以應變能最小為目標的航空薄壁件裝夾優化方法＊

門星臣 王仲奇 杜兆才 李 超 常正平

（①西北工業大學機電學院，陜西 西安 710072；②中國航空制造技術研究院，北京 100012）

薄壁件指各種薄板及加強筋構成的輕量化結構，壁厚小、重量輕且強度高。在航空領域，飛機各類結構件普遍采用薄型板件和加強構件組成的結構。但薄壁件剛性差，且易變形，在裝配過程中易產生偏差，影響飛機外形準確度[1]。在薄壁件裝配過程中，柔性夾具的布局及夾緊順序都會對裝夾變形有較大影響[2]。因此合理的裝夾方案可有效降低薄壁件變形程度，減小最終裝配誤差。

針對裝夾優化問題，國內外學者進行了大量的研究。Cai W等提出了“N-2-1”定位原則[3]，并證明出該原理更適用于薄壁件的裝夾布局。Padmanaban K P[4]通過蟻群算法優化夾具布局減少工件的裝夾變形。Cheng H[5]等人建立了分級優化模型，結合遺傳算法與蟻群算法對夾具位置進行了優化。Vasundara M[6]等人以最小化工件的彈性變形為目標，分別使用了人工神經網絡(ANN) 和響應面法(RSM)對夾具位置進行優化，結果顯示相較于響應面法，人工神經網絡成本更低。Selvakumar S[7]等應用人工神經網絡建立了裝夾變形預測模型，通過優化夾具布局降低工件的最大彈性變形。Kang Y[8]等研究了夾緊順序模型，并提出了穩定性指標概念。Yang B[9]等利用布谷鳥搜索算法對薄壁件夾具布局進行優化。陳蔚芳[10]等以工件變形最小化和變形最均勻化為目標，應用遺傳算法和有限元分析相結合對夾具布局及夾緊力大小進行優化。王仲奇[11]以自重條件下工件的最大變形量最小為目標函數，采用螢火蟲算法對夾具布局進行迭代尋優。李誠[12]基于Kriging代理模型與花授粉算法對薄壁件夾具定位布局進行優化設計。楊元[13]等人基于“N-2-1”定位原理,構建了基于支持向量回歸機的優化預測模型。許曉宇[14]將遺傳算法和有限元方法相結合，對夾緊順序、夾具布局和夾緊力進行同步優化。秦國華[15]等利用神經網絡建立了夾具位置與最大變形間的預測模型，以最大變形最小為優化目標進行求解。董輝躍等[16]采用有限元分析方法,分別對裝夾位置、裝夾順序以及加載方式3個因素在裝夾過程中對框類薄壁零件產生變形的影響進行了模擬。李國棟[17]提出了基于遺傳算法的夾具布局與夾緊順序同步優化方法，保證了工件的穩定性，提高了加工精度。

現有研究多以最大變形最小化或平均變形最小化作為優化目標，但對于曲面薄壁件，其裝配變形存在于多個方向，并非僅集中于某一方向，且忽略了不同區域裝夾應力的分布情況。相較于變形量，整體應變能可以更準確反映出薄壁件變形程度及應力分布情況，本文提出以整體應變能作為模型優化目標。在定位元件布局優化的基礎上，建立裝夾順序、夾緊元件位置與整體應變能間的非線性映射模型并利用遺傳算法進行求解，將優化后夾具坐標代入有限元模型中驗證，驗證所提方法的有效性，利于實現薄壁件裝夾方案的優化。

1 以應變能最小為目標的裝夾優化模型

對于弱剛性薄壁件，一般采用“N-2-1”定位原理。該原理認為薄壁件在主定位面上需要N(N>3)個定位點，第二基準面和第三基準面分別需要2個和1個定位點。在主定位面上，隨著N值優化越大工件變形越小，這并不代表N值越大越好。隨著夾具數量增加，夾具制造誤差對薄壁件裝配變形影響也會變大，且會導致裝配過程設計周期和成本相應增加。在第二和第三基準面上也不宜設置過多定位點，定位點過多易發生定位干涉或使薄壁件翹曲和彎曲，影響工件質量。因此在滿足精度要求的前提下，N值越小越好。在薄壁件變形過程中，首先假設彈性體變形是絕熱的，即在變形過程中沒有熱量得失。再假設彈性體在受力變形過程中保持平衡，也沒有動能的改變。在彈性范圍內外力所做的功W,全部轉變為儲存于彈性體內的應變能U，即W=U。

