協(xié)同圍攻策略改進(jìn)的灰狼算法及其PID 參數(shù)優(yōu)化

劉威，郭直清，姜豐，劉光偉，靳寶，王東

1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新123000

2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究所，遼寧 阜新123000

3.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 智能科學(xué)與數(shù)學(xué)研究院，遼寧 阜新123000

4.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 礦業(yè)學(xué)院，遼寧 阜新123000

+通信作者E-mail:lv8218218@126.com

最優(yōu)化問(wèn)題是指在一定約束條件下，利用數(shù)學(xué)優(yōu)化算法從可行方案中選出最優(yōu)方案從而提高整個(gè)系統(tǒng)收益的問(wèn)題。但隨著工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中出現(xiàn)越來(lái)越多的大規(guī)模高維度非線性問(wèn)題及人們對(duì)實(shí)際問(wèn)題解集的正確性和精度要求增高，這使得傳統(tǒng)優(yōu)化算法不再適用[1]，而基于群體啟發(fā)的智能優(yōu)化算法卻有較好的求解結(jié)果。因此近半世紀(jì)以來(lái)，許多基于群體啟發(fā)的智能優(yōu)化算法相繼被提出，例如粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）[2]、蝴蝶優(yōu)化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）[3]、飛蛾撲火算法（moth-flame optimization，MFO）[4]、原子搜索算法（atom search optimization，ASO）[5]、多元宇宙優(yōu)化算法（multi-verse optimizer，MVO）[6]和鯨魚(yú)優(yōu)化算法（whale optimization algorithm，WOA）[7]等。

灰狼優(yōu)化算法（grey wolf optimizer，GWO）是Mirjalili等[8]于2014 年受灰狼群體行為啟發(fā)而提出的一種新型元啟發(fā)式算法。由于其在解決某些優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有收斂速度快、參數(shù)少等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于工程理論實(shí)踐中，但隨著優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜度增大，GWO 仍存在全局搜索能力差、易陷入局部最優(yōu)等缺陷。針對(duì)于此，研究學(xué)者提出了許多較好的GWO 改進(jìn)算法，其主要分為四類(lèi)：

（1）初始種群多樣性改進(jìn)策略。在元啟發(fā)式算法中，增強(qiáng)初始種群多樣性對(duì)算法收斂性有極大影響，其中以混沌映射策略和反向?qū)W習(xí)策略改進(jìn)為主。在混沌映射中，二維混沌映射[9]、Tent 映射[10]、Kent 映射[11]、Cubic 映射[12-13]等已被廣泛用于GWO 初始化種群中并成功提高了算法收斂性；在反向?qū)W習(xí)中，龍文等[14]、顧清華等[15]、張新明等[16]、張興輝等[17]、周蓉等[18]將反向?qū)W習(xí)策略用于GWO 種群初始化中并成功增強(qiáng)了初始種群多樣性，而且還平衡了算法全局勘探和局部開(kāi)采能力。

（2）控制參數(shù)的非線性改進(jìn)策略。在GWO 中，控制參數(shù)A和C幾乎決定了算法勘探和開(kāi)采能力。其中，參數(shù)A主要由收斂因子a決定且對(duì)其的研究改進(jìn)較多。為了增強(qiáng)算法的優(yōu)化性能，對(duì)收斂因子a的修正幾乎都是將其修改為非參數(shù)收斂因子，例如：指數(shù)衰減函數(shù)[19]、對(duì)數(shù)衰減函數(shù)[20]、正弦與余弦函數(shù)及二次函數(shù)[21]等。

（3）灰狼位置更新改進(jìn)策略。灰狼個(gè)體位置的更新對(duì)算法收斂性和全局探索性有較大影響，因此，不同的位置更新方式可提高GWO 的優(yōu)化性能。龍文等[14]受差分進(jìn)化思想啟發(fā)對(duì)灰狼位置進(jìn)行改進(jìn)以平衡算法的全局勘探和局部開(kāi)采能力；張鑄等[22]引入正態(tài)云模型更新灰狼位置，提高了算法跳出局部最優(yōu)解的能力，增強(qiáng)了算法優(yōu)化性能。

