一類復(fù)雜時滯系統(tǒng)的魯棒控制與仿真研究

劉振國，田雅平，薛令榮

(1. 山西大學(xué)自動化與軟件學(xué)院，山西 太原 030006；2. 山西財經(jīng)大學(xué)信息學(xué)院，山西 太原 030006)

1 引言

在實際工程中，許多系統(tǒng)是非線性的且具有復(fù)雜的動態(tài)特性。鑒于線性系統(tǒng)理論和方法難以對此類系統(tǒng)進(jìn)行有效地控制，近年來，非線性控制理論和方法受到廣泛關(guān)注[1]。另一方面，時滯現(xiàn)象[2]和外部擾動[3]廣泛存在于非線性系統(tǒng)中。它們會破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性能，影響系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，甚至給實際生產(chǎn)帶來嚴(yán)重的危害。此外，系統(tǒng)還可能帶有復(fù)雜的非線性增長條件[4]，并受到未知動態(tài)的影響[5]。研究復(fù)雜時滯非線性系統(tǒng)的魯棒控制和仿真問題具有重要的現(xiàn)實意義。

目前，非線性系統(tǒng)控制已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展。特別地，當(dāng)系統(tǒng)不含有時滯時，文獻(xiàn)[6]利用輸出反饋控制方法，設(shè)計得到線性控制器，實現(xiàn)了對一類非線性系統(tǒng)半全局鎮(zhèn)定。文獻(xiàn)[7]結(jié)合動態(tài)增益縮放技術(shù)，設(shè)計了一個統(tǒng)一的線性控制器，確保了非線性系統(tǒng)全局鎮(zhèn)定。當(dāng)系統(tǒng)含有時滯時，文獻(xiàn)[8]針對一類嚴(yán)格反饋非線性時滯系統(tǒng)，提出了一種基于Lyapunov-Kraso-vskii(L-K)泛函的反推控制方法，實現(xiàn)了系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定。文獻(xiàn)[9]考慮了一類帶奇數(shù)冪次的時滯高階系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，結(jié)合齊次控制方法，設(shè)計得到了一種不依賴時滯的的輸出反饋控制器。文獻(xiàn)[10]考慮了含有未知參數(shù)的高階時滯系統(tǒng)，在齊次控制策略的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步設(shè)計了自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器。另一種控制方法是Lyapunov-Razumikhin方法。例如，文獻(xiàn)[11]利用該方法研究了一類不確定非線性時滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題，利用反推設(shè)計方法，得到與時滯無關(guān)的狀態(tài)反饋控制器。不過，在多項式增長條件下，如果時滯系統(tǒng)同時含有外部擾動和未知動態(tài)，相應(yīng)的鎮(zhèn)定控制問題仍然非常有挑戰(zhàn)，至今也沒有好的控制方法解決其鎮(zhèn)定問題。文獻(xiàn)[12]已經(jīng)對幾類受外界干擾或零動態(tài)影響的非線性系統(tǒng)的控制問題開展研究，并取得了一定的成果，不過這些研究未考慮復(fù)雜多項式增長條件。文獻(xiàn)[13]雖然在多項式增長條件下給出了基于加冪積分方法的輸出控制設(shè)計，但是該研究沒有考慮時滯、外部擾動和零動態(tài)等情形。

基于上述的討論，受文獻(xiàn)[13，14]的啟發(fā)，本文將研究一類時滯非線性系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題，在復(fù)雜多項式增長條件下，充分考慮系統(tǒng)零動態(tài)和外部擾動的影響。通過靈活構(gòu)造地新的L-K泛函，并采用反推控制方法，遞歸地設(shè)計得到了狀態(tài)反饋控制器。最后，對數(shù)值例子進(jìn)行計算機(jī)仿真，驗證了控制策略的有效性。

2 狀態(tài)描述

本文考慮如下時滯非線性系統(tǒng)

(1)

