對一條特殊電場線的討論

申強強

阜陽市紅旗中學，安徽 阜陽 236000

電場中常用電場線來形象地了解和描述電場中各點電場強度的大小和方向。一些較復雜的電場，如兩個不等量點電荷的電場，對于高中生來說難以用數學公式直接計算。因此，通過電場線來了解電場中各點電場強度的大小和方向，是學生必須掌握的。但是，某些資料及習題中，對于一些復雜電場的某些特殊電場線的描繪有時容易引起學生誤解。這類題目的本意是訓練學生準確掌握所學知識，但是如果沒有深入分析和正確理解，反而會誤導學生。

1 習題呈現

例1（2015上海高考）兩個正、負點電荷周圍電場線分布如圖1所示，P、Q為電場中兩點，則（ ）

圖1 正、負兩個點電荷周圍的電場線分布

A.正電荷由P靜止釋放能運動到Q

B.正電荷在P的加速度小于在Q的加速度

C.負電荷在P的電勢能高于在Q的電勢能

D.負電荷從P移動到Q，其間必有一點電勢能為零

例2如圖2所示的四幅電場分布圖中，說法正確的是（ ）

圖2 四種電場分布圖

A.甲為等量同種點電荷的電場線

B.乙中離點電荷距離相等的a、b兩點電勢相等

C.丙中在c點的場強大小小于d點的

D.丁中某一電荷放在e點或f點，它的電勢不同

上面所舉例題中，均涉及到兩個不等量異種點電荷的電場線圖像，有些看似很常規，實則不然。在圖1和圖2丙圖中，描繪了兩個不等量異種點電荷的電場線，且正電荷所帶電荷量的絕對值大于負電荷所帶電荷量的絕對值。兩圖中均畫出了一條沿著兩個點電荷連線、終止于負電荷的電場線，這條電場線應當如何理解呢？

2 理論分析

以兩個點電荷連線為x軸建立坐標系，設兩電荷的電荷量分別為q1=2q和q2=-q，相距為2a，且將電荷量為q1的點電荷置于坐標（-a，0）處，電荷量為q2的點電荷置于坐標（a，0）處。由點電荷場強公式和場強疊加原理，在負電荷右側存在一點，其電場強度的大小為零，即

解得

設想將正試探電荷從負電荷附近沿著x軸移動至無限遠處。在從負電荷附近移至A點的過程中，電場力向左，與位移方向相反，所以電場力做負功。從A點移至無限遠的過程中，電場力向右，做正功。電場力先做負功再做正功。由此可以判斷，從負電荷處沿x軸至無限遠的過程中，試探電荷的電勢能先增加后減少，即電勢先增加后減少。取無限遠處電勢為零，則從負電荷處到A點電勢升高，從A點到無限遠處電勢降低。

假設存在一條從無限遠出發、沿著x軸直接終止于負電荷的電場線，而沿著電場線的方向電勢降低，這與剛才分析所得結論相矛盾，所以不存在這樣一條電場線。

也可以根據點電荷電勢的公式，計算兩個不等量點電荷的連線上的電勢，找到其變化情況。x軸上任一點處電勢的大小為

利用GeoGebra畫出上式的函數圖像，能更加簡單、方便地找出電勢的極值點（圖3）。通過極值點工具，可以發現在負電荷右側有一個極值點，即圖3中的B點。取無限遠處電勢為零，從圖中能看出，從負電荷至無限遠的位置，電勢先增大后減小，所以不存在一條沿著x軸直接終止于負電荷的電場線。

圖3 q1=2 C，q2=-1 C的U-x圖像

那么，實際的電場線到底是怎樣的呢？

3 兩個不等量點電荷的電場線

仍以兩個點電荷連線為x軸，相距2a的兩個點電荷的電場線方程為［1］

如果不加限制，電場線有無數條，其中不同的c對應了不同的電場線，經過電場中某一確定點的電場線與某一個c值相對應。由（4）式，同樣可利用GeoGebra畫出上式的函數圖像。

