HPM視角下的“球的體積和表面積”教學

文 /李德明

引 言

球是一種重要的幾何體，是培養學生空間想象能力、空間思維能力和直觀想象核心素養的重要載體。《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)對“球的表面積和體積”的相關要求為：“知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題。”[1]人教A版教材對本節內容的處理比較簡單，并未對球的體積公式進行推導證明，僅在閱讀材料“探究和發現”中對祖暅原理，柱體和錐體的體積及球的體積公式的演繹推理過程進行了簡單的介紹。筆者認為教師不應把本節課的教學目標僅僅停留在掌握球的體積公式、表面積公式及其簡單的應用這樣淺層的知識技能層面，可以充分利用數學史材料，以球的體積、表面積為知識載體，全面提升學生的數學學科核心素養和文化涵養，促進學生的深度學習和終身發展。

在本節課的教學中，筆者以《課程標準》為依據，以《中國高考評價體系》為導向，以教材為藍本，以學生學情為出發點，從History and Pedagogy of Mathematics（數學史與數學教育，以下簡稱HPM）的視角設計和實施本節課的教學。本節課教學目標設定如下。

（1）了解中國古人對球的體積公式的探索過程，體會古人“以方套圓,化圓為方”的思想方法，感受先哲的智慧；

（2）經歷球的體積和表面積公式的探索過程，了解其中蘊含的微積分思想方法；

（3）掌握球的體積和表面積公式，并能利用其解決簡單的相關問題。

一、歷史材料及其應用

（一）阿基米德墓碑問題

阿基米德（Archimedes）是古希臘偉大的數學家、物理學家，是靜力學和流體力學的創始人。在阿基米德于公元前212年不幸被羅馬士兵殺害后，馬賽拉斯為他修建了一座頗為宏偉的陵墓，并在墓碑上鐫刻了球內切于圓柱的圖形，以此緬懷阿基米德在數學上的卓越貢獻。

（二）劉輝與牟合方蓋

在《九章算術》“開立圓術”中有一段關于球的體積公式的記載，認為球的體積：圓柱的體積=圓柱的體積：正方體的體積=π∶4，（其中圓柱與正方體的各個面相切，球與圓柱體的底面與側面相切）。劉輝認為這個求法不對，并構造了一個新的幾何體——“牟合方蓋”（如圖1）。所謂“牟合方蓋”，就是指由兩個同樣大小但軸心相互垂直的圓柱體相交而成的立體圖形。

圖1

劉輝指出，牟合方蓋與相應內切球的體積之比=4∶π，只要求出牟合方蓋的體積就能計算出牟合方蓋內切球的體積。劉輝雖然沒能最終得出球的體積公式，但這為此后祖暅推導球體的體積公式提供了重要的思路。

（三）祖暅及球體積公式的推導

南北朝時期大數學家祖沖之的兒子祖暅在劉輝研究的基礎上利用祖暅原理求得了八分之一牟合方蓋與牟合方蓋外接正方體八分之一差的體積，進而求出了牟合方蓋的體積，推導出了球的體積公式。

二、教學設計與實施

（一）創設歷史情境，自然引出球的體積和表面積

圖2

師：同學們，你們看這張圖像什么？

生：……

（二）球的體積和表面積公式的推導

1.球的體積公式的推導

（1）中國古人對球的體積公式的探索

“化圓為方、以方探圓”是中國古人研究圓與球的重要思想。據《九章算術》“開立圓術”中的記載，中國古人認為球的體積∶圓柱的體積=圓柱的體積∶正方體的體積=π∶4，（其中圓柱與正方體的各個面相切，球與圓柱體的底面與側面相切）。

（2）劉輝與牟合方蓋

劉輝認為這個求法不對，他構造了一個新的幾何體——“牟合方蓋”，并指出牟合方蓋內切球的體積∶牟合方蓋的體積=π∶4，只要求出牟合方蓋的體積，就能計算出球的體積。

（3）祖暅與球的體積公式的推導

引理1——祖暅原理：夾在兩條平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等[2]。

圖3

（4）幾何模型的簡化

我們還可以對推導球的體積公式的幾何模型進行簡化（如圖4），由祖暅原理，我們不難得出底面半徑為r，高為r的圓柱和與之同底等高的圓錐的體積之差等于半徑為r的半球的體積。

圖4

2.球的表面積公式的推導

所以，S=4πR2。

3.問題解決

例：如上圖5，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。

圖5

三、學生反饋

課后，我們以問卷調查、個別訪談和作業的形式，就本節課的教學情況和教學效果向學生進行了調查研究。從學生課后反饋的信息來看，本節課很好地達成了預定的教學目標，學生能夠獨立思考完成課堂限時訓練和課后鞏固練習，優秀率達90%以上，從中反映出本節課知識技能方面的教學目標達成度很好。對于球的體積和表面積公式的探究歷史，100%的學生表示已了解公式的探究歷史。對于球的表面積和體積公式的推導過程，66.1%的學生表示理解，26.8%的學生表示基本理解，7.1%的學生表示還未理解公式的推導過程，主要問題集中于利用牟合方蓋推導球的體積的過程。其中，92.8%的學生表示喜歡這樣的數學課堂教學方式，認為數學文化和數學史的融入能夠使數學課堂更加有趣、豐富，有助于他們理解、內化數學知識；也有7.2%的學生認為，數學文化和數學史的融入對其數學學習沒有明顯的幫助，數學文化和數學史的融入會占用一部分的課堂教學時間，導致其訓練時間減少。

四、教師反思

在教學過程中，教師應結合具體教學內容和學生學情，合理地提煉數學史材料，使之發揮出最大的教學價值，而不能僅限于數學史材料的簡單堆疊。

我們認為數學文化和數學史融入課堂教學過程應該注意以下幾點。

（1）選取的數學史材料應在本節課教學中具有很大的教學價值和教育意義；

（2）數學文化和數學史的融入應自然、流暢，在數學史材料的應用過程中，教師需要考慮到知識發生發展的歷史性和邏輯性以及學生的學情，需對數學史材料應用方式進行充分考量和恰當選擇，必要時需對數學史材料進行適度加工處理，使之更適合課堂教學；

（3）數學文化和數學史的融入需要課內、課外相結合。教學課時的有限性導致我們在課堂教學中能夠學習的內容是有限的，數學文化和數學史的融入必然要占用一定的教學時間，我們想這也是導致HPM研究高評價、低應用的一個重要因素[3]。因此，在教學中我們不僅要在數學材料的深度加工和應用方法的恰當選取上下功夫，提高課堂教學效率，還應該課內、課外相結合，引導學生通過網絡、圖書等各種平臺和途徑自主收集、整理相關數學史材料，學習相關數學文化和數學史，以達到對數學文化和數學史的深入學習和理解。

結 語

數學文化和數學史作為數學學科的歷史積淀，是數學學科的精髓所在，是提高學生數學學科核心素養的重要載體。HPM的研究取得了很多令人矚目的成果，很多一線教師也通過教學實踐研究開發出了很多HPM視角下的優秀課堂教學案例。但筆者認為，HPM的研究是常做常新的工作，面對不同的教學內容、不同的數學史材料和不同的學情，數學史材料的選取，融入課堂的方式應有所差異。對于相同的教學內容、同樣的數學史材料和相似的學情，教師也會有不同的教學設計思路和教學方法。筆者認為這就是教學的魅力所在，也只有這樣我們的教學才能真正面向全體學生，實現“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的數學教學目標[4]。