其中x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn是可測狀態(tài)，ξ∈R是不可測的零動態(tài)；τ∈R+是系統(tǒng)的時變時滯；u∈R和y∈R分別是控制輸入和系統(tǒng)輸出；對于fi，i=0，1，…，n是未知連續(xù)函數(shù)。

本文的控制目標(biāo)是：對系統(tǒng)(1)，利用狀態(tài)反饋策略，設(shè)計了一個不依賴于時滯的魯棒穩(wěn)定控制器。為了實現(xiàn)這個目標(biāo)，需要以下假設(shè)：

假設(shè)1：對于i=1，2，…n，存在多項式函數(shù)c(y)≥0和c(y(t-τ))≥0，使得

其中di(t)是有界的外部擾動，并以下列方式定義si：s1=1，si=si-1+a，i=2，…，n。

為了便于后續(xù)設(shè)計，本文將用到以下引理。

引理1[2]：對于正常數(shù)m，n，以及任意的x∈R，y∈R，a∈R，b∈R，不等式|axmyn|≤c|x|m+n+n/(m+n)(m/(c(m+n)))m/n|a|(m+n)/n|y|m+n成立。

引理2[14]：設(shè)0≤δ1≤…≤δn是實數(shù)，對于任意x∈R和cj>0，j=1，…，n，有

引理3：對于任意常數(shù)q≥0和a>0，存在常數(shù)r>q(1+(n-1)a)+a，使得

q+(1+jr)(sk+a)/sj+1≤1+kr

證明：首先定義M=(1+jr)(sk+a)/sj+1，則

為了使q+M≤1+kr，需要

sj+1(1+kr)-(sk+r+jrsk+jra)

≤sj+1(1+kr)-(sk+a)(1+jr)≤(sk+a)(k-j)r，

由于(sk+a)(k-j)r≥0，引理得證。

3 狀態(tài)反饋控制設(shè)計過程

控制設(shè)計流程圖如圖1所示。

圖1 控制設(shè)計流程圖

(2)

根據(jù)假設(shè)2，可得

(3)

其中β0=k0c2。由假設(shè)1，及引理1-2，得

(4)

(5)

(6)

其中mk-1>0，Bk-1，j>0是常數(shù)。為了證明結(jié)論在這一步也成立，受文獻(xiàn)[13]的啟發(fā)，考慮泛函

(7)

由引理1，得

(8)

根據(jù)假設(shè)1，坐標(biāo)變換及引理1-3，可以推出

(9)

(10)

且定義βk=βk1+βk2+βk3，mk=mk-1+mk1+mk2，及Ak=Ak-1+k0c1/(n+1)，Bk，j=Bk-1，j+2，將式(8)，(9)，(10)代入(7)可得

(11)

4 主要結(jié)果

定理1：對于滿足假設(shè)1-2的非線性時滯系統(tǒng)(1)，可以構(gòu)造一個不依賴時滯的狀態(tài)反饋控制器，保證閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定。

證明：由函數(shù)Vn的定義，可知

(12)

其中cn=min{k0c1/c0(n+1)，2}，則有

Vn≤(Vn(t0)-mn/cn)e-cnt+mn/cn，

(13)

其中，t0是系統(tǒng)的初始時間。式(13)表明了系統(tǒng)狀態(tài)ξ，x有界，意味著閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定。

綜上，證明完成。

5 仿真實例

例1：考慮以下非線性系統(tǒng)

仿真中，系統(tǒng)的初始條件為ξ(0)=1，x1(0)= 0.3，x2(0)=-2及參數(shù)τ=1。仿真結(jié)果如圖2-4所示，可以看出系統(tǒng)所有信號都是有界的。

圖2 ξ的軌跡

圖3 x1和x2的軌跡

圖4 u的軌跡

6 結(jié)論

本文對于一類時滯非線性系統(tǒng)，考慮了多項式增長條件、零動態(tài)和外部擾動。通過構(gòu)造新的L-K泛函，設(shè)計得到魯棒控制器，確保了閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定。一個更有意義的問題是，當(dāng)系統(tǒng)含有不確定參數(shù)時，如何設(shè)計自適應(yīng)魯棒控制以實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。