（4）多算法交叉融合改進(jìn)策略。不同優(yōu)化算法處理同一復(fù)雜問(wèn)題時(shí)有不同的搜索策略，故算法間的交叉融合也是GWO 算法的一種改進(jìn)方向。例如：張新明等[23]將灰狼和郊狼算法混合提出了一種灰狼與郊狼混合優(yōu)化算法（hybrid COAwith GWO，HCOAG）；顧清華等[15]將遺傳算法與灰狼算法混合提出了遺傳-灰狼混合算法（hybrid genetic grey wolf algorithm，HGGWA）；黃晨晨等[24]將蛙跳算法和灰狼算法混合提出了混合蛙跳-灰狼優(yōu)化算法（shuffled frog leaping GWO，SFL-GWO）等。這些改進(jìn)的混合算法結(jié)合不同算法的搜索優(yōu)勢(shì)，均增強(qiáng)了原始算法的優(yōu)化性能。

以上研究各有所長(zhǎng)，都在不同時(shí)期不同領(lǐng)域?qū)WO 算法進(jìn)行了較好的改進(jìn)，但根據(jù)無(wú)免費(fèi)午餐定理[25]可知，沒(méi)有任何一種算法可以解決所有類(lèi)型的優(yōu)化問(wèn)題。因此本文針對(duì)GWO 算法早熟收斂、勘探和開(kāi)采能力不平衡的問(wèn)題，提出了一種基于Chebyshev融合狼群協(xié)同圍攻策略的改進(jìn)GWO 算法（Chebyshev and wolf swarm cooperative attack strategy of grey wolf optimizer，CCA-GWO）。為了驗(yàn)證CCA-GWO處理復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的能力，利用8 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)測(cè)試其在不同維度下（10 維、30 維和100 維）的優(yōu)化性能并將其應(yīng)用于PID（proportion integration differen-tiation）參數(shù)優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與GWO 及其他優(yōu)化算法對(duì)比，CCA-GWO 不僅在各維度下能取得較好的效果，而且在處理PID參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)有較好性能。

1 灰狼優(yōu)化算法（GWO）

GWO 是Mirjalili等[8,14,26]受灰狼群體行為啟發(fā)，模擬灰狼群等級(jí)制度和捕食狩獵行為而提出的一種元啟發(fā)式算法。灰狼群通常由α、β、δ和ω四個(gè)等級(jí)灰狼構(gòu)成，其中α狼為狼群中等級(jí)最高的灰狼，主要負(fù)責(zé)領(lǐng)導(dǎo)、捕食和食物分配等主要決策；β狼為α狼下屬灰狼，主要負(fù)責(zé)協(xié)助α狼進(jìn)行決策；δ狼是α和β狼的下屬灰狼，主要負(fù)責(zé)放哨和偵察等工作；ω狼是等級(jí)最低的灰狼，主要負(fù)責(zé)維持灰狼群內(nèi)部平衡。灰狼群捕食狩獵行為可分為三個(gè)階段：追蹤并接近獵物；包圍并迫使獵物停止移動(dòng)；攻擊并捕獲獵物。

假設(shè)灰狼種群數(shù)為N，第i只灰狼的位置為Xi，α狼所在位置為群體最優(yōu)解，β狼所在位置為第二最優(yōu)解，δ狼所在位置為第三最優(yōu)解。則灰狼捕食狩獵行為的數(shù)學(xué)模型可描述如下。

（1）追蹤、包圍行為的數(shù)學(xué)模型為：

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，D表示灰狼與獵物兩者之間的位置距離，P代表獵物，XP(t)為第t次迭代時(shí)獵物所在的位置，X(t)為灰狼個(gè)體所在位置，A和C為參數(shù)，可表示為：

