心內容，基于學情與任務驅動，確定單元整體教學目標和階段子目標。這樣，在進行整體教學設計時，才能清晰規劃主題內容，讓每個階段、每個課時的教學更有針對性，讓數學知識的統整、思想方法的體現以及情感的滲透更有依據。

（二） 整體把握認知結構，關注學生數學學科素養的形成

培養學生的數學學科素養，需要教師立足學情，借助知識之間嚴密的邏輯關系，將對知識結構體系和本質的理解以適合學生的認知為前提融入主題教學中，對知識層級進行優化，按一定的層次結構組織教學。[15]在“函數的單調性”教學設計中，依據學生的認知規律，分成三個階段：第一個階段，通過與函數概念、函數的其他性質、基本初等函數相聯系，提煉單調性的研究方法；第二個階段，通過與導數相結合，完善函數的研究；第三個階段，通過梳理與函數的單調性應用相關的內容，提升學生的綜合運用能力。由此，引導學生厘清知識的來龍去脈，理解概念，把握概念本質，建立知識之間的關聯，掌握研究方法，提高學生的認知結構，促進學生數學學科核心素養階段性、連續性、整體性發展。[16]

（三） 進行教學設計時堅持素養指向，重視學生的學習活動

學生對知識的理解和認識是日積月累、循序漸進的過程，學生的數學學科核心素養是在學習數學課程內容的過程中逐步形成的。因此，主題教學下的單元整體教學設計要充分關注數學學科素養的達成，研究其融入教學內容和教學過程的具體方式及載體，教學設計的重心應凸顯學生的學習活動。在教學活動中，結合特定教學任務及素養培養目標，設計適當的教學情境，提出適切的數學問題，引發學生思考、探究和交流，形成和發展學生的數學學科核心素養。

（四） 實時監控教學過程，重視過程評價并加強反思

教學評價是教學活動不可缺少的一個組成部分，在進行主題教學活動評價時，應當把教學評價的總目標合理分解到日常教學評價的各個階段。評價應以教學目標的達成為依據，關注學生對數學知識的掌握程度和數學學科核心素養的發展水平。[17]可以采用預習檢測、課堂觀察、開放式活動中的表現、課內外作業、測驗等多樣化的評價方式，還可以借助大數據、智慧教育平臺等信息化技術采集相關數據。值得注意的是，在實施主題教學前需要對學生的認知水平進行測試，再依據《課標》和教學目標編制評價標準，在實施教學之后依據評價標準檢測學生的學習效果。通過評價，診斷學生學習的成效，發現教學中的不足，以便于教師及時改進教學行為。根據評價結果，教師有必要對主題教學設計的各個環節進行反思，對原有的安排進行適當調整和修改，優化當前的設計。同時，還要對學生的學習進行跟蹤性評價、階段性評價和發展性評價，不斷完善后續的設計，讓主題教學視角下的單元整體教學設計成為一個連續、不斷改進的動態過程。

五、 結語

相比課時教學和章節教學，主題教學的教學過程更為復雜，教學模式的選擇也更加多樣化。為了幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化數學知識體系，教師要以培養學生的數學學科核心素養為目標，秉持整體觀的思想，不斷調整、補充和完善教學內容，建立知識間的聯系，構建知識網絡，對學生知識建構和思維培育進行持續系統的鞏固、反饋、評價和改進，引導學生掌握系統化和結構化的知識，促進學生思維發展螺旋式上升。