將應力與應變寫成向量形式:

薄壁件整體應變能簡寫為

將ui表示單個有限單元的應變能:

薄壁件整體應變能表示為

應力方差公式表示為

式中：σij(i,j=x,y,z) 和 εij(i,j=x,y,z)分別為應力分量和應變分量；U為薄壁件整體應變能；V為薄壁件總體積；ui為單個有限單元的應變能；E為彈性模量；n為有限元模型中單元個數；s2為有限元模型中應力方差。

由上可知薄壁件應變能越小，應力方差越小，應力分布更均勻，且對于曲面薄壁件，其裝夾變形存在于多個方向，因此應變能更適合作為衡量優化程度的目標。本文以應變能表征薄壁件變形程度，將應變能最小化作為優化目標，通過優化夾具位置、夾緊順序，使工件整體應變能最小。以夾具布局X=[x1,x2,···,xi,···,xj,···,xN]為設計變量，設計變量的可行域集合為 ?，以薄壁件整體應變能U為目標函數，夾具位置優化數學模型可表述為

式中：xi代表夾具位置；N代表夾具個數；ui表示單個有限單元的應變能；n代表有限元模型中單元個數；U為薄壁件在某種夾具布局下的整體應變能。約束條件為N個夾具位置都在可行域上，且同一布局方案中不能出現夾具位置重合。

2 裝夾優化模型求解方法

以元件位置、夾緊順序為變量，以仿真數據為樣本，建立輸入、輸出間神經網絡預測模型，以遺傳算法為主程序進行優化，優化步驟如下：

步驟1：樣本來源。因拉丁超立方采樣的隨機性優于隨機采樣，應用其獲取50組主定位面上的夾具位置坐標，在ABAQUS環境中計算夾具在不同坐標下對應的整體應變能。

步驟2：建立BP神經網絡預測模型。以夾具坐標為輸入，以相應布局下薄壁件整體應變能為輸出，根據預測模型構建夾具布局與應變能間的映射關系。應用遺傳算法迭代尋優得到整體應變能最小時的夾具位置坐標。

步驟3：在定位布局優化的基礎上，建立裝夾順序、裝夾位置與整體應變能的預測模型。迭代尋優直至獲得全局最優的夾具布局與裝夾順序。

步驟4：將尋優到的夾具布局與裝夾順序進行有限元驗證，實現對薄壁件裝夾變形的有效預測?；贐P神經網絡與遺傳算法的優化流程如圖1所示。

圖1 基于BP神經網絡與遺傳算法的優化流程圖

3 基于BP神經網絡與遺傳算法的定位布局優化

BP神經網絡是一種前饋型神經網絡，由輸入層、隱藏層和輸出層3層神經網絡組成，每層神經網絡都由多個神經元組成，神經元是神經網絡的基本處理單元，層與層之間的神經元通過全連接方式相互連接。輸入層神經元得到刺激后，會把它傳給隱藏層神經元，之后隱藏層神經元會根據神經元之間的權值把這個刺激傳給輸出層神經元，輸出層對比結果，如果不符合要求，則返回修改神經元之間的權值。典型 BP 網絡結構示意圖如圖2所示。

圖2 BP網絡結構示意圖

圖2輸入層中以xi(i=1,2,3,...,m)表示網絡輸入，隱藏層中yk(k=1,2,3,...,n)為隱藏層的輸出，輸出層中oj(j=1,2,3,...,p)為輸出層的輸出。其中m為輸入層節點數目；n為隱藏層節點數目；p為輸出層節點數目；uij是輸入層與隱藏層間的連接權值；ujk是隱藏層與輸出層間的連接權值。

3.1 定位布局與相應應變能的樣本生成

在ABAQUS中建立曲面薄壁件，如圖3所示，薄壁件長800 mm×寬480 mm×高240 mm，厚度為2 mm，采用“4-2-1”定位原則布置定位點。其中第一基準面上定位點“4”為l1、l2、l3、l4，限制薄壁件的法向位移；第二基準面上定位點“2”為Fl1和Fl2，限制薄壁件的Y向位移；第三基準面上定位點“1”為Fl3，限制薄壁件X向位移。第一基準面上的定位點l1、l2、l3固定，三點坐標分別為：(122.27,206.52,201.46)，(122.27,206.52,601.46)，(?122.27,206.52,201.46)。第二基準面與第三基準面上定位點Fl1、Fl2、Fl3固定，三點坐標分別為：(?241.97,3.98,300.73)，(?241.97,3.98,502.19)和 (1.97,239.95,799.76)。優化l4的位置，使其在自重條件下整體應變能最小。