其中，r1、r2為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)，a為算法收斂因子，可定義為：

其中，tmax為最大迭代次數(shù)。

（2）迫使獵物停止移動(dòng)并進(jìn)行攻擊從而捕獲獵物的數(shù)學(xué)模型為：

其中，式（6）～（8）分別表示α狼、β狼、δ狼與ω狼間的距離；Xα、Xβ和Xδ分別表示α狼、β狼和δ狼的位置向量；式（12）為ω狼的位置更新方式。

2 Chebyshev 融合頭狼引導(dǎo)的群體協(xié)同圍攻策略的改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法

2.1 Chebyshev 種群初始化

在灰狼算法中，灰狼群體所處初始位置對(duì)求解最優(yōu)值有極大約束作用。初始群體在解空間中分布越均勻，算法尋到最優(yōu)值概率越大。與隨機(jī)搜索策略相比，混沌搜索由于其隨機(jī)性、遍歷性和非重復(fù)性等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于初始群體的生成中。因此，為更好地讓灰狼初始群體覆蓋整個(gè)解空間，本文引用混沌映射對(duì)灰狼群體進(jìn)行初始化。然而不同的混沌映射對(duì)算法初始種群效果不同，故本文通過(guò)對(duì)Gauss、Tent 和Chebyshev 映射分析對(duì)比，選擇適用于灰狼優(yōu)化算法的混沌映射，三種混沌映射生成的初始種群及原始初始種群如圖1 所示。

圖1（a）～圖1（d）分別表示原始初始灰狼種群，由Tent 映射生成的初始灰狼種群，由Gauss 映射生成的初始灰狼種群以及由Chebyshev 生成的初始灰狼種群。由圖1 可知，從初始灰狼種群的生成來(lái)看，使用Gauss 映射和隨機(jī)生成的灰狼群在空間中分布更為均勻，甚至Tent 映射的效果也優(yōu)于Chebyshev 映射，但本文最終還是選擇使用Chebyshev 作為最終的混沌映射初始種群生成方法，這是為了權(quán)衡灰狼群在狩獵過(guò)程中，處于邊界群體對(duì)整個(gè)算法整體的效率影響，以便于增強(qiáng)算法處理極端問(wèn)題的能力，同時(shí)由于Chebyshev 映射自身生成隨機(jī)數(shù)范圍在[-1，1]之間，為兼顧空間分布遍歷性和種群反向抑制特點(diǎn)，最終將Chebyshev 映射引入GWO 算法，其數(shù)學(xué)模型為：

其中，x（t）為第t次迭代時(shí)種群個(gè)體且x∈[-1,1]，t為當(dāng)前迭代次數(shù)。

2.2 頭狼引導(dǎo)的狼群協(xié)同圍攻策略

在GWO 算法中，A和C是控制灰狼群體包圍和狩獵動(dòng)物的重要參數(shù)，在平衡算法勘探和開(kāi)采中有重要作用。其中參數(shù)A的取值由收斂因子a決定。圖2 給出了GWO 原始參數(shù)a和參數(shù)C在1 000 次迭代場(chǎng)景下的變化規(guī)律，從圖2 可知參數(shù)a呈線性下降趨勢(shì)，表明了灰狼與獵物間的距離呈線性關(guān)系；而參數(shù)C是0～2 間的均勻分布隨機(jī)數(shù)，表明灰狼與獵物間的距離隨機(jī)改變，對(duì)全局勘探和局部開(kāi)采無(wú)明顯作用，兩者皆與實(shí)際自然界中的狼群狩獵規(guī)則不符。

圖2 參數(shù)a 與參數(shù)C 在1 000 次迭代下的函數(shù)值Fig.2 Function value of parameter a and C in 1000 iterations

在自然界中，狼群狩獵時(shí)首先會(huì)自動(dòng)排成一字長(zhǎng)蛇陣，在頭狼的帶領(lǐng)下對(duì)獵物群展開(kāi)試探性騷擾和沖鋒，迫使獵物群將體弱個(gè)體凸顯出來(lái)。當(dāng)鎖定目標(biāo)后，頭狼就會(huì)帶領(lǐng)狼群發(fā)起總攻，若在短時(shí)間內(nèi)追上獵物就直接展開(kāi)圍攻；倘若出現(xiàn)第一波追趕沒(méi)有成功且頭狼體能消耗較大情況，則次頭狼就會(huì)繞到頭狼之前繼續(xù)帶領(lǐng)狼群展開(kāi)第二波追擊直到捕獲獵物群中的體弱個(gè)體。

