基于給定收斂律的四旋翼高階滑模控制器設計

林旭梅，陳一戈，苗芳榮，邵怡文

(青島理工大學信息與控制工程學院，山東 青島 266520)

1 引言

四旋翼飛行器因其靈活的機動性能和緊湊的機械結構等特點，在各領域得到了廣泛的發展與應用[1]。四旋翼飛行器的結構呈十字形或呈X形，每個螺旋槳對應一個電機以固定的半徑對稱安裝在機體的前后、左右四個方向，且每相鄰的兩個螺旋槳轉向相反；飛行控制器和外部設備都置于機體中央部位[2]。四旋翼飛行器系統具有四個控制變量輸入(四個電機轉速)和六個狀態輸出(垂直、前后、側向、俯仰、橫滾、偏轉)，是一個典型的不穩定欠驅動系統，動力學模型具有非線性、強耦合和干擾敏感的特性[3，4]，且四旋翼飛行器在具有不確定性的環境中運動時，會受到各種自然因素的干擾，所以要實現對于四旋翼飛行控制系統的精確設計具有一定挑戰性[5]。

目前，針對四旋翼飛行器控制策略的研究，眾多學者已經提出了一系列不同的方案。其中PID控制[6]、LQR控制[7]等線性控制方法簡單可靠、易于實現，但難以滿足復雜環境下的控制要求；文獻[8]通過將自適應和反步法結合，分別對姿態和位置的跟蹤控制器進行了設計，但對外部擾動靈敏，且響應速度較慢；文獻[9]提出了一種基于線性擴張狀態觀測器與RSLQR控制器組成的雙閉環回路姿態控制器，但控制系統輸入的計算結果難以獲取；文獻[10]提出了一種魯棒H∞容錯控制方法，提高了系統魯棒性，但在強干擾下控制效果較差；文獻[11]采用了加入求積單元的高階神經網絡，處理非線性問題的能力更強，但太多神經網絡控制器的應用會導致計算時間增加且系數難以調整。

結合現有的研究，本文針對四旋翼系統存在模型不確定性和外界未知干擾的情況，提出使用給定收斂律算法(Prescribed Convergence Law)與PD控制結合的控制策略。

2 四旋翼飛行器的動力學模型分析

四旋翼飛行器通過四個電機驅動螺旋槳產生不同的轉速來控制飛行器的位置移動和姿態變換。為了便于對三維空間中的四旋翼飛行器進行模型分析，定義兩個基本坐標系：地球慣性坐標系E(XE,YE,ZE)和機體固定坐標系B(XB,YB,ZB)，四旋翼飛行器的基本坐標系與運動示意圖如圖1所示。

圖1 四旋翼飛行器基本坐標系與運動示意圖

(1)

其中：c代表余弦函數cos；s代表正弦函數sin。

對四旋翼飛行器的數學模型作出如下假設：

● 四旋翼飛行器為十字型結構；

● 四旋翼飛行器的升力和阻力與轉子速度的平方正比例相關；

● 機體固定坐標系的原點與四旋翼的質量中心和幾何中心重合；

● 四旋翼飛行器的結構呈剛性且外形結構和內部質量分布為對稱關系；

在模型中，定義控制輸入量

(2)

其中：Fi(i=1，2，3，4)為各旋翼的升力；U1表示四旋翼做平行于Z軸的垂直運動時的控制輸入；U2、U3和U4分別表示四旋翼進行橫滾、俯仰和偏轉運動時的控制輸入；Ka為升力系數；Kd為阻力系數；l表示四旋翼質心到轉子的距離；ωi(i=1，2，3，4)為每個旋翼的轉速。

四旋翼飛行器動力學模型由三個平移運動和三個旋轉運動組成，平移運動的動力學模型通過牛頓第二定律可得

(3)

通過歐拉方程力矩平衡方程描述四旋翼旋轉運動的動力學模型

(4)

對(1)、(2)、(3)、(4)式進行數學運算，得到四旋翼飛行器動力學模型

(5)

引入系統狀態方程

(6)

其中：狀態向量

(7)

則狀態空間模型

(8)

其中

3 四旋翼飛行器控制方案設計

四旋翼系統的控制策略是通過對兩個環路的控制來實現的，位置控制器(外環)根據位置誤差向姿態控制器(內環)提供所需的姿態角，姿態控制器對該姿態角進行跟蹤并在有限時間內收斂到零，保證了整個閉環的穩定性。四旋翼控制系統結構圖如圖2所示。

