車載慣性定位標定的理論推導及誤差分析

余勝義, 彭 惠

(北京航天發射技術研究所，北京 100076)

0 引言

相較多傳感器信息融合濾波的定位方法，航位推算定位方法的計算相對簡單，對導航計算機的要求較低，系統模型簡單，不存在長時間濾波易導致系統發散的問題[1-2]，廣泛應用于中精度車載慣性定位系統中。航位推算定位的系統誤差主要為方位安裝偏差角誤差(以下簡稱“安偏角”)及里程計刻度系數誤差[3-5](以下簡稱“里程系數”)。對慣性定位系統誤差的標定是慣性定位系統的前提，常見的標定慣性定位系統誤差的方法有以下兩種：

一種是將安偏角和里程系數作為狀態量，通過卡爾曼濾波器估計可獲得安偏角和里程系數[6-7]，這種方法對導航計算機的要求較高，且受標定路線所限，若安偏角和里程系數的可觀測性差[8]，則難以完成標定[9-10]；

另一種是將載車運動投影到平面中，采用起始點和終止點的標準位置以及慣性定位系統的輸出進行標定計算，標定計算結果與行駛路徑無關[11]，標定計算量小，易于實現。為了解決常用的起點緯度標定計算法在安裝偏差角90°附近時誤差較大已不適用的問題，本文對這種標定方法的公式進行了推導，并對兩種計算方法的誤差進行了分析。

1 定位系統誤差可標性證明

如圖1所示，設標準起點X1、Y1，標準終點X2、Y2，慣性定位解算終點X3、Y3，假設行駛全程中慣性導航系統給出方位的安偏角為ε(航向漂移很小)，里程系數為k。kΔSi是第i個解算周期中測量的行駛里程；φi+ε是第i個解算周期中測量的方位角。

圖1 航位推算原理示意圖

1.1 航位推算原理

航位推算是把每個解算周期內測量的行駛里程分解到北、東向后累加。如圖1所示的I放大解算周期的分解三角形中，可得

ΔXi=kΔSisin(φi+ε)

=kcosεΔSisinφi+ksinεΔSicosφi

(1)

ΔYi=kΔSicos(φi+ε)

=kcosεΔSicosφi-ksinεΔSisinφi

(2)

相應地進行經度γi、緯度λi更新，累加實現航位推算

γi=γi-1+(ΔXi)/(Ni-1cosλi-1)

(3)

λi=λi-1+(ΔYi)/RMi-1

(4)

從標準起點出發，慣性解算終點累加公式如下

(5)

(6)

若不存在系統誤差時，即k=1，ε=0，得到標準終點-起點之間累加公式如下

(7)

(8)

1.2 可標性證明

把式(7)、式(8)代入式(5)、式(6)得

X3-X1=kcosε(X2-X1)+ksinε(Y2-Y1)

(9)

Y3-Y1=kcosε(Y2-Y1)-ksinε(X2-X1)

(10)

式中，tanφ=(X2-X1)/(Y2-Y1)，φ正好是圖1中航跡AC與北向夾角。

將式(9)、式(10)兩邊平方后求和，可得

(11)

(12)

從式(9)、式(10)可以看出，慣性定位的終點與行駛路徑無關，只與起終點坐標及系統存在的里程系數k及安偏角ε相關。使用式(11)、式(12)即可通過起終點坐標計算出系統誤差k、ε。從圖1可以得到k、ε的幾何意義，k為直線段長度之比AD/AC，ε為夾角∠CAD。

綜上所述，標定求解是將載車運動投影到平面中，起終點直線連線進行計算。而使用墨卡托投影[12-14]的平面直角坐標系中，等角航線為直線，可以借鑒等角航線的反解計算[15-17]進行標定求解，比較兩等角航線的航程和航向角得到系統誤差，k為航程之比，ε為航向角之差。

2 慣性定位系統誤差標定計算

標定計算過程：已知起點A經緯度γ1、λ1，標準終點C經緯度γ2、λ2及慣性定位終點D經緯度γ3、λ3，計算出AC、AD兩等角航線航程和航向角，比較即可得到安偏角及里程系數。

2.1 等角航線的航向角及航程計算

2.1.1 航向角及航程精確計算

(1)航向角

如圖2所示，等角航線是橢球面上一條與經線保持同一角度的曲線，航線與經線夾角即航向角，設為φ，起點A(經度γ1、緯度λ1)，終點C(經度γ2、緯度λ2)。

圖2 等角航線示意圖

圖2的微分三角形中

dx=dssinφ=Ncosλdγ

(13)

dy=dscosφ=RMdλ

(14)