在GeoGebra中輸入電場線方程，令q1=2 C，q2=-1 C。設置滑動條c，拖動這個滑動條即可改變c值，便能顯示對應的電場線。使用追蹤功能，可以同時顯示不同c值對應的電場線，適當設置滑動條c變化的步長，得到的圖像如圖4所示。

圖4 q1=2 C，q2=-1 C的不等量點電荷電場線

圖4中并沒有圖1所示的看似從無限遠發出、終止于負電荷的一條電場線，且只畫出了部分電場線。精細調節c值的變化，發現在c=1附近，可以得到如圖5中虛線所示的兩條特殊的電場線。乍看起來，其中一條電場線像是閉合的曲線，另一條則像是從負電荷出發一直到無限遠的射線。可以證明，在數學上，虛線上的點均滿足c=1時的電場線方程，且兩線的交點，正是場強為零的點。那么，在物理上，這是否表示存在虛線所示的電場線？

根據靜電場的基本性質，靜電場是有源無旋場，其電場線不可能是閉合曲線。而且，由圖5中的電場線，是不是說電場線可以相交？以上這些矛盾該如何解釋呢？

關于圖5中的特殊電場線，有兩種不同的處理方式。一種方式是，回避這條特殊的電場線。圖5中虛線的交點這樣的點是電場中的奇點，過奇點不能畫出電場線［2］。我們熟悉的兩個等量點電荷連線的中點，就是一個奇點。不少大學、中學教材及資料中給出的兩個等量正點電荷電場線圖像［3-5]（圖6），就是這樣處理的。

圖5 q1=2 C，q2=-1 C在c=1附近的電場線

圖6 兩個等量正點電荷電場線畫法一

另外一種方式是畫出奇點附近的電場線。有些教材給出的兩個等量正點電荷電場線圖像如圖7所示［6-7］。那么，圖7中兩電荷連線的中點處是電場線的交點嗎？回答是否定的。這是一個微妙的問題，需要用到較深的數學知識，本文不予深入討論［6］。

圖7 兩個等量正點電荷電場線畫法二

這兩種處理方式畫出的電場線，均能大致描述電場中電場強度的大小和方向，而不違背靜電場的基本規律。在第一種處理方式中，過奇點不能畫出電場線，從而避免了電場線形成閉合曲線以及電場線相交于奇點的情況發生。而在后一種處理方式中，電場線除了起始于（或終止于）電荷處之外，還可以起始于（或終止于）場強為零的點［6］，同樣不會發生電場線形成閉合曲線以及電場線相交于奇點的情況。

4 反思和建議

上面的兩種處理方式，同樣適用于兩個不等量點電荷的電場線圖像。對于q1=2 C，q2=-1 C這樣的兩個不等量異種點電荷的電場線圖像，也可以畫出圖5中虛線處的電場線。但要注意，q2右側附近中央的電場線并非直線，而且也不是直接延伸至無窮遠。

但是對于高中生來說，這種畫法恐怕不易理解，而且也不是教學重點。因此，建議采用另一種方式處理，不必畫出這幾條電場線。對于兩個不等量異種點電荷的電場線圖像，可以按照下面例3中的方式，選擇適當的間隔，畫出電場中幾條電場線。只要能準確表達電場中的場強分布，使學生能夠判斷電場中某點場強的大小及方向即可，其他包含奇點的復雜電場的電場線，可以照此處理。

例3（2009北京高考）某靜電場的電場線分布如圖8所示，圖中P、Q兩點的電場強度的大小分別為EP和EQ，電勢分別為UP和UQ，則（ ）

圖8 某靜電場的電場線分布

A.EP＞EQ，UP＞UQB.EP＞EQ，UP＜UQ

C.EP＜EQ，UP＞UQD.EP＜EQ，UP＜UQ