圖3 薄壁件幾何模型

在薄壁件長邊布置150個種子，在圓弧邊布置80個種子劃分網格。薄壁件材料采用2A12系列硬鋁合金，因其強度高、耐熱性好，被廣泛應用于飛機蒙皮中。采用拉丁超立方采樣獲取50組第一基準面上的位置，利用有限元分析軟件計算獲得其相應的薄壁件整體應變能，如表1所示。

表1 樣本數據集

3.2 神經網絡訓練與驗證

采用拉丁超立方采樣獲取定位元件 l4的50組位置參數作為網絡輸入樣本，利用有限元計算各種位置參數下對應的薄壁件應變能為輸出，前40組數據作為網絡的訓練樣本，后10組數據作為網絡的測試樣本，選定網絡學習誤差為 1 ×10?3。因神經網絡中各輸入數據與輸出數據物理意義不同，數值大小相差較大，將對其進行歸一化處理將各樣本數據變換為[0,1]區間的值。歸一化處理公式如下：

式中：xi為第i個定位布局參數的輸入樣本；ximax、ximin為樣本的最大值和最小值。

當初始化權系數隨機產生后，網絡開始訓練。根據網絡預測，測試樣本值與預測結果間誤差如圖4所示，誤差較小訓練效果較好。

圖4 神經網絡訓練的誤差曲線

3.3 基于遺傳算法的定位布局優化

遺傳算法的基本思想基于達爾文進化論和孟德爾的遺傳學說，它是一種模擬生物進化機制的全局搜索最優解的優化方法。遺傳算法實施過程中，首先確定優化問題的求解域，在求解域中隨機建立由字符串組成的初始化種群，其次利用適應度函數計算種群中個體的適應度。若不滿足要求，則對這一代種群進行復制、交換和突變，從而生成新一代種群。如此不斷進化，直到獲得問題的最優解。利用遺傳算法(各參數為個體數目n=50，交叉概率PC=70%，變異概率PM=5%，最大遺傳代數m=200)對定位元件 l4位置進行優化，優化過程如圖5所示。經過40次迭代，遺傳算法達到收斂，薄壁件整體應變能達到最小值0.024 426 MJ，對應x=?224.55 mm、z=508.20 mm。

圖5 定位元件位置優化過程

為驗證以應變能做優化目標的有效性，與最大變形量最小為目標的優化結果進行對比，優化算法參數一致，優化后的結果云圖如圖6、7所示。輸出薄壁件上每個結點應力值，通過方差計算，判斷薄壁件應力分布情況。方差越小表示薄壁件應力分布更加均勻，對比兩種結果發現，相較于考慮最大變形量的夾具位置優化，以應變能為目標優化的結點應力方差減小了約60%，驗證了本文所提方法的有效。

圖6 以應變能為目標的優化結果應力云圖

圖7 以最大變形量為目標的優化結果應力云圖

4 基于BP神經網絡與遺傳算法的裝夾方案優化

在薄壁件裝配過程中，定位與夾緊是相互聯系的，工件在實現定位后，將在后續加工過程中受到自身重力、制孔和鉚接等力的作用。為保證工件的穩定性，在定位布局優化的基礎上，本節將對夾緊布局與夾緊順序進行優化，確保薄壁件的位置精度，提高加工質量。

4.1 接觸旋量分析

薄壁件在裝夾過程中，不僅受其自身重力，還有夾具的夾緊力，施加合適的夾緊力可以保證薄壁件的穩定。但如果夾緊力過大，會使工件內應力集中產生變形，影響裝配精度。建立工件穩定性分析模型，保證工件加工過程中的穩定性。裝夾時薄壁件受到的外力旋量包括重力旋量Wg和加工力旋量Wm，假設工件某點的夾緊力Fi(t)=Fin+Fit+Fib，其中Fin、Fit、Fib分別代表夾緊力Fi(t)在法向ni、切向ti與bi上的3個分量。Fi(t)對薄壁件產生的接觸力旋量可表示為