與航位推算的經度、緯度更新式(3)、式(4)解算周期無限小時一致。

對式(13)、式(14)進行積分變換，可得

(15)

(2)航程

等角航線的航程S在φ≠±90°(即λ2≠λ1)時用南北向航程M(子午線弧長差)除以航向角余弦而得，在φ=±90°(即λ2=λ1)時使用緯度圈半徑計算，得

(16)

(17)

其中

可得

(18)

(19)

使用式(18)、式(19)可以對航向角和航程進行計算。式中rλ0、RC0對應著不同的緯度值，計算過程較復雜。文獻[21]提出了一種簡化計算方式，使用等量緯度差精確計算航向角，使用平均緯度計算子午線弧長差，在150n mile以內航程有1m精度。本文更進一步簡化，將式(18)、式(19)中rλ0、RC0近似為航程平均緯度點的緯度圈、子午圈曲率半徑，可在一定航程內獲得滿足精度要求的航向角和航程。

2.1.2 使用平均緯度計算航向角及航程

設平均緯度為λ0，式(18)、式(19)中rλ0、RC0近似為rλ0≈N(λ0)cos(λ0)，RC0≈RM(λ0)，式(18)、式(19)變為使用平均緯度計算公式

(20)

(21)

式中，Δγ=γ2-γ1、Δλ=λ2-λ1，φ0、S0為近似值，設相應的誤差為Eφ、ES。

(1)航向角計算及誤差

使用式(20)計算航向角即是對等量緯度差g進行了簡化計算。

(22)

式中，g0為近似值，設相應的誤差為Eg。使用泰勒公式將等量緯度q(λ2)、q(λ1)以λ0為基礎展開到2次項并求差得

ζ(Δλ/2))+q(3)(λ0-

υ(Δλ/2)))(Δλ/2)3

(23)

式中，0<ζ,υ<1，λ2-λ0=λ0-λ1=Δλ/2。

航程較短(318km以內，Δλ≤0.05)可忽略Eg中高次項，計算誤差時Δλ≈S0cosφ0/a，忽略小量，可得誤差為拉格朗日余項差值

q(3)(λ0-υ(Δλ/2)))

(24)

忽略小量，化簡可得誤差比例為

(25)

帶來的角度誤差為

(26)

(2)航程計算及誤差

使用式(21)計算航程即是對等量緯度差g、子午線弧長差M均進行了簡化計算。

L(λ2)-L(λ1)≈M0=RM(λ0)Δλ

(27)

式中，M0為近似值，設相應的誤差為EM。

使用泰勒公式對子午線弧長L(λ2)、L(λ1)以λ0為基礎展開到2次項并求差得

L(λ2)-L(λ1)=RM(λ0)(Δλ)+

q(3)(λ0-υ(Δλ/2)))(Δλ/2)3

(28)

式中，0<ζ,υ<1，λ2-λ0=λ0-λ1=Δλ/2。

航程較短可忽略EM中高次項，則誤差為

L(3)(λ0-υ(Δλ/2)))

(29)

忽略小量，化簡可得誤差比例為

(30)

對二元函數S(φ,M)=M/cosφ在M0、φ0處進行泰勒展開，航程較短時，可忽略誤差中高次項，求得航程誤差比例為

(31)

將式(26)、式(30)代入式(31)可得

(32)

誤差中主要值為第二項，再化簡

(33)

根據式(33)估算的誤差，55°緯度，277.8km(即150n mile)計算的誤差絕對值最大為28m(比例為1×10-4)，比文獻[21]中給出的值大，主要是因為使用式(21)計算航程對等量緯度差g亦進行了簡化計算，增加了航程計算誤差。從式(32)可以看出，對等量緯度差g進行簡化計算帶來的誤差占主要部分。

根據式(26)、式(33)，在55°緯度，90km行駛距離，帶來的航程相對誤差最大為1×10-5，誤差最大為0.95m，角度誤差絕對值不超過4.3″。

2.2 使用平均緯度標定計算及誤差

2.2.1 計算公式

按照式(20)、式(21)分別計算AD、AC等角航線的航向角及航程，航向角求差得標定計算的安偏角Ap，航程相除得標定計算的里程系數Xs。設λ0=(λ2+λ1)/2，λD=(λ3+λ1)/2，計算公式為

(34)

Xs=

(35)

2.2.2 誤差分析

使用式(20)、式(21)可以得到兩條航線AD、AC航向角及航程，設φD、SD、φ0、S0為計算值，EφD、ESD、Eφ0、ES0為計算的誤差。

標定計算的安偏角

Ap=(φD+EφD)-(φ0-Eφ0)