（1）收斂因子a的修正

為模擬自然界中的狼群狩獵行為，本文對(duì)參數(shù)a進(jìn)行修正，修正后為：

其中，a∈[0,2]，t=1,2,…,tmax2 代表當(dāng)前迭代次數(shù)，tmax代表最大迭代次數(shù)。式（14）含義為：參數(shù)a在前期迭代尋優(yōu)過(guò)程中（t∈[1,tmax/2]），灰狼群與獵物群中的個(gè)體體力充足，兩者距離呈線性關(guān)系，而在后期迭代尋優(yōu)過(guò)程中，狼群頭狼（α狼）體力有所下降，其與次頭狼（β狼）進(jìn)行交換，此時(shí)頭狼速度下降，狼群速度下降，與獵物群間的距離增大，但當(dāng)交替后，次頭狼引導(dǎo)狼群速度提高，而此時(shí)獵物群速度下降，兩者間距離逐漸拉進(jìn)，最終灰狼捕獲獵物（見(jiàn)圖3）。

圖3 參數(shù)a 修正后在1 000 次迭代下的變化曲線Fig.3 Variation curve under 1000 iterations after parameter a is modified

根據(jù)圖3 收斂因子a的變化曲線可知，經(jīng)修正后的算法迭代過(guò)程主要分三部分：（1）迭代中前期，收斂因子呈線性遞減趨勢(shì)，此時(shí)灰狼群和獵物群體力充足，兩者間距保持某個(gè)閾值逐漸逼近，收斂因子線性遞減，模擬灰狼追蹤獵物兩者位置接近過(guò)程；（2）迭代中期，算法呈平緩非線性遞減趨勢(shì)，此時(shí)頭狼和次頭狼交換位置，灰狼群速度減慢，故與獵物間間距變大，收斂因子平緩降低，模擬頭狼交換帶來(lái)的能量損失；（3）迭代后期，算法呈先快速遞減再逐漸平緩遞減趨勢(shì)，此時(shí)頭狼與次頭狼位置交替完畢，而獵物群因體力不支速度下降，灰狼群速度上升，故此時(shí)兩者間距急劇減小，直至包圍獵物群時(shí)速度又突然降低，收斂因子變平緩。

（2）控制參數(shù)C的修正

由文獻(xiàn)[12]可知，GWO 算法的全局勘探能力主要取決于控制參數(shù)C且其取值是為了能隨機(jī)增加(C>1)或減輕(C<1)灰狼群體靠近獵物的難易程度。為增加控制參數(shù)C對(duì)算法全局勘探和局部探索性的能力，本文對(duì)參數(shù)C進(jìn)行修正。但為了模擬自然界中的頭狼與次頭狼的相互交替結(jié)果，主要對(duì)α和β狼參數(shù)進(jìn)行修正，修正后為：

其中，C1,C2∈[0,2]，A1=A2=A，C1和A1為α狼的控制參數(shù)，代表頭狼體力下降速度降低過(guò)程；C2和A2為β狼的控制參數(shù)，代表次頭狼轉(zhuǎn)化為頭狼后速度增加過(guò)程。由圖4 可知，修正后的參數(shù)C在前期全局勘探能力和局部開(kāi)采能力逐漸較低，這是由于頭狼體力下降速度減少所致；當(dāng)頭狼和次頭狼交替時(shí)，灰狼群全局勘探和局部開(kāi)采能力保持交換時(shí)的能力（群體適應(yīng)過(guò)程），直至頭狼和次頭狼交替位置后，次頭狼速度逐漸上升，灰狼群全局勘探能力和局部開(kāi)采能力增強(qiáng)，直至捕獲獵物。

圖4 參數(shù)C 修正后在1 000 次迭代下生成的隨機(jī)數(shù)Fig.4 Random number generated under 1000 iterations after parameter C is modified

（3）權(quán)值位置更新策略

控制參數(shù)A和C被修正后，位置公式修正為：

由于在灰狼等級(jí)制度中，α、β和δ狼等級(jí)制度不一致且為模擬頭狼和次頭狼的相互交替過(guò)程及灰狼體力消耗過(guò)程，本文對(duì)位置更新方程式（12）進(jìn)行修正，表達(dá)式為：

