基于Gauss偽譜法的高空飛行器再入段軌跡優化對傳熱效應的影響分析

邵嘉健，薛鵬飛

基于Gauss偽譜法的高空飛行器再入段軌跡優化對傳熱效應的影響分析

邵嘉健，薛鵬飛

（空間物理重點實驗室，北京，100076）

基于Gauss偽譜法和二階有限差分（Gauss Pseudospectral Method，GPM），研究了再入過程中高速飛行器的傳熱問題，并依據最內溫層升溫最小的目的進行飛行軌跡的數值優化。主要思路：構造傳熱分析模型，并依據傳熱方程構造每一溫層的傳熱微分方程；將各溫層微分方程以及動力學微分方程作為偽譜法中的微分方程約束條件代入，進行軌跡數值優化設計；利用少量LG點構造拉格朗日多項式，再通過一維插值獲得大量LG點的值，獲得更高精度的擬合結果曲線。以某高超聲速飛行器為對象用本方法進行數值計算，結果驗證了方法具有一定的可行性。

Gauss偽譜法；傳熱分析模型；軌跡優化設計

0 引 言

在飛行器氣動加熱的過程中，會影響乘員艙殼體溫度的因素有兩個：防隔熱層材料及厚度以及飛行器由于氣動加熱形成的表面熱流。而表面熱流的形成與飛行器飛行模式密切相關，本文的研究內容便圍繞彈道優化設計對飛行器殼體加熱的影響展開[1,2]。

為實現本文對高速飛行器再入軌跡快速優化分析的目的，擬利用Gauss偽譜方法展開研究。Gauss偽譜方法是一種利用全局插值多項式構建方程的直接配點法，它相對于一般直接配點法的優勢在于用較少的節點代入就可以獲得較高的精度[3]。

以往利用Gauss偽譜法開展的高速飛行器軌跡數值優化的研究中，國防科技大學的雍恩米、唐國金等人在研究高超聲速飛行器滑翔式再入的快速軌跡優化問題中，使用駐點熱流密度積分，得到再入過程的熱載作為優化目標[4]。但這與本文研究內壁面升溫最小的問題仍然不同，為了說明問題，做計算實例如下。

保持初始條件一致，分別通過積分計算內壁面溫度的上升，保證二者總熱流關相同，得到結果如圖1所示。由圖1可以看出，在相同的總熱載下，不同的加熱時間，內壁面溫度的上升差異很大，因此，總熱載并不能有效地反映飛行器結構的溫度變化。

圖1 相同總熱載下溫度上升對比

結合傳熱學和軌跡數值優化，通過二階有限差分的方法，將飛行器殼體上的溫度按照物面法向進行離散之后，構建有關于各層溫度關于時間的狀態方程。并將此方程代入動力學微分方程，即將溫度作為狀態變量考慮，以此開展Guass偽譜法進行飛行軌跡數值優化，并且以末點乘員艙壁溫度最低為優化設計目標。

1 優化問題的數學模型

1.1 飛行器動力學模型

忽略地球自轉的影響，臨近空間飛行器無動力再入段的動力學方程如下

1.2 傳熱層的模型

1.2.1 傳熱方程

為了研究本文的問題，需要建立合適的傳熱分析模型。已有的分析結果表明，如果不需要準確分析連接件附近區域溫度分布，可以不必要建立三維模型。因此采用一維簡化熱分析模型完全能夠滿足本文優化的精度要求。

由于使用有限插分方法的限制，要求各層的厚度相同。建立一維熱分析模型如圖2所示，由一系列連續的厚度相同、性能參數不同、對傳熱起不同作用的材料相互串連而成，最后一層是內部冷結構，各層內部及各層不同材料之間存在沿厚度方向的連續導熱。在直角坐標系中的無熱源一維瞬態導熱控制方程為[6]

式中 ，，及分別為各層所使用材料的密度、熱傳導系數、比熱容、及溫度。

1.2.2 傳熱微分方程

a）中間層的微分方程。

b）外邊界微分方程。

1）外邊界邊界條件。

對于外邊界，本文采用第3類邊界條件，熱平衡方程為[7]

外壁面的能量平衡方程為

氣動加熱產生的熱流如下：

至此，外壁面離散控制方程可以寫為

2）邊界熱流分析。

外邊界熱流為由氣動熱產生的冷壁熱流，取飛行器迎風面某特征位置為參考點，其計算公式為

c）內邊界微分方程。

對于內邊界，一階離散導熱控制方程為

綜上，微分方程組如下式所示：

2 利用偽譜法轉化問題

2.1 Gauss偽譜法簡介

Gauss偽譜方法通過將狀態變量和控制變量在一系列Legendre-Gauss（LG）點上進行離散，并將這些離散點作為節點，構造Lagrange插值多項式，來逼近原狀態變量和控制變量[8]。再通過對插值多項式求導獲得微分矩陣，以矩陣來逼近狀態變量對時間的導數，這樣就將微分方程約束轉換為代數方程約束。性能指標中的積分項和終端狀態約束都由Gauss積分計算即可獲得性能指標中的積分項和終端狀態約束。經上述變換，可將最優控制問題轉化為通過代數約束的一系列參數優化求解問題，稱為非線性規劃問題（NLP），之后利用SQP算法求解該問題[9]。