=(φD-φ0)+(EφD-Eφ0)

(36)

將式(26)代入，估算誤差時，φD-φ0≈ε，SD/S0≈k，緯度取λ1，標定計算得到的Ap與設定的ε比較，得安偏角標定誤差

Ap-ε≈EφD-Eφ0

(k2cos2(φ0+ε)sin(2φ0+2ε)-

cos2φ0sin(2φ0))

(37)

標定計算的里程系數Xs

(38)

將式(33)代入，估算誤差時，φD-φ0≈ε、SD/S0≈k，忽略二階小量，緯度取λ1，標定計算得到的Xs與設定的k比較，得里程系數標定誤差

(k2sin2(2φ0+2ε)-sin2(2φ0))

(39)

2.3 使用起點緯度進行標定計算及誤差

2.3.1 計算公式

中精度車載慣性定位設備標定計算時常采用起點緯度值進行式(34)、式(35)的計算，即λ0=λD=λ1，公式變為

(40)

Xs=

(41)

2.3.2 誤差分析

類比2.1.2節的分析，可得

Eφ≈-0.25(S0/a)tanλ1sin(2φ0)cosφ0

(42)

ES/S0≈-0.25(S0/a)tanλ1sin(2φ0)sinφ0

(43)

可得安偏角標定計算誤差

Ap-ε≈0.25(S0/a)tanλ1·

(ksin(2φ0+2ε)cos(φ0+ε)-

sin(2φ0)cosφ0)

(44)

可得里程系數標定計算誤差

(ksin(2φ0+2ε)sin(φ0+ε)-

sin(2φ0)sinφ0)

(45)

3 仿真分析

3.1 慣性定位航位推算流程

慣性定位的航位推算流程如圖3所示。

圖3 慣性定位航位推算流程圖

3.2 使用平均緯度標定計算誤差仿真

設定航向角，航程按照圖3 流程分別計算得到標準點及含系統誤差的慣性定位輸出點經緯度，按照前面的標定計算公式計算出慣性定位輸出包含的系統誤差。

設定k=1.2，ε=92.5°，計算不同航向角下的安偏角和里程系數的標定誤差，并與式(28)、式(29)計算比較，繪制如圖4所示，可見公式能準確估算誤差：安偏角不大于0.1″，里程系數不大于5×10-7。

圖4 使用平均緯度求解標定誤差仿真

采用計算機仿真計算，起點A緯度55°、經度110°。設定不同的里程系數k及安偏角ε組合，計算不同航向角下的標定值誤差，結果如圖5所示。安偏角標定誤差不超過7″，里程系數標定誤差不超過1.5×10-5。

圖5 使用平均緯度進行標定計算誤差

3.3 使用起點緯度標定計算誤差仿真

設定k=1.2，ε=92.5°(航程變為10km)，計算不同航向角下的安偏角和里程系數的標定誤差，與式(44)、式(45)計算比較，繪制如圖6所示，可見公式能準確估算誤差：安偏角不大于1″，里程系數不大于1×10-5。

圖6 理論公式與模擬計算標定誤差對比

不同設置值模擬計算繪制系列如圖7所示。角度誤差最大到180″，里程系數誤差最大達9×10-4，在ε≈90°時求解誤差大。

圖7 使用起點緯度求解的標定誤差

在ε≈0°附近模擬計算系列如圖8所示。安偏角求解誤差不大于50″，里程系數求解誤差不大于2.5×10-4。

圖8 安偏角小時使用起點緯度的標定誤差

在進行標定試驗時，若使用起點緯度進行標定計算，可根據慣性定位設備的安裝情況，估計并設定安偏角初值，使進行航位推算時的實際安偏角在0°附近，或者進行標定迭代試驗，減少該方法的標定誤差。

4 結論

本文通過借鑒等角航線的理論得出使用平均緯度進行標定計算的公式，并推導出誤差公式，可得以下結論：

1)仿真結果表明，該方法標定在南北緯不大于55°，90km航程以內安偏角標定誤差不超過6″，里程系數標定誤差不超過1.5×10-5。若在更長的行程下可使用本文的公式進行誤差估計。

2)使用起點緯度法進行標定求解的誤差較大，只能在更短的航程以及安偏角較小時使用，安偏角較大時則需在估計初值的前提下使用。

3)基于本文的理論，航位推算的緯度經度更新使用起點緯度計算的曲率半徑，在高緯度、較大步長時會損失定位精度，后續將進一步開展研究。