其中，μ1、μ2、μ3分別為α、β和δ狼的距離權(quán)重，其表達(dá)式為：

2.3 CCA-GWO 算法實(shí)現(xiàn)及時(shí)間復(fù)雜度分析

（1）改進(jìn)的CCA-GWO 算法求解最優(yōu)化問(wèn)題的尋優(yōu)過(guò)程執(zhí)行偽碼如算法1 所示。

算法1CCA-GWO 算法執(zhí)行偽碼

在CCA-GWO 算法中，種群初始化過(guò)程需要時(shí)間為O(n×Dim)，由于每次計(jì)算適應(yīng)度時(shí)需額外計(jì)算一次a的值，CCA-GWO 個(gè)體適應(yīng)度計(jì)算更新過(guò)程需要時(shí)間為O(Maxiterations×n×Dim+Maxiterations)，其中Maxiterations為算法最大迭代次數(shù)，n為種群數(shù)量，Dim為搜索空間維度。故改進(jìn)算法CCA-GWO 的總時(shí)間復(fù)雜度為O(Maxiterations(1+n×Dim))。

綜上所述，CCA-GWO 的時(shí)間復(fù)雜度雖然比BOA、WOA、ASO、GWO 時(shí)間復(fù)雜度多O(Maxiterations)，但其優(yōu)于MFO 和MVO，并且由于GWO 參數(shù)少，所有算法的最終時(shí)間復(fù)雜度排序應(yīng)為：GWO≈CCAGWO≈WOA≈BOA≤ASO＜MFO＜MVO。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證改進(jìn)算法（CCA-GWO）具有更好的優(yōu)化和收斂性能，本文選取8 組基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)在不同維度下（10 維、30 維和100 維）進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)并與6 種元啟發(fā)式算法進(jìn)行對(duì)比。

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及參數(shù)設(shè)置

（1）實(shí)驗(yàn)環(huán)境

操作系統(tǒng)為64位的Windows 10，CPU 為Intel?CoreTMi7-5557U，主頻3.10 GHz，內(nèi)存為8 GB，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為MATLAB2020b。

（2）參數(shù)設(shè)置

為保證實(shí)驗(yàn)客觀公平性，本文初始化參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模50；最大迭代次數(shù)1 000；實(shí)驗(yàn)次數(shù)50；統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)為均值（Mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（Std）及最優(yōu)值（Best）；對(duì)比算法 為BOA[3]、MFO[4]、ASO[5]、MVO[6]、WOA[7]和GWO[8]。

（3）基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

本文選取8 組基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)（每組測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值均為0）驗(yàn)證改進(jìn)算法優(yōu)化性能，其中F1～F5為單峰函數(shù)，用于測(cè)試算法局部開(kāi)采能力，F(xiàn)6～F8為多峰函數(shù)，用于測(cè)試算法平衡全局勘探和局部開(kāi)采的能力。其中基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)為：F1Sphere，F(xiàn)2Schwefel 2.22，F(xiàn)3Schwefel 1.2，F(xiàn)4Schwefel 2.21，F(xiàn)5Quartic，F(xiàn)6Rastrigin，F(xiàn)7Ackley，F(xiàn)8Griewank。

3.2 多維度基準(zhǔn)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果分析與對(duì)比

為驗(yàn)證CCA-GWO 相對(duì)于對(duì)比算法具有更好的優(yōu)化性能，分別對(duì)8 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)在10 維度、30 維度和100 維度情況下進(jìn)行仿真數(shù)值實(shí)驗(yàn)。表1 給出了7 種元啟發(fā)式算法BOA、MFO、ASO、MVO、WOA、GWO 及CCA-GWO 在50 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行結(jié)果的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及最優(yōu)值對(duì)比分析。

通過(guò)對(duì)表1、表2 及表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知，從總體來(lái)說(shuō)，CCA-GWO 相較于其余6 種元啟發(fā)式算法具有更好的收斂精度和穩(wěn)定性，且隨著基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)維度不斷增加，其余對(duì)比算法收斂精度均有所下降，但CCA-GWO 尋優(yōu)結(jié)果明顯優(yōu)于其他算法。