2.2 連續優化問題的轉化

a）時域變化。

使用legendre插值多項式需要保證自變量范圍為[-1,1]，因此做時域變換：

通過上式，時間區間從[0,f]轉換到[-1,1]。

b）將時間離散化。

將變換后的時域離散，獲得個LG點。LG點的定義為勒讓德多項式的根。

c）狀態與控制變量的全局插值多項式近似。

式中 Lagrange插值基函數由下式計算：

同理，獲得控制變量的近似表達式：

d）微分方程約束轉化。

由式（14），即有：

從而將問題由一開始的微分方程約束轉變為如下式所示的代數方程約束:

式中=1,…,；= 0,…,。

e）終端狀態約束。

上式的狀態變量未包含終端時刻節點處的值，終端狀態由微分方程對時間積分再加上初始狀態值得到，其中，用離散的Guass積分近似原有連續函數積分過程，可得：

f）性能函數指標的近似。

原始含有積分方程的性能函數泛函為

將其中的積分利用Gauss積分方程代換，得到性能指標的新的函數表達式

3 求解優化問題策略

針對上述問題及其特殊性，本文基于Gauss偽譜法提出以下求解大量約束條件下最優飛行軌跡的策略：

a）先利用龍格-庫塔法求取式（16），建立合適的控制策略，并利用粒子群算法以防隔熱層厚度為優化變量，進行優化以期獲得全程再入飛行過程中各控制層合適的溫度變化，要求溫度變化在材料熱受能力之內，且具有一定程度的溫度變化，便于優化問題的求解。將獲得的結果以LG點轉化后的時刻離散，作為Gauss偽譜法優化的初值。

b）利用Gauss偽譜法計算LG點個數=5時刻的結果，獲得其節點處離散點的數值之后，利用拉格朗日插值法進行全過程的設計變量隨時間的變化曲線的擬合，求解=10的勒讓德多項式的解，獲得=10時的LG點，通過式（21）將其還原成飛行過程的時刻，利用對=5時刻的節點數值進行一維插值獲得這些新的節點處設機變量的值，再利用這些值進行拉格朗日插值法獲得最終結果曲線。

c）將獲得的結果與代入控制策略的龍格-庫塔法的結果進行對比，觀察二者的差異。

4 數值計算實例

以遠程高速滑翔式再入飛行器為仿真對象，氣動參數采用波音公司設計研究的錐形體再入機動飛行器CAV-H的氣動數據，并通過擬合獲得。飛行器最大升阻比約為2.4，選取氣動參考面積為0.35 m2，質量為907 kg，最大飛行攻角和最大升阻比攻角為30°，最大升阻比攻角為10°。再入飛行器初始數值計算初值條件、終端條件及過程相關約束見表1。

表1 數值計算初值條件、終端條件及過程約束

Tab.1 Numerical Calculation of Initial Conditions,Terminal Conditions and Process Constraints

初始條件x/kmy/kmv/（m?s-1）θ/（°） 0805000-2 T0～T2/KT3/K—— 280280—— 終端條件x/kmy/kmv/（m?s-1）T3max/K 240020≧500350 過程約束Q/Pa/(°)/(°)— ≧500030—

圖3 再入軌跡優化結果

續圖3

5 結束語

基于Gauss偽譜法求解高速飛行器再入時的傳熱問題。創新性地將溫度利用有限差分方法作為一個新的狀態變量代入偽譜法微分方程組，并整理出各離散點溫度與控制變量的關系，與速度、高度等狀態變量共同優化，獲得結果。優化計算結果表明，彈道軌跡變化切實引起了飛行器殼體溫度變化；偽譜法獲得結果與龍格庫塔法求解的結果基本一致，表明本文使用的方法可靠性較高。本文研究的成果可進一步應用到飛行器的防熱問題中。

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Influence Analysis of Heat Transfer Effect on Reentry Trajectory Optimization of Adjacent Space Vehicles based on Gauss Pseudospectral Method

Shao Jia-jian, Xue Peng-fei

(Science and Technology on Space Physics Laboratory, Beijing, 100076)

Based on Gauss Pseudospectral and the second order finite difference method, to study the heat transfer problem in the process of hypersonic flight vehicle reentry, and according to the purpose of the lowest temperature rise in the innermost layer to perform numerical optimization of flight path. The main train of thought. constructing the heat transfer analysis model andthe heat transfer differential equation of each temperature layer according to the heat transfer equation. Substituting differential equation of every temperature layer and dynamic differential equation into the constraint conditions of the differential equation in the pseudo-spectral method, for the trajectory numerical optimization design; constructing lagrangian polynomials with a small number of LG points, and a large number of LG points are obtained through one-dimensional interpolation, to obtain the fitting result curve with higher accuracy. This method is used for numerical calculation of a hypersonic vehicle, and the results verify the feasibility of it.

gauss pseudo-spectral method; heat transfer analysis model; trajectory optimization design

2097-1974(2023)01-0011-05

10.7654/j.issn.2097-1974.20230103

V412.4+4

A

2018-12-14；

2022-12-01

邵嘉健（1994-），男，工程師，主要研究方向為飛行力學。

薛鵬飛（1987-），男，博士，高級工程師，主要研究方向為飛行力學。