其中：rCi為夾具接觸點位置的單位法向量，Gi為夾持元件的布局矩陣。

要使工件在重力、夾緊力等作用力下保持靜態

平衡狀態，則其應滿足如下靜力平衡方程。

其中：G(1)、F(1)分別表示工件 上夾具位置矩陣及接觸力向量，Wg為工件重力旋量。

如圖8所示，工件重力Fg=[0,?32,0]T，質心坐標為 [242,153,400]T。在上述內容中已根據“N-2-1”定位原則優化確定了定位元件具體位置，按照經驗初始確定夾緊元件位置C1、C2、C3，其坐標及法向量如表2所示，夾緊元件與工件間法向力FN=20N。

圖8 夾具元件分布圖

表2 夾具元件位置與方向

求得此時重力旋量：

利用linprog函數進行求解，可知在薄壁件定位夾緊過程中，恒成立，因此薄壁件處于穩定狀態。

4.2 裝夾方案與相應應變能的樣本生成

不同的夾緊元件布局對應的夾緊誤差不同，導致工件發生不同程度的位置偏移，影響加工精度；不同的夾緊順序會產生不同的摩擦力與運動約束，引起不同的接觸變形、定位元件變形和工件變形。對夾具布局與夾緊順序進行優化，可減小上述誤差，提高工件加工質量。C2及C3夾緊件位置固定，對夾緊件C1位置進行優化，在區域內抽取10組位置，表3列舉了夾緊件C1、C2與C3組成的7種夾緊順序，表4展示了各裝夾順序下不同夾緊元件位置及相應的整體應變能。

表3 裝夾順序方案

表4 有限元分析結果

4.3 神經網絡預測與裝夾方案優化

本節神經網絡結構為：在給定夾緊力及裝夾順序方案下，研究夾具布局與整體應變能間映射關系。以夾緊元件位置坐標X、Z為輸入層神經元，以薄壁件整體應變能為輸出層神經元，按照經驗公式（12）可確定隱藏層神經元數目m=5。輸入層與隱藏層的激活函數選為tansig函數，即隱藏層與輸出層的激活函數選為logsig函數，即

式中：l代表輸入層神經元個數。

對7種順序下各網絡進行預測，發現測試樣本值與預測結果間誤差均在5%以內，證明BP神經網絡是有效的。利用遺傳算法(各參數為個體數目n=30，交叉概率PC=70%，變異概率PM=5%，最大遺傳代數m=200)對順序A下夾緊件C1位置進行優化，迭代過程如圖9所示，橫坐標為遺傳代數，縱坐標為目標函數。由圖可知隨著迭代次數的增加，薄壁件整體應變能不斷減小，在迭代45次以后，薄壁件應變能取得最小值3.631 MJ，此時C1位置為X=230.3 mm、Z=260.0 mm。優化剩余六種夾緊順序下夾緊件位置，通過對比優化結果發現最優夾緊順序為方案B，夾緊件位置為X=223.4 mm、Z=242.3 mm時，薄壁件整體應變能取最小值2.662 MJ。將優化后的C1位置代入有限元模型中驗證，發現誤差在5%以內，將其與最大變形量最小為目標函數的優化結果進行對比（優化結果為夾緊順序為方案B，夾緊件位置為X=232.7 mm、Z=213.1 mm，Umax=0.32 mm），以輸出結點應力方差值表征應力分布均勻程度，發現以應變能為目標優化的結果應力方差值減小了約64%，應力分布均勻程度遠高于后者，因此通過遺傳算法優化夾緊位置及夾緊順序的方法是有效的。

圖9 夾緊元件位置優化過程

5 結語

為實現航空薄壁件裝夾方案優化，本文建立了以裝夾位置為決策變量，以最小化整體應變能為目標的布局優化模型，并提出一種結合神經網絡和遺傳算法的參數化有限元分析來實現薄壁件裝夾優化的方法。主要結論包括：

（1）應變能可反映薄壁件所有方向上的變形程度及裝夾應力分布情況，通過對比以最大變形量為目標的優化結果，以應變能為目標優化的結點應力方差減小了約60%，因此應變能更適合作為曲面薄壁件優化模型的目標函數。

（2）以薄壁件整體應變能最小化為優化目標，對定位、夾緊兩階段參數進行優化，得到最優裝夾順序及夾具位置，有效控制了薄壁件的裝夾變形大小與應力分布情況。