（1）無(wú)論是在低維度（10 和30），還是在高維度（100）上，CCA-GWO在F1、F3、F6、F8上的尋優(yōu)結(jié)果均達(dá)到了理論最優(yōu)值0，并且除F7外，CCA-GWO 在其余測(cè)試函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在與其他算法的對(duì)比中表現(xiàn)出更好的尋優(yōu)性能。

（2）由測(cè)試函數(shù)在3 個(gè)維度下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，CCA-GWO 在測(cè)試函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)值除F7外均比其余算法高數(shù)個(gè)甚至數(shù)百個(gè)數(shù)量級(jí)且由圖5 收斂曲線可知，CCA-GWO 收斂速度更快且精度最高。

（3）由表1、表2 及表3在F7上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，隨著維度的不斷增加，除BOA 外其余對(duì)比算法在F7上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均未發(fā)生顯著性變化，表明大部分元啟發(fā)式算法在F7函數(shù)上的尋優(yōu)不適用性，同時(shí)也可得知CCA-GWO在F7上的尋優(yōu)不適用性是由于GWO 算法的自身限制所致。

表1 7 種算法在8 組測(cè)試函數(shù)上的對(duì)比結(jié)果(Dim=10)Table 1 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions（Dim=10）

表2 7 種算法在8 組測(cè)試函數(shù)上的對(duì)比結(jié)果(Dim=30)Table 2 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions (Dim=30)

表3 7 種算法在8 組測(cè)試函數(shù)上的對(duì)比結(jié)果(Dim=100)Table 3 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions (Dim=100)

（4）由單峰測(cè)試函數(shù)（F1～F4）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，CCA-GWO 在3 個(gè)維度下的尋優(yōu)結(jié)果均高于其余對(duì)比算法，表明了改進(jìn)算法的局部搜索能力更強(qiáng)。

（5）由多峰測(cè)試函數(shù)（F6、F8、F9）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，CCA-GWO 在3 個(gè)維度下的各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)均高于其余6 種對(duì)比算法，不僅體現(xiàn)了CCA-GWO 具有更強(qiáng)的全局收斂能力，而且還具有更強(qiáng)的收斂速度。

綜上所述，CCA-GWO 相較于其余6 種算法不僅具有更好的局部收斂性和全局探索能力，而且通過(guò)測(cè)試函數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，CCA-GWO 在求解多維度復(fù)雜函數(shù)具有更好的可靠性和魯棒性。

為更好地對(duì)比7 種算法的收斂性，選取兩個(gè)單峰函數(shù)（F2和F4）和兩個(gè)多峰函數(shù)（F6和F8）的適應(yīng)度進(jìn)化曲線圖進(jìn)行分析對(duì)比（圖5）。

圖5 不同維度下不同算法收斂曲線Fig.5 Convergence curves of different algorithms under different dimensions

由圖5 可知：

（1）在維度相同時(shí)，CCA-GWO 相較于其余6 種元啟發(fā)式算法，無(wú)論是在求解單峰還是多峰函數(shù)上都具有更好的收斂性能；

（2）在維度不同時(shí)，相較于其余6 種元啟發(fā)式算法，CCA-GWO 能保證更好的收斂速度和收斂精度。

3.3 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)與算法排名

50 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可反饋出算法整體穩(wěn)定性，但并不能衡量算法每次運(yùn)行結(jié)果。因此，為更好評(píng)估改進(jìn)算法的優(yōu)化性能，本文采用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)[27-28]給出在5%顯著性水平下8組基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中的CCA-GWO 與對(duì)比算法的p值。例如，若最佳算法為CCA-GWO，則在CCAGWO vs.GWO 等之間進(jìn)行比較。表4 給出了10 維、30 維和100 維下，CCA-GWO 與其余6 種元啟發(fā)式算法的秩和檢驗(yàn)的p值。

由表4 可知，在10 維度和30 維度的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果下，CCA-GWO 與其他6 種元啟發(fā)算法相比具有更好的優(yōu)化性能，而在100 維度時(shí)，CCA-GWO 實(shí)驗(yàn)結(jié)果也僅次于BOA在F7函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。因此從整體上來(lái)看，CCA-GWO 具有更好的統(tǒng)計(jì)顯著性。