給定收斂律算法本質上是一種高階滑模算法，其控制目標是使系統狀態快速收斂到非線性滑模面上，并沿著滑模面在有限時間內滑動到達系統平衡點，保證了控制律的連續性和系統對匹配不確定性的魯棒性[12]。

圖2 四旋翼控制系統結構圖

ei=xi-xides∈R6

(9)

求導得

(10)

由系統狀態方程可得

(11)

定義系統控制的滑模面為

(12)

式中：α>0、β>0。

對式(12)進行求導得

(13)

(14)

設計控制律為

(15)

式中：ε、λ、γ為大于0的控制參數；kp為比例調節系數；kd為微分調節系數。

定義可調變量

(16)

式中：變量b、c是滿足以上不等式要求的兩個可調變量，且恒大于0。

控制律中PD控制部分的比例系數和微分系數應分別滿足

(17)

(18)

選取Lyapunov函數為

(19)

對Lyapunov函數求導得

=-(α+βγ)s2-βε|s|<0

(20)

由此可知，四旋翼的控制系統是穩定的。

(21)

(22)

根據文獻[13]引理2可知，針對該四旋翼系統，在定義域U∈Rn存在正定且連續函數V1可以在有限時間內到達V1(t)≡0，需滿足

(23)

即

(24)

其中：ζ∈(0，+∞)且η∈(0，1)。

由式(22)可得

(25)

(26)

綜上可得

(27)

則系統狀態能在有限時間內收斂到平衡點。根據文獻[13]引理2可知，對于任何給定的時間t0，V1滿足以下不等式

V11-η(t)≤V11-η(t0)-ζ(1-η)(t-t0)t0≤t

(28)

其中：t0為系統狀態初始時間，t為到達平衡點時間。

由式(28)可得

-ζ(1-η)(t-t0)≥V11-η(t)-V11-η(t0)

-ζ(1-η)tr≥-V11-η(t0)

(29)

化簡得

(30)

將上述計算結果代入式(30)可得

(31)

綜上，能夠得出該四旋翼系統的收斂時間。

為了進一步優化控制性能，降低抖振的影響，文中采用邊界層方法，將符號函數sgn(s)替換為連續的飽和函數sat(s)，即

(32)

其中：δ為一個較小的正常數，表示邊界層厚度。

4 仿真結果與分析

為了驗證本文所設計的基于給定收斂律算法的高階滑模控制方法在四旋翼控制系統中的有效性和可行性，下面分別對兩種控制策略的軌跡跟蹤和存在外界干擾時進行控制仿真對比。四旋翼飛行器仿真參數如表1所示。

表1 四旋翼飛行器仿真參數表

4.1 跟蹤性能仿真

圖3 四旋翼位置仿真

首先在無任何干擾的情況下進行仿真對比，綜合圖3、圖4表示的位置和姿態跟蹤響應可以看出，基于給定收斂律算法的高階滑模控制方法對期望軌跡具有更穩定、更快速的跟蹤性能。

圖4 四旋翼姿態仿真

4.2 抗擾性能仿真

圖5 擾動下四旋翼位置仿真

在t=13s時加入脈沖干擾信號，通過對比可以看出，在加入一定干擾后，基于給定收斂律算法的高階滑模控制方法能更有效地抑制干擾，魯棒性更強。

圖6 擾動下四旋翼姿態仿真

4.3 跟蹤誤差仿真

圖7 四旋翼位置跟蹤誤差仿真

綜合圖7、圖8可以看出，采用基于給定收斂律算法的高階滑模控制方法時，四旋翼的位置和姿態跟蹤誤差更小、穩定速度更快。

圖8 四旋翼姿態跟蹤誤差仿真

4.4 軌跡仿真

在三維空間中對四旋翼飛行軌跡進行仿真。期望飛行軌跡坐標如表2所示，飛行軌跡如圖9所示。

表2 四旋翼飛行器期望飛行軌跡坐標表

圖9 四旋翼飛行軌跡仿真

5 結束語

本文針對四旋翼飛行器系統欠驅動、干擾敏感的特點，設計了一種基于給定收斂律算法的高階滑模控制策略，在傳統的PD控制中引入了給定收斂律算法，該方法能夠較好地抑制系統抖振現象，提高系統的穩定性與控制精度。通過Lyapunov函數證明了四旋翼飛行器閉環控制系統的穩定性與有限時間收斂性。通過MATLAB/Simulink仿真進行驗證，結果表明本文設計的給定收斂律算法結合PD控制方法比傳統的PD控制具有更好的魯棒性、抗擾動性和更高的跟蹤精度。