為更好對(duì)所有算法進(jìn)行分析，本文采用MAE 指標(biāo)對(duì)算法進(jìn)行排序[29]。MAE 表達(dá)式為：

其中，Meani為算法最優(yōu)值的均值，oi為對(duì)應(yīng)基準(zhǔn)函數(shù)的理論最優(yōu)值，Nf為基準(zhǔn)函數(shù)個(gè)數(shù)。為方便記錄數(shù)據(jù)，表5 中MAE 所在列中的值代表各維度下值的均值，即MAE=(MAE10+MAE30+MAE100)/3。

表5 不同維度下的算法排名Table 5 Algorithm ranking under different dimensions

為更清晰地顯示CCA-GWO 的優(yōu)越性，再次選取F2、F4、F6和F8進(jìn)行可視化對(duì)比分析。圖6 展示了4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)在不同維度下的箱式收斂圖。由圖6 對(duì)比分析可知，無(wú)論是在單峰還是多峰函數(shù)，無(wú)論是在10 維、30 維還是100 維，CCA-GWO 的收斂性能和穩(wěn)定性能對(duì)比其余6 種算法效果均最佳，進(jìn)一步表明了CCA-GWO 算法的有效性。

圖6 不同算法收斂箱式圖Fig.6 Convergence box diagrams of different algorithms

3.4 時(shí)間對(duì)比分析

為驗(yàn)證CCA-GWO 算法的運(yùn)行速度，對(duì)7 個(gè)優(yōu)化算法在8 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行了50 次獨(dú)立測(cè)試并記錄了3 個(gè)維度下各算法平均運(yùn)行時(shí)間。圖7 表示7個(gè)算法在F2、F4、F6及F8函數(shù)上的運(yùn)行時(shí)間柱狀圖。圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）分別代表7 種算法在10、30和100 維下的平均運(yùn)行時(shí)間，圖7（d）為各維度下不同算法在8 個(gè)測(cè)試函數(shù)上的平均運(yùn)行時(shí)間之和。

由圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）可知，在給出的4 個(gè)測(cè)試函數(shù)中，CCA-GWO 在30 維下的平均運(yùn)行時(shí)間均優(yōu)于其余對(duì)比算法，在10 維下的平均運(yùn)行時(shí)間僅次于WOA，雖然在100 維時(shí)其耗時(shí)僅好于ASO和MVO，但是由圖7（d）可知，CCA-GWO 在8 個(gè)測(cè)試函數(shù)上的總平均運(yùn)行時(shí)間均好于對(duì)比算法。總體而言，改進(jìn)算法相較于對(duì)比算法耗時(shí)更少，優(yōu)化性能更強(qiáng)。

圖7 各維度下7 種算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Fig.7 Running time comparison of 7 algorithms under different dimensions

3.5 收斂性證明

命題1若GWO 收斂，則CCA-GWO 也收斂。

證明由文獻(xiàn)[30]可知，GWO 是收斂的，也即當(dāng)t→∞時(shí)，X(t+1)→Xp(t)，故要證改進(jìn)收斂，只須證t→∞時(shí)，X(t+1)→Xp(t)，也即當(dāng)t→∞時(shí)，

即當(dāng)t→∞時(shí)，

因?yàn)锳=2ar1-a且由式（14）可知，當(dāng)t→∞時(shí)，a→0，所以A→0 ?式（22）成立?式（21）成立。

因此，當(dāng)t→∞時(shí)，CCA-GWO 收斂。

4 CCA-GWO 在PID 參數(shù)優(yōu)化上的應(yīng)用

4.1 PID 控制理論

PID 控制器因其結(jié)構(gòu)清晰、魯棒性好、參數(shù)調(diào)節(jié)方便等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)中[31]。近年來(lái)，無(wú)人駕駛的興起引導(dǎo)了控制理論的變革，PID 作為控制理論中的重要組成部分也將再次成為研究熱點(diǎn)之一。

PID 控制器由比例單元P、積分單元I 和微分單元D 構(gòu)成，其精髓是根據(jù)被控對(duì)象實(shí)際值與期望值間的偏差來(lái)形成控制策略，然后通過(guò)參數(shù)優(yōu)化使閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定來(lái)實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)[32]。假設(shè)給定控制對(duì)象M，則PID 控制器執(zhí)行原理如圖8 所示。

圖8 PID 控制器執(zhí)行原理Fig.8 Execution principle of PID controller

圖8 中，rin(t)為系統(tǒng)輸入信號(hào)，yout(t)為系統(tǒng)輸出信號(hào)，e(t)為系統(tǒng)誤差。由圖8 可知，PID 控制器的傳遞函數(shù)為：

式中，Kp是比例因子，Ki是積分系數(shù)，Kd是導(dǎo)數(shù)系數(shù)，e(t)為系統(tǒng)誤差。Kp、Ki、Kd是PID 控制器中關(guān)鍵參數(shù)，其數(shù)值變化直接影響PID 控制器性能，故對(duì)PID 參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化十分重要。

4.2 PID 參數(shù)優(yōu)化仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證改進(jìn)算法CCA-GWO 的PID 參數(shù)優(yōu)化性能，本文選取二階延遲系統(tǒng)作為仿真算例并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。為更好地觀測(cè)改進(jìn)算法的優(yōu)越性能，對(duì)文獻(xiàn)[33]中的傳遞函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單變換得：

式中，G(s)為傳遞函數(shù)，s代表系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)。

仿真實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)函數(shù)為：

其中，e(t)<0 為系統(tǒng)誤差，表示系統(tǒng)輸入與輸出間的誤差；u(t)表示系統(tǒng)輸出信號(hào)，ω3|e(t)|為超調(diào)項(xiàng)；ω1、ω2、ω3為權(quán)重，取值范圍為[0，1]且ω3?ω1。

設(shè)算法初始種群規(guī)模為50，最大迭代次數(shù)為100次，輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，采樣時(shí)間為0.001 s，Kp、Ki、Kd的搜索范圍為[0,50]，仿真時(shí)間為100 s。利用6 種對(duì)比算法及改進(jìn)算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得到優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線和階躍響應(yīng)信號(hào)輸出曲線，如圖9 和圖10 所示。

圖9 7 種算法的收斂曲線Fig.9 Convergence curves of 7 algorithms

從圖9 不同算法的收斂曲線可以看出，改進(jìn)的GWO 算法（CCA-GWO）相較于6 種對(duì)比算法具有更快的收斂速度，表明CCA-GWO 算法具有更好的收斂性能；從圖10 的階躍響應(yīng)信號(hào)輸出曲線可以得知，CCA-GWO 算法的超調(diào)量及調(diào)整時(shí)間相較于對(duì)比算法更小，說(shuō)明CCA-GWO 算法相較于對(duì)比算法具有更好的系統(tǒng)穩(wěn)定性。綜上所述，在PID 參數(shù)優(yōu)化中，CCA-GWO 相較于對(duì)比算法具有更好的優(yōu)化性能。

圖10 不同算法的階躍響應(yīng)信號(hào)輸出曲線Fig.10 yout curves of step response signal of different algorithms

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)灰狼優(yōu)化算法在求解多維度復(fù)雜函數(shù)時(shí)收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，本文通過(guò)Chebyshev 映射初始化灰狼種群并受狼群狩獵時(shí)頭狼與次頭狼的相互交替行為啟發(fā)，修正了控制參數(shù)A、C以及灰狼的位置更新方程，不僅平衡了算法的全局勘探和局部開(kāi)采能力，而且提高了算法收斂性能。8 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)在10 維、30 維和100 維下的仿真實(shí)驗(yàn)，以及與6 種元啟發(fā)式算法BOA、MFO、ASO、MVO、WOA 和GWO的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比顯示，CCA-GWO 在多個(gè)維度的優(yōu)化結(jié)果上具有更高的收斂精度和更好的穩(wěn)定性；最后將改進(jìn)算法應(yīng)用于PID 參數(shù)優(yōu)化中，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明CCA-GWO 比其余6 種元啟發(fā)式算法具有更大的求解優(yōu)勢(shì)和更好的全局收斂性能。